ЛЕКЦИЯ 1. Механика твердого тела
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Твердым телом будем считать такой объект, форма которого неизменна, соответственно расстояния между любыми элементами (массы) тела не зависят от характера его движения. Есть два типа движения – поступательное и вращательное. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела одинаковы. При вращательном движении существует такая ось, относительно которой угловые скорости и угловые ускорения всех точек тела одинаковы. Любое движение можно представить комбинацией этих двух типов движения. При этом малое изменение положения тела есть результат суммирования компонентов d𝑆⃗ = d𝑆 𝑡 ⃗⃗⃗⃗ + d𝑆 𝑟 ⃗⃗⃗⃗. Поэтому скорость движения любой точки тела 𝑣⃗ = d𝑆⃗/d𝑡 = 𝑣 𝑡 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑣 𝑟 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 𝑡 ⃗⃗⃗⃗ + [ω𝑟] складывается из поступательной компоненты, одинаковой для всех точек тела, и вращательной компоненты. Поступательную скорость можно рассматривать, как скорость движения оси вращения. При плоском движении (когда ось вращения перпендикулярна скорости поступательного движения) существует и единственна мгновенная ось вращения, относительно которой движение тела является чисто вращательным. Поступательная компонента движения при этом отсутствует. Ускорение каждого элемента массы тела согласно второму закону Ньютона 𝑎 𝑖 ⃗⃗⃗⃗ = (𝑓 𝑖𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑓 𝑜𝑢𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)/𝑚 𝑖 обусловлено действием внутренних сил со стороны других элементов этого тела и внешних сил. Однако точки тела друг относительно друга не движутся и не получают ускорения. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю ∑ 𝑓 𝑖𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0. Соответственно суммарная действующая на тело внешняя сила, равная сумме внешних сил, приложенных к его элементам, 𝐹 𝑜𝑢𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝑓 𝑜𝑢𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝑚 𝑖 𝑎 𝑖 ⃗⃗⃗⃗. Положение центра массы тела находят согласно соотношению 𝑟 𝑐 ⃗⃗⃗ = (∑ 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗)/(∑ 𝑚 𝑖 ) = (∑ 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗)/𝑚, где r i – радиус вектор каждого элемента и т – масса тела. Тогда ускорение центра массы тела 𝑎 𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑟 𝑐 ⃗⃗⃗) ̈ = (∑ 𝑚 𝑖 (𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗) ̈ )/𝑚 = 𝐹 𝑜𝑢𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗/𝑚. Центр массы тела под действием внешних сил движется так же, как материальная точка массы т. Движение тела вокруг неподвижной оси Момент любого вектора – это векторное произведение радиус вектора на этот вектор 𝑋⃗ = [𝑟⃗ × 𝑥⃗]. Момент силы 𝑀 ⃗⃗⃗ = [𝑟⃗ × 𝐹⃗]. Момент импульса 𝐿⃗⃗ = [𝑟⃗ × 𝑝⃗]. Согласно второму закону Ньютона 𝑚d𝑣⃗ = 𝐹⃗d𝑡 = d𝑝⃗ ⇒ 𝐹⃗ = d𝑝⃗/d𝑡. Пусть есть два элемента тела, которые взаимодействуют с силами f 12 и f 21 и на которые действуют внешние силы F 1 и F 2 (см. рисунок). Тогда, учитывая третий закон Ньютона, производные импульсов элементов по времени d𝑝 1 ⃗⃗⃗⃗/d𝑡 = 𝑓 21 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹 1 ⃗⃗⃗⃗; d𝑝 2 ⃗⃗⃗⃗⃗/d𝑡 = −𝑓 21 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹 2 ⃗⃗⃗⃗. Поэтому производная момента импульса всего этого тела, состоящего из взаимодействующих между собой элементов, d𝐿⃗⃗/d𝑡 = d(∑[𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗ × 𝑝 𝑖 ⃗⃗⃗⃗])/d𝑡 = ∑[(𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗ − 𝑟 𝑗 ⃗⃗⃗) × 𝑓 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗] + ∑[𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗ × 𝐹 𝑖 ⃗⃗⃗] = 𝑀 ⃗⃗⃗ . Несложно заметить, что вектора 𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗ − 𝑟 𝑗 ⃗⃗⃗ и 𝑓 𝑖𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗ сонаправлены, поэтому их векторное произведение равно нулю ( |𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗| = 𝑎𝑏 sin α). Таким образом, как сила – это производная импульса по времени 𝐹⃗ = d𝑝⃗/d𝑡, так и момент силы – это производная момента импульса по времени d𝐿⃗⃗/d𝑡 = 𝑀 ⃗⃗⃗. Закон сохранения момента импульса. При отсутствии действия на тело (систему тел) моментов сил или, если эти моменты скомпенсированы, момент импульса тела (системы тел) остается неизменным. Произведение 𝑟 sin α и соответственно расстояние от оси вращения до линии действия вектора (на рисунке – силы) называют плечом этого вектора. Момент силы – это произведение силы на плечо. Импульс элемента тела 𝑝 𝑖 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 ⃗⃗⃗⃗, момент импульса 𝐿 𝑖 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑖 [𝑟 𝑖 ⃗⃗⃗ × 𝑣 𝑖 ⃗⃗⃗⃗]. Для тела с закрепленной осью вращения |𝐿 𝑖 ⃗⃗⃗⃗| = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 2 ω = 𝐽 𝑖 ω; 𝐿 = 𝐽ω. Величину 𝐽 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 2 ( 𝐽 = ∮ 𝑟 2 d𝑚 𝑀 ) называют моментом инерции тела. Момент инерции тела – это мера инертности тела при вращательном движении. Первый закон Ньютона для вращательного движения (закон инерции). При отсутствии действующих моментов сил или, если все действующие на тело с закрепленной осью вращения моменты сил скомпенсированы, тело будет равномерно вращаться сколь угодно долго. Закон говорит о том, как тело себя ведет, когда нет никакого действия. Если нет действия, то нет изменения движения тела. dω/d𝑡 = ε = 𝑀/𝐽. Второй закон Ньютона для вращательного движения (закон действия). Угловое ускорение, сообщаемое телу с закрепленной осью вращения, прямо пропорционально действующему на него моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела. Закон говорит о результате действия и определяет само действие – момент силы, вызывающее изменение вращательного движения тела. Третий закон Ньютона (закон взаимодействия). При взаимодействии двух тел момент силы, с которым первое тело действует на второе, равен по величине и противоположен по направлению моменту силы, с которым второе тело действует на первое. Закон говорит о том, что действия самого по себе не бывает. Любое действие есть результат взаимодействия тел. Любые взаимодействия можно представить в виде суммы взаимодействий двух тел. Таким образом между механическими характеристиками поступательного и вращательного движения тела есть прямая и очевидная аналогия. Характеристики положения соответственно – длина и угол, характеристики движения – скорость и угловая скорость, характеристики изменения движения – ускорение и угловое ускорение, мера инертности – масса и момент инерции, характеристики действия – сила и момент силы, характеристики количества движения – импульс и момент импульса. Характеристики связаны между собой аналогичными соотношениями. Для них справедливы подобные законы инерции, действия и взаимодействия (законы Ньютона), а также законы сохранения (сохранения импульса и сохранения момента импульса). |