Квест. 9 класс вест. Московский физикотехнический институт олимпиада "физтех" по математике
 Скачать 154.57 Kb.
|
|
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 9 класс ВАРИАНТ 13 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. [3 балла] Решите неравенство 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 − 2|𝑥 − 3| 2𝑥 2 − 4𝑥 + |𝑥| · |𝑥 − 2| 6 0. 2. [4 балла] Найдите количество треугольников периметра 600 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан. 3. [4 балла] Решите систему уравнений {︃ 𝑥 − 2𝑦 = √ 𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦 2 = 5. 4. [5 баллов] Окружность с центром 𝑂 касается прямых 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐴 и 𝐶 соответственно. Высота 𝐶𝐻 треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекает эту окружность в точках 𝐶 и 𝐷. Найдите отношение 𝐴𝐵 : 𝐶𝐻 , если площадь треугольника 𝐴𝐵𝐷 равна 6, а радиус окружности равен 4. 5. [5 баллов] В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 на катете 𝐴𝐶 и гипотенузе 𝐴𝐵 отмечены точки 𝐷 и 𝐸 соответственно, такие что 𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵. Найдите отношение 𝐴𝐷 : 𝐴𝐶 и площадь треуголь- ника 𝐴𝐸𝐷, если известно, что 𝐴𝐶 = √ 7 , 𝐵𝐶 = 2 √︁ 7 3 , а ∠𝐶𝐸𝐷 = 30 ∘ 6. [5 баллов] Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (𝑥; 𝑦), удовле- творяющими системе {︃ |2𝑥| + |𝑦| + |4 − 2𝑥 − 𝑦| > 4, 𝑥 2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑦 2 6 0. 7. [5 баллов] Функция 𝑓 определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел 𝑎 и 𝑏 из этого множества выполнено равенство 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏), и при этом 𝑓(𝑝) = 𝑝 для любого простого числа 𝑝. Найдите количество пар натуральных чисел (𝑥; 𝑦) таких, что 1 6 𝑥 6 18, 1 6 𝑦 6 18 и 𝑓(𝑥/𝑦) < 0. © МФТИ, 2022 МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 9 класс ВАРИАНТ 14 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. [3 балла] Решите неравенство 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 − 4|𝑥 − 1| 4𝑥 2 − 12𝑥 + |𝑥| · |𝑥 − 3| 6 0. 2. [4 балла] Найдите количество треугольников периметра 300 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан. 3. [4 балла] Решите систему уравнений {︃ 𝑦 − 2𝑥 = √ 𝑥𝑦, 2𝑦 + 𝑥 2 = 9. 4. [5 баллов] Окружность с центром 𝑂 касается прямых 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐴 и 𝐶 соответственно. Высота 𝐶𝐻 треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекает эту окружность в точках 𝐶 и 𝐷. Найдите отношение 𝐴𝐵 : 𝐶𝐻 , если площадь треугольника 𝐴𝐵𝐷 равна 15, а радиус окружности равен 6. 5. [5 баллов] В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 на катете 𝐴𝐶 и гипотенузе 𝐴𝐵 отмечены точки 𝐷 и 𝐸 соответственно, такие что 𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵. Найдите отношение 𝐴𝐷 : 𝐴𝐶 и площадь треуголь- ника 𝐴𝐸𝐷, если известно, что 𝐵𝐶 = √ 29 , 𝐴𝐶 = 5 √ 29 2 , а ∠𝐶𝐸𝐷 = 45 ∘ 6. [5 баллов] Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (𝑥; 𝑦), удовле- творяющими системе {︃ |3𝑥| + |2𝑦| + |6 − 3𝑥 − 2𝑦| > 6, 𝑥 2 − 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑦 2 6 0. 7. [5 баллов] Функция 𝑓 определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел 𝑎 и 𝑏 из этого множества выполнено равенство 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏), и при этом 𝑓(𝑝) = 𝑝 для любого простого числа 𝑝. Найдите количество пар натуральных чисел (𝑥; 𝑦) таких, что 3 6 𝑥 6 19, 3 6 𝑦 6 19 и 𝑓(𝑥/𝑦) < 0. © МФТИ, 2022 |