Задание2 математика. Найти область определения, точки разрыва. Исследовать функцию на четность, периодичность
 Скачать 5.95 Kb.
|
|
Задание. Для функции 𝑦 = (2𝑥 + 3)𝑒 5𝑥 : 1. Найти область определения, точки разрыва. 2. Исследовать функцию на четность, периодичность. 3. Исследовать поведение функции на концах области определения. Указать асимптоты. 4. Найти промежутки монотонности. Точки экстремума. 5. Найти промежутки выпуклости. Точки перегиба. 6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции 𝑦 = (2𝑥 + 3)𝑒 5𝑥 и прямыми 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0. Результаты исследования оформить в виде таблицы. 1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1. 2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2 непрерывна на всей области определения. Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х = 1. Область значений функции приведена в пункте 5. 3. Точки пересечения с осью координат Ох. График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение: (2x-1)/(x+1)^2 =0. Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях. Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0. х = 0,5. Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1. 4. Точки пересечения с осью координат Оу. График пересекает ось Oy, когда x равняется 0. Точка пересечения графика с осью координат Оу соответствует аргументу х = 0. Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1). 5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: y^'=-2x/(x-1)^3 =0. Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0. Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции : x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞). На промежутках находим знаки производной. Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. x = -1 0 0,5 1 2 y' = -0,25 0 8 - -4 Минимум функции в точке х = 0. Максимума функции нет. Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1). Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞).. Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1. Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0). lim┬(x→1)〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗. Так как в точке х = 1 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика. Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R. 6. Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции. y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0. Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2. Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)). 7. Интервалы выпуклости, вогнутости: Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции: x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞). Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый: x = -1 -0,5 0,5 1 2 y'' = -0,125 0 64 - 10 Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)). Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞). 8. Асимптоты. Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1. Горизонтальные асимптоты графика функции: Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим: lim┬(x→∞)〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует lim┬(x→-∞)〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует. Наклонные асимптоты графика функции Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗 Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗 k= lim┬(x→∞)〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗 Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞. 9. Четность и нечетность функции: Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x). 3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной. |