Лекция матрицы. Лекция_28.10. Называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием
 Скачать 232.76 Kb.
|
|
Минором Mij элемента aij называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца на пересечении которых стоит данный элемент aij. Если n >3, то и где M1j (j = 1, 2, …, n) – минор элемента a1j. 3) Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма номеров строки и столбца на пересечении которых стоит элемент четная, и со знаком «-» – если эта сумма нечетная, то есть Доказательство. 1) n = 2: 2) n – 1 верно; Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения, то есть 1) n = 2: 2) n – 1 верно; 3) n Свойства определителей. 1º. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, то есть 2º. При перестановки двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, то есть 3º. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно выносить за знак определителя, то есть 4º. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. 5º. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю, то есть 6º. Если элементы двух каких-либо строк (или столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю, то есть 7º. Если каждый элемент некоторой строки (или столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей один из которых в соответствующей строке (столбце) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех определителей одни и те же, то есть 8º. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же ненулевое число, то величина определителя не изменится. 9º. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть 10º. Если все элементы определителя, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то этот определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, то есть 11º. Пусть дан определитель, все элементы которого, стоящие в первых k строках и последних п – k столбцах, равны нулю: Тогда этот определитель равен произведению двух своих миноров: Пример. Вычислить определитель Пример. Вычислить определитель Пример. Вычислить определитель §3. Ранг матрицы В матрице А обозначим ее строки: е1 = (а11 а12 … а1n), е2 = (а21 а22 … а2n),…, еm = (аm1 аm2 … аmn). Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: еk = еs, если аkj = аsj, j = 1, 2, …, n. Арифметические операции над строками матрицы: λеm = (λаm1 λаm2 … λаmn); еk + еs = [(аk1 + аs1)(аk2 + аs2)… (аkn + аsn)]. Строка е называется линейной комбинацией строк е1, е2,…, еn матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: е = λ1е1 + λ2е2 +…+ λn еn, где λ1, λ2,…, λn – любые числа. Строки матрицы е1, е2,…, еn называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ1, λ2,…, λn, не все равные нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ1е1 + λ2е2 +…+ λn еn = 0, где 0 = (0, 0,…, 0). Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Пусть λm ≠ 0, тогда еm =(– λ1/ λm) е1 + (–λ2/ λm) е2 +…+ (–λn / λm) еm-1, Строки е1, е2,…, еn называются линейно независимыми, если их линейная комбинация λ1е1 + λ2е2 +…+ λn еn равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты λi равны нулю, т. е. λ1=λ2=…= λn =0. Максимальное число линейно независимых строк матрицы А называется рангом этой матрицы. Минором k–го порядка матрицы А называется определитель, полученный из элементов, стоящих на пересечении выделенных произвольным образом k строк и k столбцов. Теорема о ранге матрицы. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы. r + 1 ≤ i ≤ s, любое l: 1 < l ≤ п, а1lА1 + a2lA2 + ... + arlAr + ailD = 0, где D ≠ 0, Метод окаймляющих миноров: При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Пример. Найти ранг матрицы |