Гидролиз. Коллоквиум. 1. Матрица это прямоугольная таблица чисел. Равенство матриц

• Название: 1. Матрица это прямоугольная таблица чисел. Равенство матриц
• Анкор: Гидролиз
• Дата: 21.11.2022
• Размер: 294 Kb.
• Имя файла: Коллоквиум.doc
• Тип: Документы; #804623

Определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
Вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.
Вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.


1.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел.

Равенство матриц

А=В, если 1. А_[mxn]=B_[mxn]

2. a_ij=b_ij

Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами

Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны

Операции над матрицами

1. 
   Сложение
   

С_[mxn]= А_[mxn]+B_[mxn], если с_ij= a_ij+b_ij

Свойства сложения матриц

1. 
   Коммутативность (переместительный закон)
   

А+В=В+А

Доказательствo:

Пусть С_[mxn]=А_[mxn]+B_[mxn], D_[mxn]=B_[mxn]+A_[mxn],

А) Размерности С и В совпадают

Б) с_ij= a_ij+b_ij, по определению

d_ij= b_ij+a_ij, но т.к. a_ij и b_ij – числа, то a_ij+b_ij= b_ij+a_ij→ c_ij=d_ij→C=В

2. 
   Ассоциативность (Сочетательный закон)
   

(A+B)+C=A+(B+C)

Доказательствo:

D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’

А) Размерность D’_[mxn]=A_[mxn]+B_[mxm]

D_[mxn]=D’_[mxn]+C_[mxn], аналогично для P_[mxn]

Б)d’_ij= a_ij+b_ij; d_ij=d’_ij+c_ij= (a_ij+b_ij) +c_ij

p’_ij= b_ij+a_ij; p_ij=p’_ij+a_ij= a_ij+(b_ij +c_ij)

Для чисел aij, b_ij, c_ij справедливо равенство (a_ij+b_ij) +c_ij = a_ij+(b_ij +c_ij) →p_ij=d_ij→P=В

3. 
   Нейтральный элемент относительно сложения
   

Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А

А) Размерности совпадают

Б) Θ_ij+a_ij=a_ij+Θ_ij→ Θ_ij=0

II. Вычитание

С=A-B, если А=В+С

c_ij=a_ij-b_ij

Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0.

Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0

О=

2.

2. 
   Умножение матрицы на число
   

С=k*A, если

1. 
   с_ij=ka_ij
   
2. 
   размерности совпадают
   

Свойства операции

1. 
   k(A+B)=kA+kB
   
2. 
   (k+n)A=kA+nA
   
3. 
   (kn)A=k(nA)=n(kA)
   
4. 
   Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей
   

A-B=A+(-1)B

3.

IV. Транспонирование матриц

A= A^т=

C_[mxn]=(A_[mxn])^т, если с_ij=a_ji

Свойства

1. 
   (A+B)^т=А^т+В^т
   
2. 
   (nA)^т=nA^т
   

Доказательствo: С=А^т, если c_ij=a_ji

B=nA, C=B^т (слева)

D=A^т, P=nD (справа)

А) Размерности B=nA

C=B^т, D=A^т, P=nD

б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом

b_ij=na_ij (слева)

d_ji=a_ij ,p_ji=nd_ji=na_ij

→p_ji=c_ji→B=C

3. 
   (А^т)^т=А
   

4.

V. Произведение матриц

A_[mxn]*B_[nxr]=C_[mxr]

Согласованные матрицы-матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2

Если А и В согласованны то В и А не всегда

С называется произведением A*B, если

1. C_[mxn] =A_[mxr]*B_[rxn]

2. с_ij=

Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В.

Свойства

1. 
   AB≠BA
   
2. 
   (AB)C=A(BC) (без док)
   
3. 
   A(B+C)=AB+AC
   
4. 
   n(AB)=A(nB)
   
5. 
   (AB)^т=В^тА^т
   

VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (Е)

AE=A=EA

Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.

E_ij=1, при i=j

VII. Умножение на нулевую матрицу

A_[mxn] Θ_[nxr]= Θ_[mxr]

5.

VIII. Возведение матрицы в степень

(A_[mxn])^k=AAAAAA…(k раз)

6.

Квадратная матрица – матрица у которой i=j.

Определитель матрицы – число.

Порядок определителя - количество строк или столбцов.

Теорема разложения.

Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

7.

D₃=a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃ – a₃₁a₂₂a₁₃ – a₃₂a₂₃a₁₁ – a₂₁a₁₂a₃₃

Вывод правила треугольников.

8.

Свойства определителя n-го порядка

1. 
   Если у определителя поменять 2 строки, то определитель изменит знак.
   
2. 
   Если есть нулевая строка, то определитель равен 0.
   
3. 
   Если все элементы строки умножить на число, то определитель увеличиться на это число.
   
4. 
   Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
   
5. 
   det(AB)=detA*debt(без док)
   
6. 
   , если i≠j.
   

9.

Обратные матрицы

Матрица А^-1 называется обратной для А, если А^-1А=АА^-1=Е→А – квадратная матрица.

Вырожденная матрица – матрица определитель которой не равен 0

Теорема: Если А не вырожденная, то существует одна А^-1.

Доказательство:

Пусть А_[nxn]= det(a)=0 S= A^-1=1/Δn*S^т

AA^-1=E

A(1/Δn*S^т)=E

(1/Δn)* * =(1/Δn)* = =(1/Δn)* =

Доказательство единственности:

Предположим, что есть 2 обратных матрицы для А..

A^-1 и В

А^-1А=АА^-1=Е

BA=AB=E (1-2)

А^-1А-BA= АА^-1-AB=E-E

A(A^-1-B)=A(A^-1-B)=0

A^-1-B=0 => (a^-1)_ij=b_ij => A^-1=B.
10.

Матричные уравнения

A^-1|AX=В→ EX=A^-1B→ X=A^-1B

A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных.

11.

Системы n уравнений

X=A^-1B= =

12.

Формула Крамера.

, Δ_i-определитель полученный из матрицы А если в ней столбец заменить на столбец свободных членов. Вывод

Теорема Крамера.

Система из n линейных уравнений м n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера.

13.

Минор матрицы A ― определитель матрицы, элементы которой стоят в данной прямоугольной матрице порядка k (который называется также порядком этого минора) на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами и .
Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.
Ранг матрицы

1. 
   Если в матрице А выделить k строк и k столбцов, то определитель составленный из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы А. Ранг матрицы – наивысший порядок минора отличный от 0
   
2. 
   Элементы S₁, S₂…S_n называются линейно зависимыми, если существует набор чисел n₁, n₂…n_n такой что n₁S₁+n₂S₂+…+n_nS_n=0 и хотя бы одно из чисел n_i≠0. Если это выполняется при всех т=0, то элементы называются не линейно зависимыми. Ранг матрицы – количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы.
   

14.

Теорема Кронехера-Копелли

Система из m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, причем:

1. 
   если rA=rÂ=n – 1 решение.
   
2. 
   если rA=rÂ
3. 
   если rA≠rÂ≤n - нет решений.
   

16.

Совместная система – система, имеющая хотя бы 1 решение.

Решение системы – набор чисел такой, что при подстановке в систему каждое уравнение превращает в равенство.

Общее решение – решение из которого можно получить все частные решения

1. Все неизвестные выражаются через 1 параметр (кол-во неизвестных = n-rA)

2. Все базисные неизвестные выражаются через свободные члены.

Свободное неизвестное – неизвестное в ответе, остальные – базисные

Алгоритм Гаусса

1. 
   Найти a_i1≠0 и поставить на первое место
   
2. 
   S₁→S₁:a₁₁
   
3. 
   S_i→S_i-a_i1S₁, где i=2,3...m
   
4. 
   Ищем a_j2≠0(j≠1) и т.д. если a_j2=0 при любом j=2…m, то ищем a_j3≠0 (j≠1).
   

18.

Операции над векторами и их свойства

1. 
   Сложение
   

А)

Б)

В)

Г)

Противоположные вектора – вектора модули которых равны, но направление противоположное.

19.

2. 
   Умножение вектора на число
   

, если а)

Свойства

1.

2.

3.

4.

Орт вектора – единичный вектор сонаправленный с данным вектором.

20.

О сь – прямая с заданным направлением.

Проекция точки – основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.

Пр_eAB=|AB| или -|AB|

Свойства проекции.

1. Пр_еAB=|AB|cosA

Доказательство: 1.A-острый Из треуг. ABB’’: |AB’’| =|AB|cosA

2 . A-тупой B=180-A |CC’|=|DC|cosB=|DC|cos(Pi-A)=-|DC|cosA =>

=>|D’C’|=-|DC|cosA

2. Пр_еAB+Пр_еВС=Пр_е(АВ+ВС)

Д оказательство:

1.А₁-угол между AB и e A₂ – угол между ВС и е острые

Пр_еАВ=|А’В’| Пр_еВС=|В’С’ | Пр_е(АВ+ВС)=|В’С’|+|А’В’| =|A’C’|

2.А₁- острый A₂ – тупой

Пр_еАВ=|А’В’| Пр_еВС=-|В’С’ | Пр_е(АВ+ВС)=|В’С’|-|А’В’| =|A’C’|

3.k*Пр_ea=Пр_еka

Доказательство:

1. K>0 => ka||a => угол не меняется

Пр_еа=|a|cosA Пр_еka=|ka|cosA=|k|Пр_еа

2. K<0 => угол между ka и e =Pi-A

Пр_eka=|ka|cos(Pi-A)=|k||a|(-cosA)=-|k||a|cosA=kПр_ea
21.

ab=|a||b|cosA

Свойства

1. Пр_еа=|a|cosA=ab/|b|

Пр_аb=|b|cosA =>ab/|a|

=>ab=|b|Пр_ba=|a|Пр_аb

2. a(b+c)=ab+ac

Доказательство: ab=|a|Пр_ab ac=|a|Пр_ас

Пр_а(b+c)=Пр_аb +Пр_ас =>|a|Pr_a(b+c)=|a|Pr_ab+|a|Pr_aс => a(b+c)=ab+ac

3. (na)b=a(nb)=n(ab)

Доказательство: a(nb)=|a|Pr_abn=|a|nPr_ab=n(ab)

4. Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.

Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90^o => cosA=0 , то ab=0

5. Связь между длиной вектора и скалярным произведением.

Aa=|a||a|=|a|²=> |a|=

22.

c=axb, если

1. 
   |c|=|a||b|sinA
   
2. 
   c┴a c┴и
   
3. 
   a b с образуют первую тройку векторов
   

Свойства

1. 
   геометрический смысл S=axb
   
2. 
   axb=-bxa
   
3. 
   ax(b+c)=axb+cxa
   
4. 
   Умножение вектора на число (na)xb=ax(nb)=n(axb)
   

23.

Смешанное произведение векторов

C(axb)=a(bxc)=abc

V=abc

24.

Признак коллинеарности векторов

a\\b то существует k≠0? Что b=ka

Доказательство:

1. 
   Если b=ka =>b||a, по определению умножения вектора на число.
   
2. 
   Пусть b||a , возьмем k=|b|/|a|
   

Если а||b то k=|k|

Если a||b то k=-|k|

Тогда с=ka будет с=b, т.е. b=ka, c=ka

1. 
   |c|=|k||a|
   
2. 
   c||a
   
3. 
   c||a, если k>0
   
4. 
   c||a, tckb k<0
   

Теорема.

Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы.

Доказательство:

По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0

1. 
   a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l₁=1, l₂=-k
   
2. 
   а=0, тогда l₁=1, l₂=0 – ЛЗ
   

Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.

Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90^o => cosA=0 , то ab=0

3 вектора компланарны если лежат в одной плоскости т.е. их смешанное произведение равно 0.

25.

Векторы a₁ a₂…a_n называются ЛЗ если существуют n₁ n₂…n_n, где хотя бы одно n_i≠0, что n₁a₁+n₂a₂+…+a_nn_n=0, если это условие выполняется при всех n=0 то векторы ЛНЗ

Базисом в некотором пространстве называется набор из n ЛНЗ векторов a₁ a₂…a_n, такой что любой вектор b из этого пространства можно представить как линейную комбинацию базисных векторов т.к. существуют числа n₁ n₂…n_n b=n₁a₁ +n₂a₂+…+n_na_n

26.

Теорема.

Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы.

Доказательство:

По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0

3. 
   a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l₁=1, l₂=-k
   
4. 
   а=0, тогда l₁=1, l₂=0 – ЛЗ
   

В соответствии с этой теоремой получаем что если вектора неколлинеарны то они ЛНЗ.

28.

Декартовая система координат в пространстве

i j k – базис ДС

1. |i|=|j|=|k|=1

2. i┴J┴k

3. i j k –правая тройка тогда k=ixj

32.

axb= ixj=k ixk=-j jxi=-k jxk=I kxj=-I kxi=j

38.

Уравнение плоскости через точку

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Общее уравнение

Ax+By+Cz+D=0

39.

Пересечения с осями

Ox- x=-D/A

Oy- y=-D/B

Oz- z=-D/C

ABC-наклон D-сдвиг

1. 
   D=0 Проходит через н.к.
   
2. 
   A=0 Не пересекает ох
   
3. 
   А=0, Д=0 Плоскость проходит через ox
   
4. 
   A=0, B=0 плоскость параллельна плоскости Oxy
   

40.

Уравнение плоскости в отрезках



42.

Расстояние от точки до плоскости




43.

Взаимное расположение плоскостей

1. α₂||α₁ если N₁||N₂

2. α₂┴α₁ Если N₁N₂=0 A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

3. Угол между плоскостями – угол между N₁ и N₂

46.

Каноническое уравнение прямой Параметрические уравнения прямой



47.

Прямая на пересечении 2 плоскостей.

D₁ не равно D₂

48.



49.

1. l₁||l₂ если S₁||S₂ =>

2. . l₁┴l_{2 если} S₁┴S₂ =>S₁S₂=0 =>m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂

Угол между прямыми

cosA=

Направляющие косинусы прямой – косинусы направляющего вектора.



50.

Р асстояние от точки до прямой.

P – проекция M*

M*P||N

D=|M*P|=|Pr_NM₀M|=|N*M₀M|/|N|=

= =

=

51.

Угол между прямой и плоскостью



Расположение прямой и плоскости.

1. 
   l||α => SN=>NS=0 Am+Bn+Cp=0
   
2. 
   l┴α => S||N =>
   

52.

П роекция точки на плоскость

α: Ax+By+Cz+D=0

l:

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct

подставляем в α: и получаем



П роекция точки на прямую

l:

l ┴α: m(x-x*)+n(y-y*)+p(z-z*)=0

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct



53.

Проекция прямой на плоскость.

I способ

1. Найти две точки на прямой А и В

2. Найти проекцию этих точек на плоскость А’ и B’

3. Провести l’ через A’B’

l :

II способ

N_b=N_axS={A1,B1,C1}

β: A1x+B1y+C1z+D1=0

x=x*+At

y=y*+Bt

z=z*+Ct

S₁=NaxNb

55, 57.

1. Каноническое уравнение

2. Параметрическое уравнение x=x₀+mt y=y₀+nt

3. Общее уравнение Ax+By+C=0

4. с угловым коэффициентом y=kx+b

58.

1. l₁||l₂ если S₁||S₂ => или k₁=k₂ или

2. l₁┴l₂ если S₁S₂=0=> A₁A₂+B₁B₂=0


59.

= tgA=k

Угол между 2 прямыми

60.

Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра). Если r – радиус окружности, C(a, b) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид

|M₀M|=R

=>

61.

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксируемых точек (фокусов) есть величина постоянная (ее обозначают через 2a), большая расстояния между фокусами.

|F₁F₂|=2c |MF₁|+|MF₂|=2a

где a – большая, b – малая полуось эллипса, причем a, b, c связаны соотношением a² = b² + c².


Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом e = .

Расстояния некоторой точки M(x, y) эллипса от фокусов (фокальные расстояния) определяются формулами r₁ = a + ex и r₁ = a – ex.

В силу определения эллипса для любой его точки r₁ + r₂ = 2a.

Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями x =  .



62.

Гипербола есть геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точках F₁ (-c, 0) и F₂(c, 0) (рис. 3.3.2), то получим каноническое уравнение гиперболы

,

где a – действительная, b – мнимая полуось.


Рис. 3.3.2
Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат.

На этих прямых лежат диагонали характеристического прямоугольника, основание которого равно 2а, высота 2b, а центр находиться в начале координат.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Директрисами гиперболы называются прямые, определяемые уравнениями .

Фокальные радиусы правой ветви гиперболы r₁=ex–a, r₂=ex+a. Очевидно, r₂– r₁=2a.

Фокальные радиусы левой ветви гиперболы r₁=-ex+a, r₂=-ex–a. Очевидно, r₁– r₂=2a.

Асимптота – прямая к которой график функций приближается очень близко, при больших значениях x и y.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Сопряженная гипербола

63.

Парабола есть геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от фокуса) и директрисы.

Если директрисой параболы является прямая , a фокусом точка (рис. 3.3.3), то каноническое уравнение параболы имеет вид

y² = 2px.


Рис. 3.3.3
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. При p>0 парабола обращается в положительную сторону оси, а при p<0 – в отрицательную.

Фокальный радиус вычисляется по формуле
q= |MM’|=

Каноническое уравнение параболы y²=2px

А) - мнимый эллипс

- точка O(0,0,0)

б) - гипербола

- сопряженная гипербола

- 2 пересекающиеся прямые

в) y²=2px – парабола ось симметрии 0x

x²=2py - парабола ось симметрии 0y

y²=zp p=0=> ось ox p<0 нет