Лекция №1. Занятие №2. Занятие 2 ( Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика) Раздел Линейная алгебра Тема Матрицы, определители Умножение матриц, возведение в степень. Умножение матриц

• Название: Занятие 2 ( Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика) Раздел Линейная алгебра Тема Матрицы, определители Умножение матриц, возведение в степень. Умножение матриц
• Анкор: Лекция №1
• Дата: 15.09.2022
• Размер: 284 Kb.
• Имя файла: Занятие №2.doc
• Тип: Занятие; #678996

Занятие №2 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы, определители
Умножение матриц, возведение в степень.
3. Умножение матриц :

Д алеко не все матрицы можно перемножать.

Матрицы A и B (порядок следования важен!) называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Таким образом, если порядок матрицы A равен m × p , то порядок согласованной с ней матрицы B должен быть равен p × n. Перемножать можно только согласованные матрицы (отметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы).

Произведением двух согласованных матриц A (размера m × p) и B (размера
p × n ) называется матрица C (размера m × n) , элементы которой вычисляются по правилу: элемент матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:



Например, если требуется получить элемент c₂₁, то нужно вторую строку матрицы A "умножить" на первый столбец матрицы B. Рассмотрим конкретные матрицы

, .

Число столбцов матрицы A и число строк матрицы B равны 2, значит, A и B согласованы, причем матрица А∙В будет размера 3х2 . Тогда по определению произведение этих матриц А∙В вычисляется следующим образом:
.
Найти в этом случае произведение B∙A невозможно, т.к. матрицы B и A не согласованы. Отсюда следует, что если две матрицы можно перемножить в одном порядке, то это не означает, что их можно перемножать в другом порядке. Можно показать, что в общем случае, даже когда произведения AB и BA определены, они не всегда дают одну и ту же матрицу (даже размерности матриц АВ и ВА могут быть разными).

Свойства операции умножения матриц.

1. 
   А(В+С)=АВ+АС;
   
2. 
   (А+В)С=АС+ВС;
   
3. 
   k(АВ)=(kА)В = А(kВ), k - некоторое число;
   
4. 
   А(ВС)=(АВ)С;
   
5. 
   А · Е =Е·А =А, где Е – единичная матрица.
   

n×n n×n n×n

Пример. Пусть , . Тогда , а

(проверьте!). Таким образом .

Это не значит, что вообще не существует двух таких матриц А и В, для которых АВ=ВА.

Если для пары матриц А и В это свойство все же выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (или коммутативными). Например, коммутативными будут матрицы А = и В = .

Легко перемножением в том и обратном порядке убедиться, что АВ = ВА = . Отметим, что квадратные матрицы можно перемножать только если они одного порядка.

Можно указать одну особенную матрицу, которая перестановочна с любой квадратной матрицей. Это введенная выше единичная матрица. Легко в общем виде показать, что для любой квадратной матрицы А имеет место:

А·Е = Е·А = А .

Пример 1. Умножение матриц

Дано:
Матрица   ;
Матрица   .

Найти:
Произведение матриц: A × B = C
C — ?

Решение:
Каждый элемент матрицы С = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Получаем:







Ответ: 

Пример 2.
Задание. Вычислить   и  , если 

Решение. 

 Так как   , а   , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица   , а это матрица вида   .

Вычислим элементы матрицы   :













Итак,   .

Выполним произведения в более компактном виде:





 Найдем теперь произведение  . Так как количество столбцов матрицы  (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы   (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ.   . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы   не совпадает с количеством строк матрицы   .
Пример 3.
  Найти произведения матриц AB и BA, если

   и   

   Р е ш е н и е: Имеем







Пример 4. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T = ; A^TB =  = = ;

C = ; А^ТВ+С = + = .
Пример 5. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ =  = .

ВА =  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример 6. Найти произведение матриц А= , В =

АВ =  = = .

Домашнее задание

1. 
   Л3, стр. 101-102, 105-108 (Пехлецкий И.Д.)
   
2. 
   Л4, стр. 63-81, №19; 23; 31; 36 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)
   

№19

Найти произведение АВ

№23

Найти 3А*2В, если

№31

Найти произведение АВ и ВА
Матрица A = Матрица B =
№36

Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2.

Найти А^ТВ+С.
№37
Найти А⁴



Решение домашнего задания
№19

Найти произведение АВ



Решение: Есть 2 матрицы: А (2 × 3) и В (3 × 2). Следовательно в результате умножения этих двух матриц получится матрица: С (2 × 2). Рассчитаем по правилу умножения матриц коэффициенты новой матрицы: С (2 × 2).

С ₁₁ = (2) × (1) + (1) × (2) + (0) × (2) = 4
С ₁₂ = (2) × (2) + (1) × (1) + (0) × (2) = 5
С ₂₁ = (3) × (1) + (1) × (2) + (1) × (2) = 7
С ₂₂ = (3) × (2) + (1) × (1) + (1) × (2) = 9
Ответ.

2 1 0 3 1 1

×

1 2 2 1 2 2

=

4 5 7 9

№23

Найти 3А*2В, если



Решение.

Есть 2 матрицы: А (2 × 3) и В (3 × 2).
Следовательно в результате умножения этих двух матриц получится матрица: С (2 × 2).
Рассчитаем по правилу умножения матриц коэффициенты новой матрицы: С (2 × 2).

С ₁₁ = (6) × (-2) + (-3) × (4) + (0) × (-6) = -24
С ₁₂ = (6) × (4) + (-3) × (0) + (0) × (2) = 24
С ₂₁ = (9) × (-2) + (6) × (4) + (3) × (-6) = -12
С ₂₂ = (9) × (4) + (6) × (0) + (3) × (2) = 42

Ответ.

6 -3 0 9 6 3

×

-2 4 4 0 -6 2

=

-24 24 -12 42

№31.
В итоге получаем матрицу AxB


-- Ответ

В итоге получаем матрицу B xA =
№36

Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2.

Найти А^ТВ+С.
Ответ:
A^T = ; A^TB =  = = ;
C = ;

А^ТВ+С = + = .


№37