Самостоятельная3.2теор.матем.. "Образование натурального числа"
 Скачать 36.84 Kb.
|
|
Задание 1. Составьте различные варианты беседы на всех этапах изучения отрезка натурального ряда: · образование натурального числа; · ознакомление с цифрой, используемой для записи числа; · определение места числа в натуральном ряду; · сравнение чисел разными способами; · выделение состава числа. Ответ: БЕСЕДА по теме “Образование натурального числа” (диалог Гуманитария и Математика) Г: ? Что может быть проще натурального ряда? 1, 2, 3, 5,... и так далее, без конца. То есть, для всякого натурального числа (n) найдется число, еще большее ? например, следующее за ним число (n+1). При этом каждое натуральное число (n) следует за неким другим числом ? тем, которое обозначается (n-1). Только единица 1 ни за кем не следует: она ? первая среди натуральных чисел. Выйдя из единицы и последовательно переходя от предыдущего числа к последующему, мы пройдем весь натуральный ряд ? если, конечно, нам дано неограниченное время. Так рассуждает обычный Гуманитарий на обыденном языке ? русском, английском или китайском. Но Математик, как вам уже известно, подобен Французу ? или, если угодно, Ирокезу. О чем ему ни расскажешь на обычном языке ? он все переводит на свой язык, и получается нечто совсем иное. Например, во что превратит Математик наши наивные рассуждения о натуральных числах? Послушаем этого странного эксперта: М: ? Ой, как здорово! Всего в пяти фразах вы описали все главные свойства натуральных чисел. Теперь я могу по вашим словам составить систему определений и аксиом, описывающих натуральный ряд (N) со всеми потрохами ? включая арифметические действия! Вот, смотрите: Аксиома 1. Всякому элементу (n) из множества (N) сопоставлен единственный элемент (n"), СЛЕДУЮЩИЙ за ним и отличный от него. Аксиома 2. Единица (1) не следует ни за каким элементом множества (N). Аксиома 3. Каждый элемент (n) множества (N), кроме единицы, следует за некоторым элементом ("n) из (N), отличным от (n). Аксиома 4. Если (n" = m"), то (n = m). Аксиома 5. Если подмножество (А) в множестве (N) содержит единицу (1) и, вместе с каждым своим элементом (а), содержит также следующий за ним элемент (а") ? то (А) СОВПАДАЕТ со всем множеством (N). М: ? Вот вам пять фраз на математическом языке, равносильные тем пяти русским фразам, которыми вы описали свойства натуральных чисел. Как вам это нравится? Г: ? Боюсь, что ирокезские фразы нравятся только тому, кто сведущ в ирокез ском языке. То же самое можно сказать о математических фразах. Кстати, вы обещали сформулировать аксиомы натурального ряда так, что из них будет следовать вся арифметика. Этого пока не видно! В ваших аксиомах не заметно ни знака (+), ни числа (2). Как же мы узнаем, что (2+2 = 4)? М: ? Чтобы это узнать, нужно дать определение СУММЫ двух натуральных чисел. Вот оно: О1. Для всякого (n), (n+1) = n". О2. Если сумма (n+m) уже определена, то n+(m") = (n+m)". Иными словами, число (2) следует за единицей (1): таково его определение, (2 = 1"). Аналогично, (3 = 2"), (4 = 3") ? тоже по определению чисел (3) и (4). А дальше все просто: 2+2 = 2+(1") = (2+1)" = (2")" = 3" = 4. Все эти равенства вытекают из определения суммы двух натуральных чисел! Г: ? Вот как! Значит, фраза "Два плюс два равно четыре" ? это ФОРМУЛИРОВКА теоремы, И уважаемый Математик сейчас рассказал нам ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этой теоремы, используя ОПРЕДЕЛЕНИЯ чисел (2) и (4), а также определение СУММЫ двух натуральных чисел и определение всего МНОЖЕСТВА натуральных чисел. Это последнее (а вернее ? первое, изначальное) определение натурального ряда (N) состоит из пяти аксиом, которые мы нечаянно выразили на обыденном языке. Так вас надо понимать, товарищ Математик? М: ? Именно так! И не жалуйтесь на мое иноязычие. Ведь вы сами довольно быстро осваиваете мой "ирокезский" язык! Какие у вас еще есть вопросы? Г: ? Ясно, какие! Докажите теперь, что "Дважды два ? четыре"! Об умножении у вас пока ни слова не было. Что же, вы опять придумываете новое определение? М: ? Ну конечно! Вот оно: О3. Для всякого (n), (n*1) = (n). О4. Если произведение (n*m) уже определено, то n*(m") = (n*m) + n. М: ? Теперь докажем, для примера, что "Дважды два ? четыре". Вот так: 2*2 = 2*(1") = (2*1) + 2 = 2+2 = 4. Здесь все равенства, кроме последнего, вытекают из определений суммы и произведения натуральных чисел. А последнее равенство мы недавно доказали: это была наша первая теорема о натуральных числах. Г: ? Да, это понятно. Но если так ? значит, вся таблица умножения состоит из формулировок теорем! И все их надо доказывать... Неужели каждую отдельно ? так, как вы сейчас доказывали, что "Дважды два ? четыре"? М: ? Конечно, нет! Для того и был создан математический язык, чтобы сводить длинные рассуждения к коротким. Ведь и первоклассники учат наизусть не всю таблицу умножения, а только небольшой ее кусок ? до строки "Десятью десять ? сто". Дальше запоминать не нужно, а надо выучить ПРАВИЛО умножения чисел "столбиком". Это и есть формулировка самой важной теоремы об умножении натуральных чисел ? разумеется, в ДЕСЯТИЧНОЙ системе записи. Если бы мы пользовались ДВОИЧНОЙ записью (как делают наши компьютеры), то необходимая таблица умножения была бы еще короче ? только до строки "Дважды два ? четыре". А дальше ? простое правило умножения столбиком! Г: ? Вот теперь, кажется, понятно! Значит, каждое действие ? сложение или умножение ? определяется с помощью двух аксиом. Из них выводятся несколько теорем-формул, составляющих таблицу умножения (или сложения) однозначных чисел. И еще две теоремы: о сложении либо умножении многозначных чисел столбиком... А как быть с ОБРАТНЫМИ действиями ? вычитанием и делением натуральных чисел? М: ? С вычитанием все просто: оно определяется аналогично сложению, но для получения разности нужно сдвигать первое слагаемое вдоль натурального ряда не вправо, а ВЛЕВО. Поскольку такой сдвиг не всегда возможен (слева от единицы ничего нет), то для выполнимости вычитания пришлось РАСШИРИТЬ натуральный ряд до ряда ЦЕЛЫХ чисел (Z): он бесконечен в ОБЕ стороны, с тем же шагом 1. // Кстати, вот вам полезная ЗАДАЧА: напишите систему аксиом, задающую множество всех целых чисел (Z). Какие из пяти аксиом натурального ряда вам придется изменить, и как изменить? Г: ? Спасибо: эта задача, кажется, под силу обычному человеку. А как насчет операции УМНОЖЕНИЯ среди целых чисел? Почему все-таки "Минус, умноженный на Минус, дает Плюс"? Из чего этот факт выводится? М: ? Ни из чего! Это НОВАЯ АКСИОМА, без которой арифметику целых чисел не построить. Конечно, ее можно заменить ДРУГОЙ аксиомой: например, "Минус, умноженный на Минус, дает Минус". Но этим мы загубим операцию умножения: обратная операция (деление) станет НЕОДНОЗНАЧНОЙ, и даже простейшие линейные уравнения окажутся без решений. Г: ? Ладно: этому можно поверить без доказательства. А вот насчет ДЕЛЕНИЯ ? это дело серьезное. По аналогии со сложением и умножением я делаю вывод: правило деления столбиком ? это тоже теорема, с довольно сложным доказательством. Верно? М: ? Да, именно так! Но в основе почти каждой трудной теоремы лежат одна-две леммы с простыми формулировками и не очень сложными доказательствами. Внутри теоремы о делении целых чисел скрыта всего одна такая лемма: о СУЩЕСТВОВАНИИ и ЕДИНСТВЕННОСТИ деления с ОСТАТКОМ среди натуральных чисел. Вот ее точная формулировка: ЛЕММА. Пусть даны два натуральных числа (а) и (в), причем (а>в). Тогда существуют целые числа (с) и (d) такие, что а = с*в + d. При этом 0 Г: ? Ну, тут смысл ясен. Да и доказательство, видимо, несложное. Надо раз за разом вычитать из числа (а) его делитель (в) ? до тех пор, пока (после (с) вычитаний) не получится остаток (d<в). Потом нужно доказать единственность частного и остатка. Там, наверное, будут какие-нибудь ухищрения ? но вдаваться в них не стоит! Вы нам лучше ответьте на такой вопрос: где еще применяется эта лемма? М: ? Вот это меткий вопрос! Поздравляю вас, коллега, с хорошим вкусом в математике! Действительно: самое важное применение леммы о делении с остатком ? это АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА, имеющий целью поиск Наибольшего Общего Делителя двух чисел. А самое главное теоретическое применение этого алгоритма ? доказательство Большой Теоремы о Единственности РАЗЛОЖЕНИЯ целого числа на ПРОСТЫЕ множители. Некогда эту теорему величали "Основной Теоремой Арифметики" ? до тех пор, пока не были обнаружены диковинные числовые миры, в которых простое разложение НЕ единственно. После этого гонор алгебраистов нашел себе новые выражения. Г: ? Ну, об этих чудесах мы поговорим позже ? если явится такая нужда. А вот про алгоритм Евклида вы нам объясните все необходимое ? да и про разложение на множители тоже! М: ? Извольте, объясню: большой хитрости тут нет. Пусть нужно найти НОД чисел (а1) и (в1), причем (а1>в1). Для начала разделим (а1) в (в1) с остатком (d1): это, как мы уже знаем, процедура однозначная. Если получился нулевой остаток ? ура! Тогда наша работа окончена, (в1) = НОД (а1, в1). А если остаток (d1) не равен 0? Тогда он меньше, чем (в 1) ? и можно разделить (в1) на (d1) с новым остатком (d2). Если (d2 = 0), то (в1) делится на (d1) без остатка. Поэтому число (а1), равное (в1*c1 + d1), тоже делится на (d1) без остатка; так что (d2) есть НОД (а1, в1). В общем случае придется проделать много таких делений: каждый раз мы делим предыдущий делитель на предыдущий остаток и дожидаемся, пока очередной остаток окажется равным 0. После этого мы принимаем ПОСЛЕДНИЙ НЕНУЛЕВОЙ остаток за НОД исходных чисел (а1) и (в1). Вот и все доказательство! Г: ? Схема, пожалуй, ясна; но некоторые детали вызывают сомнение. Например, почему описанный вами процесс поиска НОД завершится на каком-то шаге ? а не будет длиться без конца? И еще: легко поверить, что последний ненулевой остаток (dк) будет общим делителем всех промежуточных делимых чисел: от последнего (вк) до первого (а1). Но почему это будет НАИБОЛЬШИЙ их общий делитель? Тут, наверное, нужны точные расчеты; на слово этому рассказу верить не следует! М: ? Воистину так! Проделайте сами эти расчеты: вы убедитесь, что все верно. Из записи первого деления с остатком (а1=в1*c1+d1) видно, что ЛЮБОЙ общий делитель чисел (а1) и (в1) делит также число (d1). Из второй строки вы узнаете, что такой делитель делит также число (d2) ? и так далее, до конца. А вот будет ли делу конец ? это особый вопрос, с утвердительным ответом. Дело в том, что каждый следующий остаток в алгоритме Евклида МЕНЬШЕ предыдущего. Значит, на каждом шаге остаток уменьшается хотя бы на 1 ? то есть, процесс поисков НОД (а,в) может длиться не более чем (в) шагов. Г: ? Да, теперь, кажется, все понятно. Только не ясно, как из алгоритма Евклида может следовать ОДНОЗНАЧНОСТЬ разложения на простые множители... Что-то я не заметил такой теоремы в знаменитой книге Евклида! М: ? Действительно, это непростой вывод ? и сам Евклид его не сделал, потому что он ПРИНЯЛ НА ВЕРУ единственность разложения на множители среди натуральных чисел (а отрицательных чисел он вовсе не знал!) Если мы хотим получить такое доказательство, то нам нужно еще одно СЛЕДСТВИЕ из алгоритма Евклида: что число НОД(а,в) является ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ чисел (а) и (в) с ЦЕЛЫМИ коэффициентами. Например: НОД(3,5) = 1 = 2*3 + (-1)*5 Или: НОД(98, 26) = 2 = 4*98 + (-15)*26 М: ? Позвольте мне не доказывать этот факт в общем виде! Лучше я покажу, как он получается во ВТОРОМ из моих примеров ? достаточно сложном. Запишем алгоритм Евклида для чисел (98,26): 98 = 26*3 + 20 26 = 20*1 + 6 20 = 6*3 + 2 6 = 2*3 + 0 М: ? Итак, мы узнали, что НОД(98,26) = 2; при этом из ТРЕТЬЕЙ строки видно, как этот НОД выражается через два остатка, которые ему предшествовали: (6) и (20). Заменим в этом равенстве промежуточные остатки (6) и (20) их выражениями через НАЧАЛЬНЫЕ числа (98) и (26): эти выражения записаны в ПЕРВОЙ и ВТОРОЙ строках. Так мы получим: 2 = 20 ? 3*6 = (98 ? 3*26) ? 3*(26 ? 20) = = 98 ? 6*26 + 3*20 = 98 ? 6*26 + 3*(98 ? 3*26) = = 4*98 ? 15*26 М: ? В общем случае выкладки такие же, но чуть длиннее. Г: ? Да, этому можно поверить! Но почему все-таки разложение целого числа на простые множители единственно? М: ? Потому, что произведение двух целых чисел (А*В) делится на ПРОСТОЕ число (Р) только в том случае, если (А = К*Р) или (В = N*Р). Этот факт нетрудно доказать ОТ ПРОТИВНОГО. Сделаем это! М: ? Если число (А) НЕ делится на простое (Р), то НОД(А,Р) = 1 Если число (В) НЕ делится на простое (Р), то НОД(В,Р) = 1 Если верно и то, и другое, то мы получаем систему двух равенств 1 = (а1)*А + (в1)*В 1 = (а2)*А + (в2)*В А теперь ПЕРЕМНОЖИМ левые части этих двух равенств друг на друга, и их правые части ? тоже. Получится: 1 = (а1*А + в1*Р)*(а2*В + в2*Р) = (а1*а2*А*В) + (в1*а2*Р) + + (а1*в2*Р) + (в1*в2*Р*Р) Видно, что в ПРАВОЙ части этого равенства КАЖДОЕ слагаемое делится на (Р). Для всех слагаемых, кроме первого, это очевидно ? а первое слагаемое делится на (Р), поскольку произведение (А*В) делится на (Р) ? по условию нашей теоремы. Напротив: в ЛЕВОЙ части нашего равенства стоит единица 1, которая не делится ни на какое другое число. Это противоречие доказывает ЛОЖНОСТЬ нашего предположения: либо (А), либо (В) делится на (Р), что и требовалось доказать. Г: ? Ну и хитрец вы, сударь! Получили два равенства с одинаковыми левыми частями ? и вместо того, чтобы ПРИРАВНЯТЬ их правые части, вы их ПЕРЕМНОЖЕНИЕ... Но победителя не судят! Как же теперь доказать, что 3*5*11*19 = 7*13*17? М: Теперь это просто! Сначала разобьем правую часть вашего равенства на ДВА множителя ? например, на (7) и (13*17). Далее, заметим, что левая часть равенства ДЕЛИТСЯ на простое число (3); значит, и правая часть делится на него. Согласно только что доказанной лемме, хотя бы ОДИН из множителей справа ? либо (7), либо (13*17) ? ДЕЛИТСЯ на (3). Но ПРОСТОЕ число (7) НЕ делится на другое простое число (3). Поэтому на (3) делится произведение (13*17). Значит, либо число (13), либо число (17) делится на (3). Но оба эти числа ? простые, и такое деление невозможно. Все доказано! Г: ? Вот теперь ясно! Вы "ДРОБИТЕ" одну из частей предполагаемого равенства (скажем, правую часть) пополам ? и заключаете, что один из ее сомножителей ОБЯЗАН делиться на какой-то из ПРОСТЫХ множителей, стоящих слева. Потом вы еще раз дробите пополам этот якобы "делящийся" сомножитель ? и повторяете эту процедуру, пока не дойдете до одного простого числа. Уж оно наверняка не делится на ДРУГОЕ простое число! М: ? Совершенно верно ! Вы так хорошо все поняли, что мне охота задать вам коварный профессиональный вопрос. Откуда вы знаете, что число (2) или (3) ? простое? Как это можно доказать? Г: ? Вот это лихо! А и правда: ни в одной из аксиом не говорится о СУЩЕСТВОВАНИИ простых чисел! Значит, это ? теорема, и надо ее доказывать... Ну, начнем с двойки: на что она могла бы делиться? На что-нибудь меньшее, чем она сама... А ничего меньшего нет ? кроме единицы! М: ? Верно! Простоту числа (2) вы доказали. А как насчет тройки? Г: Наверное, так же: перебором произведений всех меньших тройки натуральных чисел! Человеку это занятие противно ? но можно научить ему компьютер... М: ? И тут вы правы! Человек должен доказывать такие факты, от которых он становится умнее. Вот, например, теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел. Г: ? А как ее можно доказать? М: ? Конечно, от противного! Попробуйте сделать это сами! Г: ? Можно попробовать... Итак, пусть множество всех простых чисел конечно: допустим, их сто штук. Как бы построить из них сто первое простое число? М: ? Постарайтесь для начала смастерить число, НЕ ДЕЛЯЩЕЕСЯ ни на одно из ваших ста простых чисел! Г: ? Это можно! Достаточно перемножить их все, и к этому произведению (А) добавить единицу. Она будет остатком от деления огромного числа (А+1) на каждое простое число, входящее в (А) как множитель. М: ? Верное рассуждение! Но можете ли вы утверждать, что ваше огромное числа (А+1) ? простое? Г: ? Не знаю... Может быть, и нет! М: ? Опять вы правы! Поэтому позвольте мне быстро закончить ваше доказательство. Если даже (А+1) ? не простое число, то среди его делителей НЕТ чисел из отмеченной вами сотни простых чисел. Значит, СУЩЕСТВУЕТ сто первое простое число ? хотя БЫСТРОГО пути его построения по известной сотне простых чисел мы с вами придумать не смогли. Кстати, такого способа не знает никто из математиков! Но я могу предложить вам пример. Пусть А = 2*3*5*7*11*13. Я обещаю вам, что число (А+1) ? не простое. Попробуйте отыскать хоть один его простой делитель! Если не сумеете сами ? поручите это дело компьютеру. Г: ? А поинтереснее задачку вы не можете предложить? М: ? Извольте! Могу дать несколько задач ? на любой вкус. Например, попробуйте доказать, что множество простых чисел вида (4к-1) бесконечно. Схема доказательства ? почти как у Евклида, но тут будет одна дополнительная тонкость: найдите ее сами! И обязательно проверьте: почему эта схема доказательства НЕ ПРОХОДИТ для простых чисел вида (4к+1)? Сам-то факт верен и там, и в более общей ситуации: множество простых чисел почти в любой арифметической прогрессии бесконечно. Но доказательство намного сложнее: для чисел вида (4к+1) его нашел только Гаусс, использовав комплексные числа. Вот вам урок: рядом с красивым и простым фактом лежит другой ? очень похожий на него по красоте, но гораздо более трудный! Г: ? Ладно, попробую помериться силой если не с Гауссом, то хоть с Евклидом! А насчет делимости вы можете дать хорошую задачу? М: ? Конечно, могу! На эту тему много хороших задач. Вот вам две ? не особенно трудные. Первая: многочлен (Х.. + Х + 41) принимает простые значения при очень многих натуральных значениях аргумента (Х). Проверьте это сами ? и докажите, что этот многочлен не может принимать простые значения при ВСЕХ натуральных значениях аргумента! Кстати, этот факт верен для ЛЮБОГО многочлена с целыми коэффициентами. Сообразите: при каких коэффициентах доказательство окажется самым трудным? Г: ? Наверное, тогда, когда все коэффициенты равны плюс или минус единице! М: ? Славно работает ваша интуиция! Вот вам за это еще одна исследовательская задача. Рассмотрим многочлен (Р.. -1), где символ (Р) пробегает все ПРОСТЫЕ значения, начиная с 5. Я утверждаю, что значения этого многочлена во ВСЕХ точках делятся на некоторое натуральное число ? довольно большое. Какое оно? Угадайте в простейших примерах и докажите в общем виде! Г: ? А по поводу аксиом есть красивые задачи? М: ? Конечно, есть! Например, попробуйте доказать НЕОБХОДИМОСТЬ каждой из 5 аксиом натурального ряда с помощью контрпримеров. То есть, постройте 5 примеров множеств, отличных от (N), но удовлетворяющих всем аксиомам, кроме какой-то одной. Это удобно сделать на рисунке ? из точек и стрелочек. Г: ? Вот это ? хорошее развлечение! Наверное, одним из контрпримеров будет ряд целых чисел. А другим ? замкнутый контур... М: ? Верно! Продолжайте в том же духе ? не разочаруетесь! А если угодно еще задачу на ту же тему ? сообразите-ка, почему пятую аксиому натурального ряда называют "Аксиомой Индукции"? Г: ? Это как-то связано с "методом математической индукции", о котором вы ни слова не сказали? М: ? Конечно, связано! Возьмем любую формулу, зависящую от натурального числа (n). Обозначим через (А) множество тех чисел (n), для которых формула верна. Проверим, лежит ли в множестве (А) число 1. Затем предположим, что в нем лежит число (к) ? и проверим, вытекает ли из этого, что в (А) лежит следующее число (к"). Если вытекает ? значит, (А) совпадает со всем (N), по аксиоме 5. То есть, наше формула верна для всех значений (n). Г: ? Вот оно что! Ну, дайте еще парочку задач на индукцию! М: ? Извольте! Вот легкая задача: докажите, что сумма кубов первых (к) натуральных чисел равна (к(к+1))../4. Г: ? Это же ? квадрат суммы первых (к) натуральных чисел! М: ? Именно так! Но угадать этот факт трудно ? а доказать по индукции довольно легко. А еще получайте исследовательскую задачу: на какое наибольшее число частей могут разделить плоскость (к) прямых? Ответ я вам подсказывать не стану: угадайте его в простейших примерах, а потом докажите по индукции! Г: ? Кажется, этого хватит для разумного развлечения... Но под занавес ? приведите пример НЕ РЕШЕННОЙ до сих пор проблемы из области натуральных чисел! Есть такие проблемы? М: ? Есть, хотя немного. Вот вам самая древняя проблема: ее, видимо, предложил еще Эратосфен. Конечно или бесконечно множество простых близнецов ? то есть, пар простых чисел вида (Р);(Р+2)? Г: ? Неужели это неизвестно? М: ? Представьте себе: неизвестно! Тут не помогают ни простейшие приемы Евклида, ни хитрые рассуждения Гаусса, ни даже зубодробительная техника Дирихле. Только в 1930 году удалось доказать, что доля близнецов среди всех простых чисел УБЫВАЕТ и стремится к 0 при неограниченном росте того отрезка натурального ряда, на котором мы рассматриваем простые числа. Но из стремления к нулю этой доли не следует существование НАИБОЛЬШЕГО простого близнеца! Итак, проблема Эратосфена все еще ждет своего покорителя ? через 22 столетия после того, как ее заметил хитроумный директор Александрийской библиотеки. Так вот и развивается древняя и вечно юная теория чисел, с которой я имел честь вас познакомить. Вы довольны? Г: ? Да, премного! Математиком вы меня, конечно, не сделали. Однако убедили в том, что "Одной наукой больше ? одной душой больше", если чуть перефразировать немецкую поговорку о языках. Спасибо вам, уважаемый Француз ? или Ирокез, как вам угодно! БЕСЕДА по теме “ознакомление с цифрой, используемой для записи числа” Цель: развитие познавательных и интеллектуальных способностей детей Число семь с древнейших времён считалось волшебным и таинственным у самых разных народов мира. Древние говорили о семи чудесах света. Рим был основан на семи холмах. Неделя состоит из семи дней. Шесть дней Господь творил землю, а на седьмой-отдыхал. Раньше словом "неделя" назывался воскресный выходной день, когда люди ничего не делали,а неделя в современном понимании называлась седмицей. В древнерусском языке число семь писалось как седмь. В сказках разных народов мы встретим и семиглавую гидру,и семимильные сапоги-скороходы, и храбреца, который "одним махом семерых побивахом". А сколько цветов в радуге? Правильно. Тоже семь. Красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. В музыке тоже семь нот. Вы знаете: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Математики давно обратили внимание на то, что 7 - это самое большое простое число в первом десятке. Именно с величиной,размером связаны по смыслу многие старинные русские пословицы и поговорки,в которых входит число семь: Семеро одного не ждут; семь раз отмерь, один раз отрежь; за семь вёрст киселя хлебать; седьмая вода на киселе; семи пядей во лбу; работать до седьмого пота, или пока семь потов не сойдёт; семи смертям не бывать,а одной не миновать; семь бед-один ответ; один с сошкой-семеро с ложкой; семь пятниц на неделе, В слове "семья" тоже спрятано число семь.По смыслу этого слова человек должен повториться в семье семь раз. Вот такое удивительное число семь! Беседа по теме “определение места числа в натуральном ряду” Тема: Отношение между числами натурального ряда Цель: упражнять детей в различении назывании геометрических фигур, формирование умения группировать их по признакам. Формировать представления о числах, составе числа, Развивать зрительное восприятие детей, глазомер, координацию движений, внимание. Воспитывать умение работать в коллективе, чувство сотрудничества, умение слушать и желание помочь товарищу. Оборудование: билеты геометрической формы, облака в форме геометрических фигур, камни с цифрами, снежинки с разрезными цифрами, счетный материал Ход занятия: Психологический настрой. Ритуал « Здравствуй, это я! Здравствуй, мир!» Ребята, вы любите путешествовать. -А скажите мне, на чем можно путешествовать? Вы готовы к путешествию? (ДА) Учитель: Я вам предлагаю отправиться в путешествие На воздушном шаре на остров математических приключений. Но прежде чем занять места я, предлагаю поиграть в игру на сообразительность. Кто правильно будет отвечать на вопросы получит билетик и сможет занять свое место. Билетик будет геометрической формы. Определенный номер стоит на фигуре. Место занимают строго по номеру. Молодцы, все заняли места правильно . Вопросы: 1.Какие семьи могут жить в стране математике? (семья цифр, семья геометрических фигур, семья знаков) 2.Сколько снеговиков в снежной семье?(3. голова, туловище, ноги) 3.Чего у человека по пять? ( пальцев на руках и ногах). 4.Какой знак добрее?( +или -) 5.Сколько будет (5+5) ? Дай правильный ответ не называя числа 10. 6. Чего у человека по два ? 7.Пришибленный квадрат? 8.Сколько ног у осьминога и зачем ему так много? Приклейте свои билетики на номерки в воздушном шарике. А чтобы взлететь, необходимо посчитать от 10 в обратном порядке. Вот мы и воздухе . Как красиво вокруг! Какие необычные облака ! Облака белые, как настоящие, но что в них необыкновенного? -Какой геометрической формы ты видишь облако? -Почему ты решил, что это облако той или иной формы? -А еще какой формы вы видите облака? Физминутка для глаз. Описать геометрическую фигуру глазками. Полет наш продолжается и пока мы летим, я предлагаю проявить больше внимания и составить или найти больше геометрических фигур Хорошо все справились с заданием. Мы пролетаем над островом .Давайте посмотрим, что это за остров . Дорога завалена камнями. Надо их разобрать, но не просто убрать камни с дороги ,а выложить их по порядку. Возьмите камни с цифрой 1, а потом ту цифру которая следует за цифрой 1.и.тд. Молодцы, мы разобрали груду камней. Но что это стало пасмурно и пошел снег .А снежинки не простые .Мы должны собрать половинки и получить цифру. Теперь, скажите какое число из этих цифр наименьшее?1 А самое наибольшее? 8. Вот оказывается, какой сюрприз нас ждал . Давайте заглянем под снежную елочку и кого мы видим.Это зайчик. А что любят зайчики? Вот вам морковка вы можете угостить зайчика. Решив примеры на карточке. Ну, что ж, наше путешествие подошло к концу и нам пора возвращаться домой. Давайте займем свои места в воздушном шаре . Чтобы подняться, нужно посчитать от 1 до 10 в прямом порядке. Анализ урока: Сегодня на уроке мы определяли соотношение между числами натурального ряда. Собирали геометрические фигуры. Беседа по теме “сравнение чисел разными способами” Тема: Сравнение чисел Цели: — сравнивать число элементов в множествах путем приложения, — пользоваться выражениями «больше — меньше, поровну» при сравнении множеств; — устанавливать неравенство множеств: больше на один, меньше на один; — устанавливать равенство двух множеств путем добавления к меньшему; — развивать пространственные представления: спереди — сзади, вперёд – назад; — закреплять представление о цвете предметов (красный, синий, желтый, зеленый); — сравнивать предметы по цвету, по величине (путем наложения объектов); — развивать внимание и память; — развивать коммуникативные умения: слышать заданный вопрос, давать ответ на поставленный вопрос в виде простого предложения. Оборудование: кукольный театр «Волк и семеро козлят», корзинка, 7 морковок из картона, 1 цветок из картона, детские тарелочки, маски козы и козлят, мольберты, 7 фломастеров, 7 шариков из картона, полоски разной длины из картона, тарелки для раздаточного материала. Ход занятия: 1. Введение в игровую ситуацию Воспитатель с детьми на ковре — Ребята, вы любите сказки? — И я люблю. А моя любимая сказка, про маму – козу, у которой много деток. Что это за сказка? Догадались? — А хотите отправиться в эту сказку? — Тогда закройте глаза руками, и произнесите вместе со мной: «1,2,3,4,5 волшебство приди опять…» Воспитатель убирает ширму, за которой стоят на столе коза и козлята — Ну вот, мы и попали в сказку. Проходите в сказку. — А кто это? А козлят сколько? А мама –коза? Воспитатель вместе с детьми подходит к столу, на котором стоит кукольный театр «Волк и семеро козлят»: домик, коза и козлята. Воспитатель уточняет у детей, что коза одна, а козлят много. 2. Мотивационная игра — Кто еще был в этой сказке? — А какой волк был? — А нашей сказке волк хочет помириться с мамой — козой и козлятами. И он для них прислал целую корзину подарков. Воспитатель ставит на стол корзину с овощами. — Ребята, что в корзинке? — А сколько морковок? Какого цвета? — А сколько цветочков? — Как вы думаете, для кого волк прислал цветочек? Почему? — А морковки? Почему? — Ребята, волк очень боится, что морковок на всех козлят не хватит. — А куда мы с вами будем раскладывать угощение? 3. Затруднение в игровой ситуации Воспитатель показывает поднос с игрушечными тарелками — Сколько тарелок? Какой формы тарелочки? Какого цвета? — Давайте каждому козленку раздадим по одной тарелочке. — У каждого козленка есть тарелочка? — Что можно сказать про количество тарелочек и козлят? Кого больше? Чего меньше? 4. Поиск выхода из затруднения в игровой ситуации — Ребята, козлик плачет. Он один остался без тарелочки. Что же делать? — Правильно, чтобы козлик не плакал, возьмем еще одну тарелочку. -У меня есть одна тарелочка. Посмотрите, она такая же? Чем она отличается? — Теперь у всех козлят есть тарелочки? — Что можно сказать о количестве козлят и тарелочек? — А еще можно сказать, что тарелочек столько же, сколько и козлят. — А что мы сделали, чтобы количество тарелочек и козлят стало поровну? — Правильно добавили еще одну тарелочку 5. Самостоятельное применение «нового» в других игровых ситуациях Ну а теперь давайте раскладывать угощение, которое прислал волк. — Каждый возьмите по одной морковке и положите на тарелочку — Всем хватило морковок? — Итак, наши козлики полакомились. И теперь они хотят немного поиграть. — Ребята, а вы знаете, что у козлят есть любимая игра? Они любят ходить по ровненькой дорожке. — А вы хотите поиграть? — Давайте превратимся с вами в козлят. Я буду мамой – козой, а вы маленькими козлятами. Поиграем? Воспитатель надевает на голову маску козы. — Я иду впереди, а кто сзади меня? Стоп! Повернулись в другую сторону. Теперь впереди…., а кто сзади? А сейчас я оказалась сзади. Читайте также: Сравнить две даты jquery Физминутка под музыку По ровненькой дорожке, Идти шагом. По ровненькой дорожке Шагают наши ножки: Раз – два, раз – два. По кочкам, по кочкам, Прыгать на двух ногах с По кочкам, по кочкам … В ямку – бух! Присесть на корточки. Стихотворение повторяется снова. После нескольких повторений воспитатель произносит другой текст: По ровненькой дорожке, Устали наши ножки, Вот наш дом – здесь мы живём. В процессе игры воспитатель уточняет у детей кто впереди, кто сзади? Идем вперед. — Вот какие козлики молодцы! 6. Повторение и развивающие задания — Ребята, а вы помните, что волк хочет помириться с мамой – козой и козлятками? Он прислал угощение и скоро сам придет в гости. А давайте нарядим домик к приходу волка? А чем? Воспитатель подводит детей к мольбертам, на которых висят рисунки с разноцветными шариками. — Смотрите! Что это? — Посмотрите внимательно, а чего не хватает? — Возьмите каждый по одному фломастеру. — А теперь, найдите глазками каждый шарик своего цвета. — Как проверим? Приложим фломастер к шарику. Воспитатель уточняет, какого цвета шарик выбирает ребенок — Вот какие молодцы! — Ребята, но это еще не все. Волк очень торопится в гости. И он просит вас выбрать для него самую короткую дорожку, по которой он быстро прибежит из леса к козлятам. Воспитатель усаживает детей за стол. На столе лежат две полоски разной длины. — Что лежит на столе? — Правильно, это дорожки, по которым побежит волк. — Какие полоски — дорожки? Какого цвета? — Какая дорожка короткая? Как узнали? — Правильно, одну полоску наложили на другую. Провели пальчиком по полоске. И у желтой полоски конец выступает. — А теперь я предлагаю вам взять все ваши короткие полоски – дорожки и сделать из них одну дорожку для волка. — Посмотрите, какая дорожка у нас получилась! — Сколько полосок нам понадобилось для нашей дорожки? — А сколько коротких полосок взял каждый из вас? Воспитатель достает фигурку волка. — Ой, ребята, а кто это у нас? — Правильно, вот и волк пришел в гости к нам. — Здравствуйте, ребята! (волк приветствует детей) — Ребята, спасибо вам большое за помощь. Вы помогли мне помирится с мамой –козой и козлятками! Теперь я буду со всеми в лесу дружить. И с вами тоже. А вы будете со мной дружить? 7. Итог занятия — Ребята, а где мы сегодня побывали? — Кому помогали? Для кого раскладывали морковки? Кому подарили цветочек? Чем наряжали домик? — Что понравилось делать? Формирование элементарных математических представлений «Закрепление чисел 3 и 4» в подготовительной группе Конспект занятия по ФЭМП «Закрепление чисел 3 и 4» в подготовительной группе Цель: Создать условия для закрепления детей образования числа. Беседа по теме “выделение состава числа” В старшей группе начинают углублять представление о числе. Детей знакомят с составом из единиц чисел первого пятка (5 — это 1, 1, 1, 1 и еще 1). Для того чтобы подчеркнуть состав множества (из элементов) и на этой основе дать детям представление о составе числа (из единиц), подбирают такие совокупности, в которых каждый предмет отличается от других. Сначала используют предметы одного вида, отличающиеся друг от друга либо окраской, либо размером, либо формой (наборы разноцветных флажков, матрешек, палочек разной длины или толщины, елочек, пирамидок разной высоты и т. п.), позднее — предметы, объединенные одним родовым понятием (например, комплекты игрушек: посуда, мебель, одежда и др.), а также плоскостные изображения предметов или предметные картинки. Наряду с сюжетным используют и бессюжетный материал: модели геометрических фигур, полоски бумаги разной длины или ширины и т. п. Дети быстрее поймут количественное значение числа, если параллельно будет рассматриваться состав 2 чисел. Вначале все дети одновременно работают с одним и тем же раздаточным материалом, а позднее — с разным (например, одни составляют группу из 4 предметов мебели, другие — одежды, третьи — посуды). Состав каждого числа иллюстрируют не менее чем на 2—3 видах предметов. Выполняя задание, дети непременно должны рассказывать, как составлена группа, по скольку в ней разных предметов и сколько их всего, называть и предметы, и их количество. («1 тарелка, 1 блюдце, 1 чашка — всего 3 предмета посуды».) Конкретные вопросы («Сколько взяли красных карандашей? Сколько синих? Сколько всего у вас карандашей?») постепенно подменяют более общими, например: «По скольку ты взял разных игрушек? Сколько их всего? Как получилось у тебя 4 игрушки?» Для обобщения знаний предлагаются вопросы: «Сколько разных игрушек ты возьмешь, если я назову число 4? Сколько раз ты подпрыгнешь, если я назову число 3?» Воспитатель дает задание подобрать указанное число игрушек (выполнить указанное число движений). Важно, чтобы общее и конкретное постоянно выступали в единстве друг с другом. Постепенно дети все более осознают количественное значение числа. Знание количественного состава чисел в пределах пятка позволяет им в подготовительной к школе группе усвоить приемы вычисления путем присчитывания и отсчитывания по единице чисел 2 и 3. Для закрепления знаний о составе числа используют словесную игру «Назови 3 (4, 5) предмета!». Педагог предлагает детям назвать 2 (3, 4, 5) разных предмета мебели, одежды, головных уборов, посуды и т. п., а также упражнение с включением элемента соревнования: «Кто быстрее назовет 3 (4, 5) головных убора?» И т. п. У детей подготовительной к школе группы закрепляют знания о составе из единиц чисел первого пятка, они изучают состав из единиц чисел второго пятка, учатся устанавливать отношение между единицей и числом (6 — это 1, 1, 1, 1, 1 и еще 1). Как и в старшей группе, вначале показ состава числа из единиц осуществляют на конкретном материале. Используют приемы: составление группы из разных предметов или игрушек; составление группы из однородных предметов, отличающихся качественными признаками; составление группы из картинок, на которых изображены разные предметы, объединенные родовым понятием (1 стул, 1 табуретка, 1 кресло, 1 секретер, 1 шкаф, 1 буфет — всего 6 предметов мебели). В работе с детьми 6—7 лет используют и новые приемы: зарисовка определенного числа разных игрушек или геометрических фигур. («Я нарисовал всего 5 фигур: 1 Круг, 1 фигуру овальной формы, 1 квадрат, 1 прямоугольник, 1 треугольник».) Распределение предметов по группам по одному из признаков, выделение каждой группы как единицы счета и определение общего количества групп. («Всего 4 группы флажков: 1 группа голубых флажков, еще 1 — розовых, еще 1 — желтых и еще 1 — синих»,) Дети скорее поймут количественное значение чисел, если параллельно будут изучаться состав 2—3 чисел и чередоваться упражнения в составлении соответствующих количественных групп. Этому способствует организация действий детей одновременно с разным раздаточным материалом (так, у одних, например, группа составлена из 7 предметов мебели, у других — из 7 предметов посуды, у третьих — из 7 разновидностей овощей и т. д.). Выполнив задание, дети каждый раз рассказывают, как составили группу, по скольку у них разных предметов и сколько их всего. Шестилетним детям можно одновременно называть 2 числа и давать задания составить сразу 2 группы предметов, например на верхней полоске карточки составить группу из 4 разных геометрических фигур, а на нижней — из 5. Воспитатель обращает внимание детей не только на количественный состав числа из единиц, но и на отношения между числами (на сколько одно число больше или меньше другого). Широко используют словесные упражнения без опоры на наглядный материал: «К белочке в гости пришли заяц, ежик и медвежонок. Сколько гостей оказалось в домике у белочки? Сколько всего зверей в домике у белочки? Поскольку оказалось разных зверей?», «В команду космического корабля вошли командир корабля, бортинженер и врач. Сколько человек вошло в команду космического корабля?» Постепенно дети начинают понимать, что каждое число содержит определенное количество единиц, они могут отвечать на вопросы: «Сколько- игрушек ты возьмешь, если я назову число 7? Почему?» — а позднее и на такой вопрос: «Сколько единиц содержится в числе 7?» Работу по этой теме проводят на 6—7 специальных занятиях. На первых 3 из них изучают материал в первой части, а на последующих — во второй. Однако к теме надо периодически возвращаться в течение "всего учебного года, и особенно тогда, когда дети будут осваивать приемы вычисления присчитыванием по 1. В плане подготовки детей к деятельности вычисления необходимо познакомить их с составом числа из 2 меньших чисел. Детей знакомят не только с разложением числа на 2 меньших, но и с получением числа из 2 меньших чисел. Это способствует пониманию детьми особенностей суммы как условного объединения 2 слагаемых. Детям показывают все варианты состава чисел в пределах пятка. Число 2 — это 1 и 1, 3 —это 2 и 1, 1 и 2, 4 —это 3 и 1, 2 и 2, 1 и 3, 5 — это 4 и 1, 3 и 2, 2 и 3, 1 и 4. Знакомство с составом числа из 2 меньших чисел обеспечивает переход к обучению детей вычислению. Задание 2. Используя методическую литературу, определите перечень наглядных средств, которые необходимы при изучении нумерации. Заполните таблицу:
Задание 3. Сравнение чисел можно осуществлять разными способами: 1. На основе сравнения двух множеств А и В (в множестве А – три элемента, в множестве В - 4), устанавливается взаимно однозначное соответствие между А и подмножеством В1 множества В, делается вывод, что в множестве В столько же элементов, сколько в множестве А, да еще 1, следовательно, 4>3. 2. Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа в. 3. а<в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а+с=в. Составьте задания, при выполнении которых учащиеся усваивают разные способы сравнения чисел. Приведите примеры рассуждений учащихся при выполнении этих заданий. Ответ: 1.Разложим наши яблоки, хотя бы на столе, и попробуем положить против каждого яблока пр груше. Возможны три случая. Первый случай: против каждого яблока окажется груша, и при этом не только все яблоки, но и все груши окажутся разрушенными. В этом случае, очевидно, у нас столько же яблок, сколько и груш. Второй случай: против каждого яблока окажется по груше, но при этом еще останется несколько "лишних" груш - в этом случае у нас больше груш, чем яблок. Наконец, возможен последний, третий случай: стараясь разложить все груши так, чтобы против каждого яблока лежала груша, мы не достигнем цели - нам не хватит груш. Тогда, очевидно, груш меньше, чем яблок. Как видите, мы смогли произвести количественную оценку двух множеств - корзины яблок и корзины груш, не рассчитывая точно, сколько имеется тех и других плодов, т. е. установить, каких плодов больше, или убедиться, что их имеется одинаковое количество. Эту оценку мы произвели, установив, как говорят, взаимно однозначное соответствие между одним множеством и другим или частью другого. Для лучшего уяснения, что такое взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, приведем еще несколько примеров. 2. Катя нашла 3 гриба, а Маша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки?» В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(А) = 3, n(В) = 4 и А Ç В= Æ, то n(A È B) = 3 +4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 = 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов. 3.Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему? В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента. Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n(В) = n(В1) + n(В\В1) = 5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек. |