Лекция. Лекция 1. Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии
 Скачать 465.41 Kb.
|
|
Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, позволяющего по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени to определить его будущее в любой момент времени t > t0• В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, а может описывать пространственпо-временную эволюцию. Проблема предсказания эволюции объекта в естествознании представляет собой, безусловно, математическую задачу. Математическая логика требует от нас четкой формулировки предмета и задачи исследования. С этой целью необходимо сформулировать определение изучаемого объекта и указать его свойства. Предметом нашего анализа будут не системы и объекты вообще, а так называемые динамические системы в математическом понимании этого термина. Под динамической системой (ДС) понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин или функций в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, и его называют законом эволюции. Динамические системы - это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле задания закона эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марконских цепей и т. д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы. Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены динамические переменные (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. В качестве примера рассмотрим модель нелинейного консервативного осциллятора (физическая система, совершающая колебательное движение): презентация Основные понятия и определения методов нелинейной динамики 2 Характеристики и идентификация нелинейных объектов Эффективные во многих отношениях линейные модели реальных объектов и систем, как правило, справедливы только при сравнительно малых воздействиях, откликах и внутренних сигналах моделей. Однако по мере роста сигналов линейные модели теряют адекватность, перестают соответствовать моделируемым объектам. Некоторые характеристики сил реальных технологических систем, например, трение в направляющих инструмента, принципиально не могут быть аппроксимированы, заменены линейной моделью. Более близким к реальным условиям работы, по сравнению с линейными моделями, является описание в виде нелинейных моделей, анализ динамического поведения которых возможен только при использовании современных методов нелинейной динамики и моделировании на ЭВМ. 2.1 Свойства нелинейных объектов и систем Нелинейные элементы и характеристики сил технологических процессов в общем случае являются динамическими объектами и обладают не только собственно нелинейностью, но и инерционностью, и поэтому описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Система не линейна, если хотя бы один ее элемент является существенно нелинейным, т.е., его замена линейным приводит к принципиальному изменению свойств системы. Это изменение можно определить по значительному изменению выходного сигнала после такой замены. Особенности нелинейных систем: - в отличие от линейных систем, для нелинейных не справедлив принцип суперпозиции, т.е. реакция нелинейной системы на сумму воздействий не равна сумме ее реакций на каждое из них;  - любой неустойчивый линейный элемент по мере роста сигналов на его входе или в нем самом становится нелинейным; - нелинейные элементы могут быть устойчивыми при малых воздействиях, но неустойчивыми при больших, и могут быть не устойчивыми при любых воздействиях; - в нелинейных системах может существовать устойчивый режим автоколебаний; - изменение последовательности линейного и нелинейного элементов динамической системы изменяет ее свойства.  Изменение последовательности линейного инерционного и нелинейного безынерционного элементов существенно сказывается на выходной характеристике. Схемы не эквивалентны, как это было бы в случае последовательности линейных элементов (рисунок 1). 2.2 Характеристики и модели нелинейного объекта Нелинейные объекты (НО) и системы (НС), а также их элементы (НЭ) обладают набором свойств, которые описываются количественно рядом характеристик. 2.2.1 Основные характеристики нелинейного объекта Важнейшей характеристикой нелинейного объекта (НО) или его элемента (НЭ) является статическая характеристика (рисунок 2). Стр 14 Статическая характеристика - это зависимость величины выходного сигнала нелинейного элемента у от величины входного х, при условии, что его входное воздействие постоянно (не изменяется достаточно длительное время для того, чтобы переходные процессы в нелинейном элементе, если они имеют место, завершились). Статическая характеристика показывает, как зависит выходная величина нелинейного элемента от входного воздействия, когда вход меняется очень медленно, т.е. в условиях, когда инерционные свойства нелинейного элемента практически не проявляются. Статическая характеристика используется в тех случаях, когда нелинейный элемент является однонаправленным, т.е. он не влияет на режим работы источника воздействия на НЭ и подключенный к нему блок не изменяет его режима работы. Существенно нелинейный элемент объекта или системы это такой элемент, замена которого линейным приводит к принципиальному изменению свойств системы. Это изменение можно определить по значительному изменению выходной характеристики после такой замены. В инженерных задачах, как правило, в системе имеется только один существенно нелинейный элемент. Это объясняется тем, что по мере роста сигналов в линейной модели, какой-то из ее элементов первым начинает проявлять нелинейные свойства, становится существенно нелинейным. Статические характеристики существенно нелинейных элементов в инженерных задачах могут быть приближенно заменены, аппроксимированы отрезками прямых (аппроксимация линейно-ломанной линией). В практике используют, например, следующие типовые аппроксимации статических характеристик нелинейных элементов (рисунок 3). Выходная величина "динамических" элементов зависит от предыстории изменения входного воздействия. Поэтому такие неоднозначные нелинейности называют нелинейностями с памятью. Быстродействие (инерционность) - вторая характеристика нелинейного элемента. Определяется длительностью переходных процессов объекта, если таковые имеют место. Диапазон линейности - еще одна важная характеристика нелинейного объекта, определяющая диапазон величин входного воздействия, в котором объект обладает линейными свойствами. Крутизна статической характеристики. Крутизна в общем случае зависит от выбора рабочей точки и определяется как дифференциальный коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления для малых приращений входного воздействия. 2.2.2 Экспериментальное определение статической характеристики НЭ В общем случае нелинейный элемент состоит не только безынерционных элементов, но и включает в себя инерционные (линейные нелинейные), которые соединяются сложным образом и могут взаимодействовать друг с другом как в одном, так и в двух направлениях. Исходя из определения статической характеристики, следует задавать, последовательно увеличивая в некоторых границах, значения входного воздействия нелинейного элемента, и измерять соответствующие значения его выходного сигнала. Результаты следует заносить в таблицу. Затем они могут быть представлены на графике и аппроксимированы некоторой функциональной зависимостью (рисунок 4). Процесс измерения статической характеристики может быть автоматизирован. Для этого на вход нелинейного элемента следует подать относительно медленно меняющийся линейно растущий со временем сигнал, а выходной сигнал элемента наблюдать на осциллографе, который и представит статическую характеристику (рисунок 5). Зона нечувствительности составляет -0.3 +0.3 единиц. При значениях входного воздействия, меньших -2.5, выходная величина ограничивается на уровне -2.2, при значениях больших 2.9 выходная величина ограничивается на уровне 2.6. При скоростях роста входного воздействия, меньших 1 ед/с характеристики практически совпадают, а при скорости роста в 4 ед/с инерционность элемента существенно сказывается на форме кривой. Таким образом, зондирование нелинейного элемента достаточно быстро линейно растущим воздействием позволяет проявить и его инерционные свойства, установить факт их наличия. При автоматизированном построении статической характеристики нелинейного элемента скорость роста входного воздействия нелинейного элемента должна быть выбрана настолько малой, чтобы инерционные свойства элемента не сказывались на характеристике. В данном случае скорость роста достаточно взять 0,1 ед/с или менее. 2.2.3 Безынерционная модель НЭ Во многих случаях, когда инерционность элементов, включенных последовательно с нелинейным элементом, значительно превышает его собственную инерционность, можно считать нелинейный элемент безынерционным. В таком нулевом приближении звено полностью описывается статической характеристикой. Использовать такую модель имеет смысл, если элементы системы, включенные последовательно с нелинейным элементом обладают куда большей инерционностью, чем он сам. 2.2.4 Инерционная модель НЭ первого порядка (Л-НБ-Л -модель) Наиболее точная модель нелинейного объекта может быть получена в результате анализа его физической структуры и составления дифференциального уравнения на основе физических законов, описывающих отдельные элементы объекта и взаимодействия между ними. На основе этого уравнения (или системы уравнений) может быть построена и объектная модель. Однако этот подход может быть не всегда реализован инженером, например в случае, когда имеется реальный объект, но не известна его структура. В последнем случае задача идентификации объекта может быть более эффективно решена построением модели непосредственно по результатам исследования объекта. Оценка инерционности нелинейного элемента может быть дана по скорости изменения входного воздействия, при которой она начинает проявляться. Во многих случаях в качестве приближенной модели инерционного нелинейного элемента (ИНЭ) можно рекомендовать последовательное соединение линейного (Л) инерционного элемента, безынерционной нелинейности (БН), а затем вновь линейного (Л) инерционного элемента. Назовем такую модель Л-БН-Л-моделью. Модель безынерционной части НЭ это его статическая характеристика. Она и определяет статические и дифференциальные коэффициенты усиления всего НЭ. Поэтому коэффициенты усиления линейных частей Л-БН-Л-модели задаются равными единице. Совокупные инерционные свойства первой и второй линейной частей Л-БН-Л-модели нелинейного объекта могут быть оценены путем подачи относительно малых приращений воздействия при разных значениях исходного уровня воздействия, соответствующего разным линейным участкам статической характеристики (рисунок 7). При заданных уровнях воздействия нелинейный элемент по отношению к малым приращениям воздействия является линейным с отличающимися в общем случае параметрами линейных элементов (коэффициентом усиления и постоянными времени), которые могут зависеть от уровня постоянной составляющей входного воздействия, т.е. рабочей точки. Переходные характеристики, полученные в режиме малого сигнала, позволяют определить вид передаточной функции и параметры ее элементов для последовательного соединения первой и второй инерционных частей. |