Производная.функции-парам.и неявный вид. Определение Говорят, что функция ( )

• Название: Определение Говорят, что функция ( )
• Дата: 19.01.2022
• Размер: 469.18 Kb.
• Имя файла: Производная.функции-парам.и неявный вид.pdf
• Тип: Документы; #335571

Определение 1. Говорят, что функция ( )
y x задана параметрически, если она определяется двумя функциями аргумента
t
, называемого параметром:
( ),
( )
x
t
y
t




(2.14)
и при этом для функции
( )
x
t


существует обратная
1
( )
t
x



. Параметр
t
существует на некотором множестве T (например, на отрезке
1 2
[ , ]
t t
).
Если ( )
t

и ( )
t

дифференцируемы в некоторой области изменения
t
, причём '( ) 0
t


, то производная '( )
y x находится по формуле:
'( )
'( )
'( )
'( )
'( )
t
y t
y x
t
x t




(2.15)
Пример.
cos
x
a
t

, sin
y
b
t

(
,
a b

некоторые числа).
Согласно (4.16)
( sin )
cos
'( )
ctg
( cos )
sin
b
t
b
t
b
y x
t
a
t
a
t
a



 
 
Определение 2. Пусть переменные x и
y
связаны уравнением
( , )
0
F x y

(2.16)
Если каждому значению переменной
x
, изменяющейся на множестве
X
(например, интервале или отрезке) соответствует одно и только одно значение
y
, удовлетворяющее вместе с
x
уравнению (2.16),то говорят, что это уравнение определяет неявную функцию
( )
y x
Для того, чтобы найти производную '( )
y x неявной функции, совсем не обязательно разрешать уравнение (2.16) относительно
y
. Для этого достаточно воспользоваться следующей методикой:
1) Вычислить производную по x левой части (2.16) как производную сложной функции ( , ( ))
F x y x ;
2) Приравнять эту производную нулю:
( , ( ))
0
d
F x y x
dx

;
3) Разрешить получившееся уравнение относительно '( )
y x , при этом '( )
y x будет зависеть как от
x
, так и от
y
Пример.
2 2
2
( , )
0
F x y
x
y
a




, где a

некоторое число;
( , ( ))
2 2
'( )
0
d
F x y x
x
y y x
dx




, откуда '( )
x
y x
y
 