Задачи Оптики 11 класс. Оптика. Задачи Оптика. Задачи
 Скачать 6.06 Mb.
|
ОПТИКА. ЗадачиОптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Законы отражения света.
α = β. Оптика. Задачиsin 𝛽 𝑛1 21 Элементы геометрической оптики Законы преломления света.
sin 𝛼 = 𝑛2 = 𝑛 Оптика. Задачи4 Элементы геометрической оптики Ход лучей в призме. Закон преломления света позволяет рассчитать ход лучей в различных оптических устройствах, в частности, в треугольной призме. В призме световой луч дважды испытывает преломление на преломляющих гранях и изменяет свое направление. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Ход лучей в призме. Полное отклонение луча зависит от угла падения света на призму и от преломляющего угла θ: если δ — угол отклонения лучей, то δ = α1 + β2 – θ, θ = β1 + α2. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Ход лучей в призме. Если θ мал, то δ = (n – 1)θ, где n — показатель преломления материала призмы по отношению к окружающей среде. Оптика. Задачиsin 𝛽 𝑛1 sin 𝛼 = 𝑛2 = 𝑛 21 α < β. При определенном значении угла падения α0 преломленный луч скользит вдоль границы раздела сред, т.е. 𝛽 = 𝜋 2, и тогда sin 𝛼0 = 𝑛2 𝑛1. При α > α0 луч полностью отражается от границы раздела сред, поэтому α0 называется предельным углом полного внутреннего отражения. Элементы геометрической оптики Явление полного внутреннего отражения. Если луч идет из среды, оптически более плотной (с бόльшим показателем преломления), в среду, оптически менее плотную, то в формуле Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Тонкие сферические линзы. Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. У тонкой линзы максимальная толщина значительно меньше радиусов кривизны сферических поверхностей. Центр линзы называется ее оптическим центром. Линия, проходящая через центр линзы, перпендикулярно плоскости линзы, называется главной оптической осью линзы. Фокус (главный фокус) линзы — точка F пересечения преломленных линзой лучей, падающих параллельно главной оптической оси. Оптика. Задачи𝐷 = ± 𝐹 = 𝑛 − 1 1 1 1 𝑅1 + 𝑅2 . Элементы геометрической оптики Тонкие сферические линзы. Расстояние между оптическим центром линзы и фокусом называется фокусным расстоянием. Оптической силой линзы называется величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах. Единица измерения оптической силы называется диоптрией (дптр). Фокусное расстояние и оптическая сила линзы определяются радиусами кривизны ее сферических поверхностей: Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Построение изображения в собирающих и рассеивающих линзах. Изображение точки называется действительным, если является центром сходящегося пучка света, прошедшего через оптическую систему. Изображение называется мнимым, если является центром расходящегося пучка, т.е. строится на продолжении лучей. Для получения изображения светящейся точки S надо построить ход двух исходящих из нее лучей. Точка пересечения лучей (или их продолжений ) дает действительное (или мнимое) изображение 1S0 ′. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Построение изображения в собирающих и рассеивающих линзах. Основные правила построения изображений в тонких линзах 1. Луч, параллельный главной оптической оси, по- сле преломления проходит через главный фокус в собирающей линзе или продолжение луча проходит через главный фокус в рассеивающей линзе. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Построение изображения в собирающих и рассеивающих линзах. Основные правила построения изображений в тонких линзах 2. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Построение изображения в собирающих и рассеивающих линзах. Основные правила построения изображений в тонких линзах 3. Луч, проходящий через главный фокус собирающей линзы, и луч, продолжение которого проходит через главный фокус в рассеивающей линзе, после преломления идут параллельно оптической оси Оптика. Задачи𝑓 сходящийся поток лучей. + 1 - изображение 𝑓 действительное; − 1 - мнимое. Элементы геометрической оптики Формула линзы 1 1 1 ± 𝐹 = ± 𝑑 ± 𝑓 Здесь F - фокусное расстояние, d - расстояние от предмета до линзы, f - расстояние от изображения до линзы. + 1 - линза собирающая; − 1 - 𝐹 𝐹 рассеивающая. + 1 - источник действительный; − 1 - 𝑑 𝑑 источник мнимый, когда на линзу падает 14 Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Формула линзы Линейным увеличением G называют отношение линейного размера изображения H к линейному размеру предмета h: Γ = 𝐻 = |𝑓| . ℎ |𝑑| Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Оптические приборы Лупа - короткофокусная двояковыпуклая или плоско-выпуклая линза. Это простейший прибор, увеличивающий угол зрения. Создает прямое мнимое увеличенное изображение. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Оптические приборы Фотоаппарат - закрытая светонепроницаемая камера с системой линз (объективом) для получения фотографических изображений. Дает изображение действительное, уменьшенное, перевернутое. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Оптические приборы Проекционный аппарат - устройство для проециро- вания изображения на экран. Дает изображение действительное, увеличенное, перевернутое. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Оптические приборы Микроскоп - оптический прибор для наблюдения объектов, невидимых невооруженным глазом. Состоит из двух собирающих линзовых систем: Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Оптические приборы объектива и окуляра. Промежуточное изображение увеличенное, действительное. Окончательное изображение увеличенное, мнимое, перевернутое. Оптика. Задачинормального глаза S = 25 см. Элементы геометрической оптики Оптические приборы Глаз. Ход лучей в глазу аналогичен ходу лучей в фотоап- парате, причем роль объектива играет выпуклая линза - хрусталик. Однако, в отличие от фотоаппа- рата, установка на резкость производится не перемещением объектива, а изменением фокусного расстояния хрусталика. Этот процесс называется аккомодацией. Минимальное расстояние, на которое глаз может аккомодировать без утомления, называется расстоянием наилучшего зрения S. Для 21 Оптика. Задачиудалении человека от озера? Элементы геометрической оптики Качественные задачи
22 Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Качественные задачи
Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Качественные задачи 9. Построить изображения в собирающей и рассеивающей линзах, представленных на рисунке. Указать, в каких случаях изображения будут действительными, а в каких — мнимыми. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Качественные задачи
Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Качественные задачи
Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Качественные задачи 14.Луч света падает на однородный прозрачный шар и проникает в него. Проходя внутри шара, он достигает поверхности раздела шар–воздух. Может ли в этой точке произойти полное внутреннее отражение? Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 15. В комнате длиной L = 5 м и высотой H = 3 м на стене висит плоское зеркало. Человек смотрит в него, находясь на расстоянии h = 1 м от стены, на которой оно висит. Какова должна быть наименьшая высота 𝑙 зеркала, чтобы человек мог видеть стену, находящуюся за его спиной, во всю высоту? Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 15. Решение. Из рисунка видно, что треугольники АВО и А′В′О подобны. Из подобия этих треугольни- ков следует, что 𝑙 = 𝐻 , откуда 𝑙 = 𝐻ℎ = 0,5 м. ℎ 𝐿+ℎ 𝐿+ℎ Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 15а. Чем ближе мы стоим к окну, тем больший участок улицы доступен нашему наблюдению. Было бы естественно предположить, что при пользовании зеркалом дело будет обстоять аналогичным образом. На самом же деле не так. Если в висящем вертикально на стене зеркале мы видим свою фигуру только до колен, то все попытки увидеть больше, подойдя ближе к зеркалу или, наоборот, отойдя подальше, останутся безуспешными. Чем отличаются оба случая? 30 Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 15а. Решение. Как это видно из рисунка, независи- мо от расстояния человека до стены, на которой повешено зеркало, он может рассматривать одну и ту же часть своей фигуры, расположенную не ниже, чем на расстоянии Н от пола. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 16. На горизонтальном дне водоема глубиной h = 1,2 м лежит плоское зеркало. Луч света падает на поверхность воды под углом α = 30°. На каком расстоянии от места падения этот луч снова выйдет на поверхность воды после отражения от зеркала? Показатель преломления воды n = 1,33. Оптика. Задачиsin 𝛽 16. Решение. Из закона преломления света sin 𝛼 = 𝑛 Элементы геометрической оптики Задачи с решениями Из рисунка видно, что искомое расстояние х определяется как 𝑥 = 2ℎ tg 𝛽. Решая совместно оба уравнения, получаем 𝑥 = 2ℎ tg 𝛽 = 0,97 м. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 17. Выйдет ли луч света из воды в воздух, если угол падения равен α = 50°? Решение. Как следует из формулы sin 𝛼0 = 𝑛, предельный угол полного внутреннего отражения для воды 𝛼0 = arcsin(1/𝑛) = 48°35′. Следовательно, луч не выйдет на воздух из воды при угле падения α = 50°. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 18. Угол отклонения луча в равнобедренной призме равен δ. Чему равен относительный показатель преломления призмы, если луч в призме проходит параллельно основанию, а преломляющий угол призмы равен θ? Оптика. Задачипреломления призмы 𝑛 = sin 𝛼 . Из рисунка видно, Элементы геометрической оптики Задачи с решениями 18. Решение. Относительный показатель sin 𝛽что угол падения лучана левую грань призмы равен углу выхода луча из призмы, следовательно,𝛿 = 𝛼 + 𝛼– 𝜃, откуда𝛼 = (𝛿 + 𝜃)/2.Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 18. Решение. Из рисунка видно, что 𝜃 = 2𝛽, таким образом, 𝛽 = 𝜃/2. Выражая значения 𝛼 и 𝛽 через 𝛿 и 𝜃 и подставляя в формулу для показате- ля преломления, получаем sin 𝜃 + 𝛿 𝑛 = 2 sin 𝜃 2 Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 19. Определите построением положение линзы и ее фокусов. Положение предмета АВ и его изображения А′В′ приведены на рисунке. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 19. Решение. Точка пересечения отрезков АА′ и ВВ′ определяет оптический центр линзы. Пересечение продолжения отрезков АВ и А′В′ определяет положение линзы. Главная оптическая ось проходит через центр линзы О перпендикулярно плоскости линзы. Оптика. ЗадачиЭлементы геометрической оптики Задачи с решениями 19. Решение. Правый фокус можно определить, проведя из точки В луч, параллельный оптической оси. После преломления в линзе этот луч пройдет через точку В′. Точка пересечения луча с главной оптической осью будет правым фокусом линзы. Аналогично определяется левый фокус. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Волновые свойства света. Свет — это электромагнитные волны в интервале частот 3∙1014 ... 8∙1014 Гц, воспринимаемых человеческим глазом, т.е. длин волн 380...770 нм. Свету присущи все свойства электромагнитных волн: отражение, преломление, интерференция, дифракция, поляризация. Оптика. Задачи1 𝜀0𝜇0 0 электродинамической постоянной: 𝑐 = (ε — электрическая постоянная, μ0 — магнитная постоянная). Скорость света в однородной среде, как известно, определяется показателем преломления среды n. Скорость света в веществе 𝑣 = 𝑐 , 𝑛 где c — скорость света в вакууме. Волновая оптика Скорость света в однородной среде. Скорость света определяется электрическими и магнитными свойствами среды. Подтверждением этого служит совпадение скорости света в вакууме с 42 Оптика. Задачи𝑣 = 𝑐 . 𝜀𝜇 Разность фаз двух когерентных волн 2 1 𝜆0 𝜆0 ∆𝜑 = 2𝜋 𝐿 − 𝐿 = 2𝜋 Δ𝐿 здесь Li=sin - оптическая длина пути, si - геометрическая длина пути световой волны в среде, n - показатель преломления среды, ΔL=L2–L1 - оптическая разность хода двух световых волн, λ0 - длина волны в вакууме. Волновая оптика Из теории Максвелла следует n = εμ, т.е. показатель преломления, а следовательно, и скорость в среде, определяются диэлектрической и магнитной проницаемостями среды: 43 Оптика. ЗадачиВолновая оптика Когерентные колебания - колебания одинаковой частоты, одинакового направления поляризации и с постоянной во времени разностью фаз. Интерференция света - пространственное перераспределение светового потока при наложении двух или нескольких когерентных световых волн, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности, так называемая интерференционная картина. 44 Оптика. ЗадачиВолновая оптика Амплитуда колебаний среды в данной точке максимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна целому числу длин волн (условие интерференционных максимумов): Δd = ±kλ, k = 0, 1, 2, … Амплитуда колебаний среды в данной точке минимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна нечетному числу полуволн (условие интерференционных минимумов): Δd = ±(2k + 1)λ/2, k = 0, 1, 2, ... 45 Оптика. Задачи2 2𝑑𝑛 cos 𝑟 ± 𝜆0 = 2𝑑 𝑛2 − sin2𝑖 ± 𝜆 0 2 0 = 𝑚𝜆 (𝑚 = 0,1,2, … ) Волновая оптика Ширина интерференционной полосы Δx = 𝑙λ/d, d - расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии 𝑙 от экрана, параллельного обоим источникам, причем 𝑙 >> d . При интерференции света, отраженного от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пластинки, находящейся в воздухе (n0 = 1) условия максимумов: Оптика. Задачи2𝑑𝑛 cos 𝑟 ± 𝜆0 = 2𝑑 𝑛2 − sin2𝑖 ± 𝜆0 = 2𝑚 + 1 𝜆0 2 2 2 (𝑚 = 0,1,2, … ) Здесь d - толщина пластинки, n - показатель преломления, i – угол падения, r - угол преломления, λ0 - длина падающей волны. В общем случае член ±λ0/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела: если n > n0, то необходимо употреблять знак «плюс», если n < n0 - знак «минус». Волновая оптика и минимумов : Оптика. ЗадачиВолновая оптика Кольца Ньютона наблюдаются в том случае, когда выпуклая поверхность линзы малой кривизны соприкасается с плоской поверхностью хорошо отполированной пластинки, так что остающаяся между ними прослойка постепенно утолщается от центра к краям. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Если на линзу падает пучок монохроматического света, то световые волны, отраженные от верхней и нижней границ этой воздушной прослойки, будут интерферировать между собой. При этом в центре наблюдается черное пятно, окруженное рядом концентрических светлых и темных колец убывающей толщины. Оптика. Задачи1 2 𝑟𝑚 = (𝑚 + )𝜆0𝑅 (𝑚 = 1,2, … ) Волновая оптика При наблюдении в проходящем свете будет обратная картина: пятно в центре будет светлым, все светлые кольца заменятся на темные и наоборот. Радиусы светлых колец Ньютона в проходящем свете определяются формулой 𝑟𝑚 = 𝑚𝜆0𝑅 (𝑚 = 1,2, … ) Радиусы темных колец Оптика. Задачипрямолинейного распространения. Волновая оптика В этих формулах m — номер кольца, R — радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение светлых и темных колец обратно их расположению в проходящем свете. Дифракция света - явление отклонения света от прямолинейного направления при прохождении у края преграды. Дифракция волн - совокупность явлений, наблюдаемых при прохождении волн в неоднородных средах, приводящих к отклонению волн от первоначального 51 Оптика. Задачи𝑚 𝑟 = 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑚𝜆 Волновая оптика Принцип Гюйгенса–Френеля. Каждая точка поверхности, которой достигла в данный момент волна, является точечным источником вторичных волн: волновая поверхность в любой момент времени представляет собой не просто огибающую вторичных волн, а результат их интерференции. Дифракция Френеля (на круглом отверстии). Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны 52 Оптика. ЗадачиВолновая оптика Здесь λ - длина волны, a и b - соответственно расстояния диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается. Дифракция Фраунгофера на щели. Положения максимумов и минимумов освещенности при дифракции на щели, на которую нормально падает пучок параллельных лучей, определяются соответственно условиями a sinφ = ±(2k + 1)(λ/2), k = 1, 2, 3, … и a sinφ = ±2k(λ/2), k = 1, 2, 3, …, где a - ширина щели, φ - угол дифракции, λ - длина волны падающего све5т3а. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Дифракционная решетка представляет собой прозрачную пластинку с нанесенной на ней систе- мой непрозрачных параллельных полос, располо- женных на одинаковых расстояниях друг от друга. Если на решетку падает монохроматический свет длиной волны λ, то в результате дифракции на каждой щели свет распространяется не только в первоначальном направлении, но и по всем другим направлениям. Если за решеткой поставить собирающую линзу, то на экране в фокальной плоскости все лучи будут собираться в одну полоску. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Параллельные лучи, идущие от краев соседних щелей, имеют разность хода Δl = d sinφ, где d - постоянная решетки, т.е. расстояние между соответствующими краями соседних щелей, называемое иначе периодом решетки, φ — угол отклонения световых лучей от перпендикуляра к плоскости решетки. При разности хода, равной целому числу длин волн: d sinφ = ±kλ (k = 1, 2, 3, …) наблюдается дифракционный максимум для данной длины волны. Оптика. Задачи𝑅 = 𝜆 𝑚𝑁 𝛿𝜆 где λ, λ + δλ — длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых решеткой, m — порядок спектра, N — общее число штрихов решетки. Волновая оптика В результате при прохождении через дифракционную решетку пучок белого света разлагается в спектр. Угол дифракции имеет наибольшее значение для красного света, наименьшее значение - для фиолетового света. Разрешающая сила дифракционной решетки 56 Оптика. Задачиполовину интенсивности естественного света. Волновая оптика Поляризация света. Свет представляет собой поперечные электромагнитные волны. Поляризация света - упорядочение в ориентации векторов напряженностей электрического и магнитного полей световой волны в плоскости, перпендикуляр- ной световому лучу. Естественный свет (солнечный, ламп накаливания) не поляризован, т.е. все направ- ления колебаний электрического и магнитного век- торов, перпендикулярные световым лучам, равноправны. Естественный свет, проходя через поляризатор, становится плоскополяризованным, при этом интенсивность его будет составлять 57 Оптика. Задачиполяризатора и анализатора. Волновая оптика Степень поляризации света 𝑃 = 𝐼max − 𝐼min 𝐼max + 𝐼min где Imax и Imin - соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризован- ного света, пропускаемого анализатором. Закон Малюса 𝐼 = 𝐼0cos2𝛼 где I — интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор, I0 - интенсив- ность плоскополяризованного света, падающего на анализатор, α - угол между главными плоскостями 58 Оптика. ЗадачиВолновая оптика Закон Брюстера tg iВ = n21, где iВ — угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным, n21 — относительный показатель преломления. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Качественные задачи
Оптика. ЗадачиВолновая оптика Качественные задачи 5. Имеются две интерференционные схемы : а) когерентные источники на расстоянии d друг от друга и экран, на котором наблюдается интерференционная картина на расстоянии L. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Качественные задачи б) Зеркало Ллойда: источник и его изображение в зеркале интерферируют между собой. Расстояние между источником и изображением d, расстояние до экрана L. Будут ли различаться интерференционные картины? Почему? Оптика. ЗадачиВолновая оптика Качественные задачи
Оптика. ЗадачиВолновая оптика Качественные задачи
Оптика. ЗадачиВолновая оптика Задачи с решениями 10. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом с длиной волны λ = 600 нм, расстояние между отверстиями d = 1 мм, расстояние от отверстий до экрана l = 3 м. Найти положение третьей и четвертой светлых полос. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Задачи с решениями Решение. Ширина интерференционной полосы Δ𝑥 = 𝑙𝜆/𝑑, где 𝑑 — расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии 𝑙 от экрана, параллельного обоим источникам, причем 𝑙 ≫ 𝑑. Первая светлая полоса находится на расстоянии 𝑦1 = 𝑙𝜆/𝑑, третья полоса находится на расстоянии у3 = 3у1, n-я полоса — на расстоянии 𝑦𝑛 = 𝑛𝑦1. Таким образом, у3 = 5,4 мм, у4 = 7,2 мм. Оптика. ЗадачиВолновая оптика Задачи с решениями 11. Параллельный пучок света с длиной волны λ нормально падает на основание бипризмы с малыми преломляющими углами θ. Показатель преломления стекла призмы равен n. За приз- мой параллельно ее основанию расположен экран, на котором видна интерференционная картина. Найти ширину интерференционных полос. Оптика. ЗадачиΔ𝑥 ≈ 𝜆 2 𝑛 − 1 𝜃 Волновая оптика Задачи с решениями Решение. Ширина интерференционных полос определяется по формуле Δ𝑥 = 𝑙𝜆/𝑑, где 𝑑 - расстояние между двумя когерентными источниками. В данном случае когерентные источники получаются расщеплением исходного пучка лучей бипризмой. Угол отклонения каждого луча в силу малости преломляющего угла призмы 𝛿 = (𝑛 − 1)𝜃. Следовательно, можно считать 𝑑/2𝑙 = 𝑡𝑔𝛿 ≈ sin𝛿 ≈ 𝛿, откуда 68 Оптика. ЗадачиВолновая оптика Задачи с решениями 12. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы, сделанной из стекла с показателем преломления 𝑛1 = 1,5, наносится тонкая пленка с показателем преломления 𝑛 = 1,26. При какой толщине d пленки отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего света 𝜆 = 550 нм, угол падения 𝑖 = 30°. 69 Оптика. Задачиусловие интерференционного минимума Волновая оптика Задачи с решениями Решение. Свет, падая на систему пленка - стекло под углом i, отражается как от верхней, так и от нижней поверхности пленки. Отраженные лучи когерентны, поскольку образованы от одного падающего луча. Результат интерференции этих лучей зависит от оптической разности хода. Лучи отражаются от среды с большим показателем преломления, поэтому как на верхней, так и на нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны и, следовательно, 70 Оптика. Задачи𝑚 2 2𝑑 𝑛2 − sin2𝑖 = 2𝑚 + 1 𝜆 , Откуда 𝑚 𝑑 = 𝜆 2𝑚 + 1 4 𝑛2 − sin2𝑖 Полагая m = 0, 1, 2, …, получим ряд возможных значений толщины пленки: d0 = 120 нм; d1 = 350 нм; d2 = 590 нм и т.д. Волновая оптика Задачи с решениями Оптика. ЗадачиВолновая оптика Задачи с решениями 13. В установке для наблюдения колец Ньютона свет с длиной волны λ = 0,5 мкм падает нормально на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны R1 = 1 м, положенную выпуклой стороной на вогнутую поверхность плосковогнутой линзы с радиусом кривизны R2 = 2 м. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона, наблюдаемого в отраженном свете. Оптика. Задачи2 𝑥2 = 𝑅2 − 𝑅2 − 𝑟2 , 𝑥1 = 𝑅1 − 𝑥2 − 𝑅2 − 𝑟2 = 1 Волновая оптика Задачи с решениями Решение. Определим величину x1 воздушного зазора между плосковыпуклой и вогнутой линзами на расстоянии r от точки их соприкосновения — центра линз. Из рисунка видно, что Оптика. Задачи𝑅2 − 𝑟2 − 2 1 𝑅2 − 𝑟2 В дальнейших вычислениях будем полагать 𝑥1 ≪ 𝑅1 и 𝑥1 ≪ 𝑅2. Записывая последнее равенство в виде 𝑥1 + 𝑅1 − 𝑅2 = 2 = 𝑅2 − 𝑟2 − 1 𝑅2 − 𝑟2, Волновая оптика Задачи с решениями = 𝑅1 − 𝑅2 + Оптика. Задачи1 получаем 𝑅1𝑅2 − 𝑟2 − 𝑥1 𝑅1 −𝑅2 = (𝑅2−𝑟2)(𝑅2−𝑟2) 2 1 Второй раз возводя в квадрат данное равенство и учитывая малость х1, получаем 𝑟 = 𝑥1𝑅1𝑅2 𝑅2 −𝑅1 Волновая оптика Задачи с решениями возводя его в квадрат и пренебрегая слагаемым 𝑥2, Оптика. Задачи2 Разность хода Δd в отраженном свете Δ𝑑 = 2𝑥1 + 𝜆. С другой стороны, условие наблюдения темного 2 1 кольца Δ𝑑 = (2𝑘 + 1) 𝜆, откуда х = 𝑘𝜆. Следовательно, радиус k-го темного кольца в отраженном свете определяется формулой 𝑘 𝑟 = 𝑅2 −𝑅1 𝑘𝜆𝑅1𝑅2 . Подставляя k = 5, R1 = 1 м, R2 = 2 м, λ = 0,5 мкм, получаем r5 = 2,24 мм. Волновая оптика Задачи с решениями 76 Оптика. Задачи2 Разность хода Δd в отраженном свете Δ𝑑 = 2𝑥1 + 𝜆. С другой стороны, условие наблюдения темного 2 1 кольца Δ𝑑 = (2𝑘 + 1) 𝜆, откуда х = 𝑘𝜆. Следовательно, радиус k-го темного кольца в отраженном свете определяется формулой 𝑘 𝑟 = 𝑅2 −𝑅1 𝑘𝜆𝑅1𝑅2 . Подставляя k = 5, R1 = 1 м, R2 = 2 м, λ = 0,5 мкм, получаем r5 = 2,24 мм. Волновая оптика Задачи с решениями 77 Оптика. Задачи𝑚 𝑟 = 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑚𝜆 следует положить а → ∞, поскольку плоский фронт волны дает бесконечно удаленный источник. Волновая оптика Задачи с решениями 14. Найти радиус r4 четвертой зоны Френеля для случая плоской волны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения b = 1 м. Длина волны света λ = 500 нм. Решение. Для плоской волны в формуле для радиуса rm m-й зоны Френеля 78 Оптика. Задачи𝑚 𝑟 = lim 𝑎→∞ 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑚𝜆 = lim 𝑎→∞ 𝑏 1 + 𝑏 𝑎 𝑚𝜆 = 𝑏𝑚𝜆 Следовательно, 𝑟4 = 1 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 10−7 = 1,4 ∙ 10−3 м Волновая оптика Тогда 79 Оптика. Задачи2sin𝛼 Волновая оптика 15. На щель падает нормально плоская монохроматическая световая волна. Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному максимуму, равен α = 30°. Определить ширину щели, если длина волны падающего света λ = 0,6 мкм. Решение. Положение максимумов освещенности при дифракции от щели определяется по формуле 𝑎 sin𝛼 = (2𝑘 + 1)(𝜆/2), 𝑘 = 1, 2, 3, …, откуда ширина щели 𝑎 = (2𝑘 + 1)𝜆 80 Оптика. ЗадачиВолновая оптика Подставляя в последнюю формулу k = 2, α = 30° и λ = 0,6 мкм, получаем a = 5λ = 3 мкм. 81 Оптика. Задачи𝑑 решетки на 1 мм вычисляется по формуле 𝑁 = 10−3, где d — период решетки в метрах. Период d определяется из формулы 𝑑 sin𝜑 = 𝑘𝜆, откуда sin𝜑 𝑑 = 𝑘𝜆 . По условию k =1, тогда 𝑁 = 10−3 ∙ sin 19°8′ 546,1 ∙ 10 −9 = 600 штр. мм . Волновая оптика 16. Какое число штрихов N на единицу длины имеет дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (λ = 546,1 нм) в спектре первого порядка наблюдается под углом φ = 19°8′? Решение. Число штрихов N дифракционной 82 Оптика. ЗадачиПодсказка – А почему нельзя? Можно! Хотя спичка и маленькая, зато она близко. Ведь закрывает же во время полного солнечного затмения маленькая, но близкая Луна большое, но далёкое Солнце. Почему? Потому, что угловые размеры Луны несколько больше угловых размеров Солнца. 83 Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Оптика. ЗадачиВсего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Подсказка Звёзды так далеки от нас, что, несмотря на свои огромные размеры, они даже в телескоп видны как точки. Иными словами, угловые размеры их ничтожно малы. Следовательно, как ни малы угловые размеры спички, они во много раз больше угловых размеров звезды. Оптика. ЗадачиВсего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Подсказка Однако попробуйте выйти вечером на улицу. Возьмите спичку. Выбирайте любую звезду. Вас постигнет неудача: закрыть звезду спичкой не удастся. Ответить на поставленный вопрос нам помогут следующие факты. Оптика. Задачиудаётся закрыть без труда. Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Подсказка Во-первых, если бы вы могли повторить эксперимент днём, то убедились бы, что звезда закрывается спичкой. Разумеется, днём это можно проверить не на звезде, а на любом другом удалённом предмете, мало отличающемся от точки. Во-вторых, точку, нарисованную на бумаге, спичкой 86 Оптика. Задачибольшое расстояние. Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Подсказка Правда, ночью это удаётся только при условии, что спичка находится ближе к точке, чем к глазу. Днём это удаётся всегда. Решение Звезду в этой задаче можно рассматривать как точечный источник света, удалённый на бесконечно 87 Оптика. ЗадачиВсего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Решение В этих условиях все лучи от одной звезды, попадающие в глаз, параллельны. Зрачок же нашего глаза в этой задаче не может считаться точкой. 88 Оптика. Задачи89 Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Решение Тем более он не является ею ночью, когда вы экспериментируете со звёздами: приспосабливаясь к темноте, зрачок максимально расширяется, чтобы побольше пропустить света. Оптика. Задачи90 Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Решение Создаваемая звездой тень спички, падая на зрачок, не покрывает его полностью. Поэтому при любом положе- нии спички часть лучей от звезды проходит в зрачок и образует на сетчатке глаза в точке изображение звезды. Оптика. ЗадачиВсего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Решение При этом звезда кажется просвечивающей сквозь спичку, но, разумеется, выглядит менее яркой, так как часть её лучей перехватывается спичкой. 91 Оптика. ЗадачиВсего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Решение Днём зрачок, приспосаблива- ясь к яркому свету, сужается так, что его диаметр оказывается меньше толщины спички. В результате малый удалённый предмет спичкой может быть закрыт полность9ю2 . Оптика. ЗадачиРешение Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. 93 И не только малый, если спичку приблизить к зрачку. С точкой, нарисованной на бумаге, дело обстоит несколько иначе. Оптика. ЗадачиРешение Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Эта точка не является удалённой. Следовательно, перехватываемые спичкой лучи, исходя- щие из этой точки, не параллельны. 94 Оптика. ЗадачиРешение Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. 95 Чем ближе спичка к точке, тем больше лучей она будет перехватывать; в результате зрачок глаза может оказаться целиком в «тени» спички. Оптика. ЗадачиРешение Всего понемногу Звезда и спичка Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт. Это произойдёт тогда, когда угловые размеры спички «с точки зрения точки» станут больше угловых размеров зрачка. 96 Оптика. ЗадачиЧтобы видеть предмет, необходимо, чтобы он наблюдался под углом, не меньшим чем 1′. Значит, телескоп должен увеличивать более чем в 223 раза». Всего понемногу Сириус увидеть нельзя В одном из молодёжных журналов приводилась такая задача: «Какой телескоп нужен, чтобы с 220 км увидеть футбольный мяч диаметром 25 см?» И тут же было изложено решение: «Невооружённым глазом мяч виден под углом 97 Оптика. Задачиего – полтора солнечного (около, 2∙106 км). Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Найдите ошибку в рассуждениях. Докажите, что в приведённой форме задача вообще не может быть решена. Сформулируйте задачу заново и решите её. Подсказка Вместо подсказки дадим ещё одну задачу, точную копию предыдущей, но способную сделать очевидной её абсурдность. Какой телескоп нужен, чтобы увидеть звезду Сириус? Расстояние до Сириуса 9,7 световых лет (около 9∙1013 км), диаметр 98 Оптика. ЗадачиСледовательно, чтобы увидеть Сириус, нужно иметь телескоп, увеличивающий более чем в 13 000 раз. А поскольку пока что таких телескопов нет, то при современном состоянии техники увидеть Сириус нельзя. Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Подсказка Решая описанным выше «методом», получим следующее. Невооружённым глазом Сириус виден под углом 99 Оптика. ЗадачиВсего понемногу Сириус увидеть нельзя Подсказка Это и есть обещанный абсурд. На самом деле Сириус виден даже невооружённым глазом. Более того, он является вообще самой яркой звездой на нашем небе (не считая Солнца). Невооружённым глазом можно видеть звёзды шестой величины, а Сириус имеет звёздную величину минус 1,6, т.е. в 2,56+1,6 = 2,57,6 ≈ 1000 раз ярче звезды, находящейся на пределе невооружённого зрения. 100 Оптика. Задачинаходится. Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Подсказка Звезда первой величины ярче звезды шестой величины в 100 раз, т.е. разница в одну звёздную величину соответствует отношению яркостей 5 100 ≈ 2,5. Следовательно, чтобы увидеть Сириус, глаз не только не надо ничем вооружать, но даже можно существенно «разоружить» (например, разглядывая звезду в перевёрнутый бинокль). Сириус невооружённым глазом можно увидеть даже днем, правда, лишь когда точно знаешь, где он 101 Оптика. Задачикоэффициента отражения мяча по спектру и др. Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Чтобы источник света был виден, нужно, чтобы число квантов, попадающих на данный элемент сетчатки глаза, было достаточным для его возбуждения. Мы, однако, не будем вычислять число квантов, так как нам понадобилось бы много справочных данных: спектральная чувствительность зрения (различная для разных длин волн), распределение по спектру энергии освещающего мяч Солнца, распределение 102 Оптика. Задачиальбедо и по цвету. Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Проще найти ответ методом сравнения мяча как отражателя с небесным телом, отражающие свойства которого такие же, а расстояние и видимость общеизвестны. Возьмём мяч диаметром d = 25 см, отражающий свет так же плохо, как и Луна, т.е. с коэффициентом отражения (альбедо), равным 0,07, причём того же цвета (с той же отражательной способностью на разных длинах волн). Обычный футбольный мяч с коричневой покрышкой – хорошая модель Луны по 103 Оптика. ЗадачиЕсли бы Луна и мяч были одинаково освещены Солнцем, то и видны наблюдателю они были бы одинаково (различием атмосферных условий пренебрегаем). Видимая звёздная величина полной Луны равна , . Такова она будет и для «полно- Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Отодвинем мяч на такое расстояние, при котором угловые размеры мяча и Луны будут одинаковы – полградуса. Расстояние до мяча будет равно 104 Оптика. ЗадачиВсего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Видимая звёздная величина полной Луны равна − 12,7. Такова она будет и для «полного» мяча. Как далеко теперь его нужно отодвинуть, чтобы он оказался на пределе видимости невооружённым глазом, т.е. превратился в звезду шестой величины? Для этого он, как светило, должен ослабнуть на 6 + 12,7 = 18,7 звёздной величины, т.е. в 2,518,7≈3∙107 раз (предполагается, что наблюдения проводятся на фоне ночного неба). 105 Оптика. Задачи0,07 0,8 ≈ 3,4 раза большего, т.е. Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Количество света, попадающего в глаз, обратно пропорционально квадрату расстояния от источника, каковым сейчас является мяч. Следовательно, расстояние до мяча должно увеличиться в 3 ∙ 107 ≈ 5500 раз: А если бы мяч был белым? Ну, хотя бы как бумага (альбедо 0,8)? Он был бы виден с расстояния в 106 Оптика. ЗадачиВсего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Это даже больше, чем требуемые в задаче 220 км, тем не менее никакого телескопа не требуется. Заметим, однако, что если бы мяч освещался Солнцем сбоку или сзади, т.е. выглядел бы как тонкий серп, то при таком расстоянии понадобился бы телескоп, тем более сильный, чем уже этот серп. Сфокусированный луч лазера может на небольших площадках создавать освещённости в тысячи раз большие, чем Солнце. Оптика. ЗадачиВсего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Мяч, освещённый с Земли лучом лазера, можно увидеть невооружённым глазом за многие тысячи километров. Однако днём, на фоне ярко-голубого неба, увидеть его было бы труднее. Итак, задача вообще не может быть решена, пока не указаны коэффициент отражения мяча, яркость фона, источник освещения и угол, под которым расположены источник света и мяч относительно наблюдателя. Оптика. Задачичтобы угол между ними был не менее 1′. Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Какую же ошибку в рассуждениях допустил автор задачи? Он неправильно полагал, что для того, чтобы видеть предмет, нужно, чтобы он наблюдался под углом, не меньшим чем 1′. Угловая величина Сириуса в 13 000 раз меньше, однако он хорошо виден. Угол в 1′ – это угловая разрешающая способность нормального зрения. Для того чтобы две светлые точки (например, два мяча в космосе) были видны раздельно, нужно, 109 Оптика. ЗадачиВсего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Если он меньше 1′, то обе точки в глазу проектируются на одно нервное окончание и сливаются в сознании в одну точку; если больше – то на два разных, и тогда мозг зафиксирует две точки. При наблюдении за одним мячом угол более 1′ нужен не для того, чтобы увидеть мяч, а для того, чтобы увидеть детали этого мяча (например, серповидность его освещённой части). 110 Оптика. Задачиприбора, а только снижает его светосилу. Всего понемногу Сириус увидеть нельзя Решение Но это уже не задача обнаружения, а задача распознавания образов. Для этого и нужен телескоп с увеличением, большим чем в 223 раза. А для поставленной задачи имеет значение не столько большое увеличение, сколько большая светосила прибора, которая тем больше, чем больше диаметр его «входного зрачка». Можно взять телескоп с огромным увеличением и не увидеть в него ни мяч, ни Сириус, если телескоп сильно диафрагмировать, хотя диафрагмирование не меняет увеличения 111 |