Пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр. Сечения пирамиды. Усече. Основанием пирамиды), а остальные грани треугольники (называемые боковыми гранями

• Название: Основанием пирамиды), а остальные грани треугольники (называемые боковыми гранями
• Дата: 30.03.2023
• Размер: 2.18 Mb.
• Имя файла: Пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр. Сечения пирамиды. Усече.pptx
• Тип: Документы; #1025432

Пирамида.

Пирамида.

Пирамида - это многогранник, одна из граней которого – многоугольник (называемый основанием пирамиды), а остальные грани – треугольники (называемые боковыми гранями), имеющие общую вершину (называемую вершиной пирамиды).

Элементы пирамиды.

1) Основание - многоугольник;

2) Боковые грани - треугольники, имеющие общую вершину;

3) Боковые ребра – общие стороны боковых граней;

4) Вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

основание боковая грань боковое ребро вершина

Элементы пирамиды.

5) Высота пирамиды –  отрезок перпендикуляра, проведённого из вершины пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Название пирамиды.

 Название пирамиды формирует многоугольник, расположенный в ее основании. По числу углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и т. д.

Особые случаи пирамид:

Прямоугольная пирамида – это пирамида, в которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию.

В этом случае, это ребро и будет высотой пирамиды.

1)

h

Особые случаи пирамид:

Наклонная пирамида – это пирамида, в которой основание высоты лежит за пределами основания пирамиды.

2)

h

Особые случаи пирамид:

Правильная пирамида – это пирамида, у которой основанием является правильный многоугольник, и основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

3)

Свойства правильной пирамиды:

• Все боковые ребра правильной пирамиды равны;
• Все боковые грани правильной пирамиды – это равные равнобедренные треугольники;
• Все апофемы правильной пирамиды равны.

Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды

(на рисунке – отрезок PH).

Обозначение апофемы – d.

Развертка пирамиды.

Подумайте, как будет выглядеть развертка правильной треугольной пирамиды.

На развертке будут изображены следующие плоские фигуры:

• Боковые грани –

• Основание –

равносторонний треугольник;

три равных равнобедренных треугольника.

Развертка пирамиды.

Подумайте, как будет выглядеть развертка четырехугольной пирамиды.

На развертке будут изображены следующие плоские фигуры:

• Боковые грани –

• Основание –

четырехугольник;

четыре треугольника.

Развертка пирамиды.

Подумайте, как будет выглядеть развертка правильной четырехугольной пирамиды.

На развертке будут изображены следующие плоские фигуры:

• Боковые грани –

• Основание –

квадрат;

четыре равных равнобедренных треугольника.

Свойства пирамиды:

Если все боковые ребра пирамиды равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

Верно и обратное.

1)

Свойства пирамиды:

Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр.

Верно и обратное.

2)

Поверхность пирамиды.

S1

S2

S3

Sосн

S4

2) Полная поверхность пирамиды – это сумма площадей всех граней пирамиды.

Sп.п. = Sб.п. + Sосн

1) Боковая поверхность пирамиды – это сумма площадей боковых граней пирамиды.

Sб.п. = S1 + S2 + S3 + S4

Боковая поверхность правильной пирамиды.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

- периметр n-угольника,

лежащего в основании.

a

a

a

a

Т.к.

, то формула примет вид:

Объем пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Усеченная пирамида.

Усеченная пирамида.

Усеченная пирамида – это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Элементы усеченной пирамиды.

1) Основания (нижнее и верхнее) – подобные многоугольники;

2) Боковые грани – трапеции;

3) Боковые ребра – общие стороны боковых граней;

4) Высота усеченной пирамиды –  расстояние между основаниями.

основания боковая грань боковое ребро высота

Правильная усеченная пирамида.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Свойства правильной усеченной пирамиды:

• Боковые грани – равнобедренные трапеции;
• Боковые грани одинаково наклонены к основанию пирамиды;
• Боковые ребра равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.

Развертка усеченной пирамиды.

Подумайте, как будет выглядеть развертка правильной треугольной усеченной пирамиды.

На развертке будут изображены следующие плоские фигуры:

• Боковые грани –

• Основания –

подобные равносторонние треугольники;

три равных равнобедренных трапеции.

Развертка усеченной пирамиды.

Подумайте, как будет выглядеть развертка правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

На развертке будут изображены следующие плоские фигуры:

• Боковые грани –

• Основания –

два квадрата;

четыре равных равнобедренных трапеции.

1) Боковая поверхность усеченной пирамиды – это сумма площадей боковых граней усеченной пирамиды. Sб.п. = S1 + S2 + S3 + S4 + S5

2) Полная поверхность усеченной пирамиды – это сумма площадей всех граней пирамиды. Sп.п. = Sб.п. + Sв.осн. + Sн.осн.

Поверхность усеченной пирамиды.

S1

S2

S3

S4

S5

Sн.осн.

Sв.осн.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

- периметр верхнего основания

- периметр нижнего основания

Объем усеченной пирамиды.

Задача 1

Двугранные углы при основании правильной треугольной пирамиды равны 60. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и объем, если ее высота равна .

Задача 1:

Задача 1

1. Определите, чем будет являться основание высоты DO пирамиды и постройте высоту.

2. Вспомните свойство биссектрис равностороннего треугольника.

3. Найдите угол, который будет линейным углом двугранного угла, который дан в задаче.

ПЛАН РЕШЕНИЯ:

4. Найдите апофему пирамиды и длину ее проекции на основание.

5. Найдите длину биссектрисы треугольника АВС, а затем и сторону треугольника АВС.

6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и ее объем.

Задача 2

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Высота пирамиды равна 12. Найдите длины боковых ребер пирамиды и объем пирамиды, если известно, что длины боковых ребер равны.

Задача 2:

8

6

Задача 2

ПЛАН РЕШЕНИЯ:

1. Определите, чем будет являться основание высоты DO пирамиды и постройте высоту.

2. Определите вид боковых граней пирамиды.

5. Определите вид треугольника ОDC.

3. Найдите гипотенузу АС из треугольника АВС.

6. Найдите длину отрезка ОС.

7. Найдите длину гипотенузы DC из треугольника ODC.

4. Найдите объем пирамиды.

Задача 3

Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 2 см, а боковое ребро равно 2 см. Найдите апофему усеченной пирамиды и площадь полной поверхности.

Задача 3:

Задача 3

ПЛАН РЕШЕНИЯ:

1. Вспомните, какую фигуру представляет грань правильной усеченной пирамиды и изобразите ее на плоскости.

2. Отметьте на этой фигуре все значения, которые даны в задаче.

5. Определите, какую фигуру представляют собой основания данной усеченной пирамиды и изобразите их на плоскости.

3. Вспомните, что такое апофема и отметьте ее на изображенной фигуре.

4. Найдите апофему из прямоугольного треугольника.

7. Найдите площадь боковой поверхности.

8. Найдите площадь полной поверхности.

6. Найдите площадь оснований удобным способом.

Ответы

Задача 1.

Задача 2.

Длины боковых ребер = 13,

Задача 3.