246392 геом. Решение Уравнение медианы треугольника

Название	Решение Уравнение медианы треугольника
Дата	06.09.2022
Размер	105.19 Kb.
Формат файла
Имя файла	246392 геом.docx
Тип	Решение #664048

Содержание

Задание № 1 2

Задание № 2 5

Задание № 3 7

Задание № 4 8

Задание № 5 9

Задание № 6 10

Список использованных источников 11

Задание № 1

Условие:

Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения: медианы АМ; высоты АН; биссектрисы AD.

A(1;7), B(11;2), C(3;10)
Решение:

Уравнение медианы треугольника

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

;

M(7;6)

Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Медиана AМ проходит через точки A(1;7) и М(7;6), поэтому каноническое уравнение медианы АМ:

y = ^-1/₆x + ⁴³/₆ или 6y + x - 43 = 0

Уравнение высоты через вершину A

Прямая, проходящая через точку Н(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Уравнение прямой BC

или y + x - 13 = 0

Найдем уравнение высоты через вершину A

или y-x-6 = 0

Уравнение биссектрисы треугольника

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим D.

Уравнение прямой AB

Или y = ^-1/₂x + ¹⁵/₂ или 2y + x - 15 = 0

Уравнение прямой AC

Или y = ³/₂x + ¹¹/₂ или 2y -3x - 11 = 0

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле:

Угловые коэффициенты данных прямых равны ^-1/₂ и ³/₂. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю:

φ = arctg(8) = 82,88⁰

Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол CAD ≈ 41,4⁰

Тангенс угла наклона AC равен ³/₂ (т.к. y = ³/₂x + ¹¹/₂). Угол наклона равен 56,3⁰

∠ CDA ≈ 180⁰ - (56,3⁰ + 41,4⁰) ≈ 104,87⁰

Поскольку угол ∠ CKA тупой, то φ = 104,9⁰ - 90⁰ = 14,9⁰

tg(14,9⁰) = 0,27

Биссектриса проходит через точку A(1,7), используя формулу, имеем:

y - y₀ = k(x - x₀)

y - 7 = 0,27(x - 1)

или

y = 0,27x + 6,73

Задание № 2

Условие:

По данному уравнению прямой l определить: угловой коэффициент прямой l; величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат; длину, координаты основания и направляющие косинусы перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую l.

- уравнение прямой.
Решение:

Определим угловой коэффициент прямой l.

Сравнивая с уравнением y=kx+b, видим, что здесь угловой коэффициент прямой k=-1/5 – угловой коэффициент, а величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат b=

В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид:

Чтобы определить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой

, поступим так: в уравнении прямой положим у=0. Получаем

. Значит, наша прямая пересекает ось Ох в точке с координатами (

.

Полагая в нашем уравнении х=0, определим ординату точки пересечения прямой с осью ординат. Будем иметь:

. Точка пересечения прямой с осью ординат имеет координаты (

)

Таким образом, уравнение в отрезках:

Приведем данное уравнение к нормальному виду:

После умножения на нормирующий множитель уравнение имеет вид:

Их сравнения с

- длина перпендикуляра.

Для определения координат основания этого перпендикуляра из рисунка 1, получим следующие формулы.

Рис. 1. Рисунок к задаче

Эти формулы верны при любом расположении прямой относительно координатных осей.

Следовательно, искомые координаты основания перпендикуляра равны:

Задание № 3

Условие:

Дана прямая l и точка М₀. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀ и: параллельно прямой l; перпендикулярно прямой l.

Уравнение прямой: х+2у+1=0; М₀=(2;1)
Решение:

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М₀ и параллельно прямой l

y = -0,5x -0,5

Уравнение прямой параллельно прямой l находится по формуле:

y - y₀ = k(x - x₀)

Подставляя x₀ = 2, k = -0,5, y₀ = 1 получим:

y-1 = -0,5(x-2)

или

y = -0,5x + 2 или y + 0,5x - 2 = 0

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М₀ и перпендикулярно прямой l

Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой l.

k₁ = -0,5

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.

Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:

-0,5k = -1, откуда k = 2

Так как искомое уравнение проходит через точку и имеет k = 2,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).

Подставляя x₀ = 2, k = 2, y₀ = 1 получим:

y-1 = 2(x-2)

или y = 2x -3 или y -2x +3 = 0

Задание № 4

Условие:

Определить: под каким углом пересекаются прямые l и m; какие углы образуют прямые l и m с осями координат.

Уравнение прямой l: y=2x-3; Уравнение прямой m: x-2y+2=0
Решение:

Найдем угол между прямыми -2x + y + 3 = 0 и x - 2y + 2 = 0

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

φ = arccos(0,8) = 36,87⁰

Определим какие углы образуют прямые l и m с осями координат.

Углы α, β, φ образуемые прямой с осями координат находятся из соотношений:

;

l, m, n – направляющие коэффициенты прямой.

Найдем направляющий вектор.

Тогда получим:

;

Следовательно:

α=90⁰, β=90⁰, φ=0⁰

Задание № 5

Условие:

Определить: длину и направляющие косинусы перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость α; величину отрезков, отсекаемых плоскостью α на осях координат.

Уравнение плоскости α: 10x+15y-6z-380=0
Решение:

Приведем данное уравнение к нормальному виду:

После умножения на нормирующий множитель уравнение имеет вид:

- длина перпендикуляра.

В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид:

Для этого перенесем в правую часть равенства свободный член. Данное уравнение запишется в виде:

10x+15y-6z=380

Отсюда получаем:

a=38, b=25,3, c=63,3

Задание № 6

Условие:

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую l и точку М.

M(1;-1;2); уравнение прямой l:

Решение:

Воспользуемся уравнением пучка плоскостей.

Значение определяется из условия, что координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению:

Список использованных источников

Бортаковский, А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - М.: Инфра-М, 2019. - 208 c.
Зимина, О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебный комплекс для вузов / О.В. Зимина. - Рн/Д: Феникс, 2018. - 157 c.
Золотаревская, Д.И. Аналитическая геометрия / Д.И. Золотаревская. - М.: КД Либроком, 2016. - 384 c.