Вычислительная математика дз3. ВМ_ДЗ3_. Отделить корни аналитически

• Название: Отделить корни аналитически
• Анкор: Вычислительная математика дз3
• Дата: 31.01.2023
• Размер: 135.09 Kb.
• Имя файла: ВМ_ДЗ3_.docx
• Тип: Документы; #913887

ДЗ_3.

Вариант 8

ЗАДАНИЕ 1

1. 
   Отделить корни аналитически
   

Обозначим .

Найдем производную и её корень:







Составим таблицу знаков функции исходя из значений: корня производной, граничных значений:

	-∞	0,82	+∞
	+	-	+

Уравнение имеет 2 действительных корня, так как 2 перемены знака функции. Уменьшим промежутки с корнями так, чтобы их длина не превышала 1. Составим новую таблицу знаков функции:

	-1	0	1	2
	+	-	-	+

Следовательно, корни лежат в промежутках: .

Ответ: .

2. 
   Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01
   

Найдем производную и её корень:









Составим таблицу знаков функции исходя из значений: корня производной, граничных значений:

	-∞	-1	3/4	1	+∞
	+	-	-	-	+

Уравнение имеет 2 действительных корня, так как 2 перемены знака функции. Уменьшим промежутки с корнями так, чтобы их длина не превышала 1. Составим новую таблицу знаков функции:

	-2	-1	1	2
	+	-	-	+

Следовательно, корни лежат в промежутках:

Уточним корень методом половинного деления. Вычисления занесем в таблицу:

n
0	1,00000	2,00000	1,50000	-1,31250
1	1,50000	2,00000	1,75000	0,14453
2	1,50000	1,75000	1,62500	-0,72437
3	1,62500	1,75000	1,68750	-0, 32909
4	1,68750	1,75000	1,71875	-0,10260
5	1,71875	1,75000	1,73438	0,01836
6	1,71875	1,73438	1,72656	-0,04281
7	1,72656	1,73438	1,73047	-0,01239
8	1,73047	1,73438	1,73243	0,00298

Так как |1,73438 - 1,73047| = 0,00391 < 0,01, мы останавливаем вычисления.

Округляем полученное значение и получаем корень:

Ответ: .

3. 
   Отделить корни графически
   

Построим графики функций . (рис. 1)



Рис. 1

Из графиков видно, что уравнение имеет корни:

Ответ:

4. 
   Отделить корни графически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01
   

Построим графики функций (рис.2)



Рис. 2

Из графиков видно, что уравнение имеет корни:

Уточним корень . Выберем промежуток, на концах которого функция имеет разные знаки. Составим таблицу:

x	-0,99	-0,7
	+	—

Вычисления представлены в таблице:

n
0	-0,99	-0,7	-0,845	-0,31583
1	-0,99	-0,845	-0,9175	-0,00585
2	-0,99	-0,9175	-0,95375	0,27315
3	-0,95375	-0,9175	-0,93563	0,11459
4	-0,93563	-0,9175	-0,92656	0,05078
5	-0,92656	-0,9175	-0,92203	0,02168

Так как |-0,92656 – (-0,9175)| = 0,00906 < 0,01, мы останавливаем вычисления.

Округляем полученное значение и получаем корень: .

Ответ: .

ЗАДАНИЕ 2

1. 
   Отделить корни графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001
   

Построим графики функций (рис.3)

	0	0,5	1	1,5
	0,5	0	-0,5	-1
	-	-0,3	0	0,18

Корень находится в промежутке [0,5; 1].

Найдем знаки первой и второй производных на концах этого промежутка.











Рис. 3

Знаки производных не совпадают, поэтому фиксированным будет левый конец. Для вычислений используем формулу:





Вычисления представим в виде таблицы:

0	1	0,5	0,80103	0,5	-0,18790	0,68790
1	0,68790	0,02543	0,32646	0,18790	-0,17326	0,67326
2	0,67326	0,00144	0,30247	0,17326	-0,17244	0,67244
3	0,67244	0,00009	0,30112	0,17244	-0,172388	0,67239

, поэтому останавливаем вычисления. Округлим значение до тысячных и получим:

Ответ: .

2. 
   Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001
   

Таблица знаков функции:

	-∞	-1	0	+∞
	-	-	+	+

Корень находится в промежутке [-1; 0].

Выясним знак второй производной: на промежутке [-1; 0].

Знаки производных не совпадают, следовательно, подвижным будет правый конец. Для вычислений используем формулу:





Вычисления представим в виде таблицы:

0	0	1	4	1	-0,75	-0,25
1	-0,25	0,23438	3,23438	0,75	-0,69565	-0,30435
2	-0,30435	0,05876	3,05876	0,69565	-0,68229	-0,31771
3	-0,31771	0,01480	3,01480	0,68229	-0,67894	-0,32106
4	-0,32106	0,00373	3,00373	0,67894	-0,67810	-0,32190
5	-0,32190

, поэтому останавливаем вычисления. Округлим значение до тысячных и получим:

Ответ: .

ЗАДАНИЕ 3

1. 
   Отделить корни графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001
   

Корень находится в промежутке [0,5; 1] (установлено в задании 2).





Поэтому касательную будем проводить через точку a = 0,5.

Начальное приближение .

Вычисления проводим по формуле:





Представим вычисления в виде таблицы:

n
0	0,5		-0,16110
1	0,66110	-0,01863	-0,00997
2	0,67107	-0,00216	-0,00116
3	0,67223	-0,00025	-0,00013
4	0,67236

, поэтому останавливаем вычисления. Округлим значение до тысячных и получим:

Ответ: .

2. 
   Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001
   

Корень находится в промежутке [-1; 0].

Выясним знак второй производной: на промежутке [-1; 0].

начальное приближение .

Вычисления проводим по формуле:





Представим вычисления в виде таблицы:

n
0	-1	-3	-0,5
1	-0,5	-0,625	-0,10417
2	-0,39583	-0,24951	-0,04159
3	-0,35421	-0,10719	-0,01787
4	-0,33635	-0,04709	-0,00785
5	-0,32850	-0,02095	-0,00349
6	-0,32501	-0,00936	-0,00156
7	-0,32345	-0,00419	-0,00070
8	-0,32275

, поэтому останавливаем вычисления. Округлим значение до тысячных и получим:

Ответ: .

ЗАДАНИЕ 4

Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение, вычислив корни с точностью до 0,001.



Отделим корни аналитически.





Таблица знаков функции:

	-∞	0	2	+∞
	-	+	-	+

Уравнение имеет три действительных корня. Уменьшим промежутки:

	-1	0	1	2	3
	-	+	+	-	+

Корни находятся в промежутках:



Уточним корни.

1. 
   .
   

Знак функции совпал со знаком второй производной на левом конце, следовательно, касательные начнем строить, начиная с левого конца, а хорды проводить с подвижным правым. Используем формулы:



– точки пересечения касательной и хорд, значения корня по недостатку и по избытку соответственно.



Обозначим:

Вычисления в таблице:

0	-1	1	-1,5	9	3,5	-0,16667
	0		2,5			-0,42857
1	-0,83333	0,2619	-0,16201	7,08330	1,49582	-0,02287
	-0,57143		1,33381			-0,02837
2	-0,81046	0,0055	-0,00288	6,83330	0,03742	-0,00042
	-0,80496		0,03454			-0,00042
3	-0,81004	0
	-0,81004

останавливаем вычисления. Округлим до тысячных и получим:

2. 
   
   

.

Знак функции совпал со знаком второй производной на левом конце, следовательно, касательные начнем строить, начиная с левого конца, а хорды проводить с подвижным правым. Используем формулы:



– точки пересечения касательной и хорд, значения корня по недостатку и по избытку соответственно.



Обозначим:

Вычисления в таблице:

0	1	1	0,5	-3	-2	-0,16667
	2		-1,5			-0,25
1	1,16667	0,08333	0,00462	-2,91666	-0,239	-0,00158
	1,25		-0,23438			-0,00161
2	1,16825	0,00003
	1,16828

останавливаем вычисления. Округлим до тысячных и получим:

3. 
   
   

.

Знак функции совпал со знаком второй производной на правом конце, следовательно, касательные начнем строить, начиная с правого конца, а хорды проводить с подвижным левым. Используем формулы:



– точки пересечения касательной и хорд, значения корня по недостатку и по избытку соответственно.



Обозначим:

Вычисления в таблице:

0	2	1	-1,5	9	4	0,27778
	3		2,5			-0,3
1	2,3	0,42222	-1,203	5,89813	1,64452	0,07486
	2,72222		0,44152			-0,30886
2	2,60886	0,0385	-0,16216	5,14138	0,19068	0,00555
	2,64736		0,02852			-0,03274
3	2,6416	0,0002
	2,6418

останавливаем вычисления. Округлим до тысячных и получим:

Ответ: , ,