Пределы (2). Ответ б

• Название: Ответ б
• Дата: 11.09.2020
• Размер: 198.6 Kb.
• Имя файла: Пределы (2).docx
• Тип: Документы; #137513

1. Вычислить пределы:

а)



Ответ:


б)

Выполним элементарные преобразования:

sin(x)=x

Тогда исходный предел можно представить в виде:



Используя свойство первого замечательного предела, выполним элементарные преобразования:




Тогда исходный предел можно представить в виде:



e^x-1 ≈ x(следствия второго замечательного предела)

Получим:



Ответ: -∞

в)

По свойству второго замечательного предела:



Ответ: 1

2. Исследовать функцию и построить график

а)

1. Четность или нечетность функции



Функция общего вида

2. Точки пересечения кривой с осями координат

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=0

Пересечение с осью 0X

y=0

x₁=0, x₂=-2

3. Исследование на экстремум

y = ((x²*(x+2))/(x-1)²)

Найдем точки разрыва функции.

x₁ = 1

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.



или



Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

x·(x²-3·x-4) = 0

Откуда:
x₁ = 0

x₂ = -1

x₃ = 4

(-∞ ;-1)	(-1; 0)	(0; 1)	(1; 4)	(4; +∞)
f'(x) > 0	f'(x) < 0	f'(x) > 0	f'(x) < 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция убывает	функция возрастает	функция убывает	функция возрастает

В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума. В окрестности точки x = 4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 4 - точка минимума.

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.





Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.



Откуда точки перегиба:

x₁ = -2/7

(-∞ ;-2/7)	(-2/7; 1)	(1; +∞)
f''(x) < 0	f''(x) > 0	f''(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута	функция вогнута

4. Асимптоты кривой.



Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:


Находим коэффициент k:



Находим коэффициент b:



Получаем уравнение наклонной асимптоты:

y = x+4

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x₁ = 1

Находим переделы в точке x=1



x₁ = 1 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.




б) y=x²*e^-x

1. Четность или нечетность функции

y(-x)=x²·e^x
Функция общего вида

2. Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=0

Пересечение с осью 0X

y=0
x²·e^-x=0
x₁=0

3. Исследование на экстремум

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = -x²·e^-x+2·x·e^-x



Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

x·(2-x) = 0

Откуда:
x₁ = 0

x₂ = 2

(-∞ ;0)	(0; 2)	(2; +∞)
f'(x) < 0	f'(x) > 0	f'(x) < 0
функция убывает	функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 2 - точка максимума.

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

f''(x) = -x·(2-x)·e^-x-x·e^-x+(2-x)·e^-x



Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.



Откуда точки перегиба:

x₁ = 0.58579

x₂ = 3.4142

(-∞ ;0.58579)	(0.58579; 3.4142)	(3.4142; +∞)
f''(x) > 0	f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция вогнута	функция выпукла	функция вогнута

4. Асимптоты кривой

y = x²·e^-x

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:



Находим коэффициент k:



Находим коэффициент b:



Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:

y = 0