Ответы на алгем. Ответы на вопросы экзамена АлГем матрицы и их виды
![]()
|
Ответы на вопросы экзамена АлГеМ Матрицы и их виды: - Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы. Матрица порядка m × n записывается в форме: Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца. ![]() Определение: Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой: ![]() Определение: Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом: ![]() Определение: Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной. Определение: Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы - на соответствующие строки. Определение: Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной: ![]() Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной: ![]() Определение: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю: ![]() Операции над матрицами и их свойства: - Умножение матрицы на число Произведением матрицы А на число ![]() ![]() ![]() ![]() Например, если ![]() ![]() Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например: ![]() В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. ![]() - Сложение матриц Суммой двух матриц А и В одинакового размера ![]() ![]() ![]() ![]() Например ![]() В частном случае A + 0 = A. - Вычитание матриц Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: ![]() - Умножение матриц Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц ![]() ![]() ![]() ![]() - Возведение в степень Целой положительной степенью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц. По определению полагают ![]() ![]() Пример №4 Найти ![]() ![]() Решение: ![]() Обращаем внимание на то, что из равенства ![]() ![]() - Транспонирование матрицы Транспонирование матрицы— переход от матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из определения следует, что если матрица ![]() ![]() ![]() ![]() Например, ![]() В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, ![]() Свойства операции транспонирования: ![]() Определители и их свойства. Способы вычисления определителей. - Необходимость введения определителя — числа, характеризующего квадратную матрицу ![]() ![]() ![]() ![]() Определителем матрицы первого порядка ![]() ![]() ![]() Например, пусть ![]() ![]() Определителем матрицы второго порядка ![]() ![]() Произведения а ![]() ![]() Например, пусть ![]() ![]() Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: ![]() Определителем матрицы третьего порядка ![]() ![]() Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (1.4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1.1), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. ![]() Свойства определителей 1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число ![]() ![]() Пусть определитель исходной матрицы равен ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов. Например, ![]() ![]() но ![]() 3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: ![]() 4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки {столбца), то ее определитель равен 0. 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е. ![]() Рассмотрим квадратную матрицу ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. матрица ![]() ![]() Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 7, получаем: ![]() 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. Пусть для определенности к элементам i-й строки матрицы прибавим элементы j-й строки, умноженные на ![]() Тогда первая строка матрицы имеет вид: ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() 9. Сумма произведений произвольных чисел ![]() ![]() 10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: ![]() ![]() Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если ![]() ![]() Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1—9, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу). 4. Обратная матрица: определение и вычисление с помощью алгебраических дополнений. |