Первое высшее техническое учебное заведение россии министерство науки и высшего образования российской федерации

Название	Первое высшее техническое учебное заведение россии министерство науки и высшего образования российской федерации
Дата	13.10.2021
Размер	130.12 Kb.
Формат файла
Имя файла	RGZ_4_matematika_variant_1.docx
Тип	Отчет #247167

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ОТЧЕТ

Расчетно-графическое задание №4
Вариант №1

По дисциплине	Математика
	^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

Тема:	Основы математической статистики

Автор: студент гр.	ГТС-19				//
		^{(подпись)}			^(Ф.И.О.)

ОЦЕНКА:

Дата:

11.02.2021

ПРОВЕРИЛ		доцент			/Лебедев И.А./
		^{(должность)}		^{(подпись)}	^(Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2021 год

Задание 1:

По двум последним цифрам шифра студента (…ab) определяется вариационный ряд из двадцати значений (с шагом h = 3) и соответствующих частот:

.

Произвести группировку значений и по сгруппированному вариационному ряду построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму.
Данные:

ab=1+30(2-1)=31

a=3

b=1

Решение:

Подставим данные.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	2	5	8	11	14	17	20	23	26	29
m	13	2	11	2	13	4	15	6	17	8

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
32	35	38	41	44	47	50	53	56	59
19	10	21	12	23	14	25	16	27	18

Объем выборки:

n=

n=276

Размах выборки: 57

Вводим интервалы группировки:

(чтобы первое значение x₁=2 включалось с запасом),

(последнее значение x₂₀=59 включается с запасом). Для сгруппированного вариационного ряда значения равны серединам интервалов:

а частоты

для этих значений (т.е. для интервалов

) получаем, складывая частоты значений

, попавшие в соответствующий интервал

группировки, причем для значения

, попавшего на границу двух интервалов, частота

делится между этими интервалами поровну:

Эмпирические вероятности равны:

0,094

0,096

0,139

0,181

0,224

0,266

Отметим, что

.

Накопленные вероятности:

За

=0,094; за

=0,19; за

=0,329; за

=0,51; за

=0,734; за

Определяем эмпирические плотности:

Графики

Задание 2:

Сгруппированный вариационный ряд задан серединами интервалов x_i и соответствующими частотами m_i. Восстановить интервалы и оценить с помощью критерия Пирсона хи-квадрат согласие данных с нормальным распределением при уровне значимости

, где b – последняя цифра шифра.
Данные:

	1	2	3	4	5	6
x_i	10	20	30	40	50	60
m_i	5	8	15	11	7	4

b=9

Решение:

a=1-(0,9+0,01)=0,09
Данные интервалы:

;

Введем условную варианту, определив шаг h=10 и выбрав ложный нуль C=30, и найдем и

	1	2	3	4	5	6
x_i	10	20	30	40	50	60
m_i	5	8	15	11	7	4	50
u_i=	-2	-1	0	1	2	3
u_i*m_i	-10	-8	0	11	14	12	19
	4	1	0	1	4	9
*m_i	20	8	0	11	28	36	103

По данный таблицы имеем n=50

=10*

+30=33,8

Найдем теоретические частоты для интервала используя формулу вероятности попадания значений в этот интервал (для нормального распределения с параметрами и ):

5-15	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65
-2,09	-1,36	-0,64	0,09	0,81	1,54
-1,36	-0,64	0,09	0,81	1,54	2,26
-0,4817	-0,4131	-0,289	0,0359	0,2910	0,4382
-0,4131	-0,289	0,0359	0,2910	0,4382	0,4881
0,0696	0,1241	0,3249	0,2551	0,1372	0,0499
3,48	6,205	16,248	12,755	6,86	2,495

Найдем выборочное значение , объединив крайние интервалы для маленьких частот m_i.

	1	2	3	4	5	6
	5-15	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65
m_i	5	8	15	11	7	4
	4	6	12	13	7	3
m_i-	1	2	3	-2	0	1
(m_i- )²	1	4	9	4	0	1
(m_i- )²/	0,25	0,67	0,75	0,31	0	0,33

X²=

=2,31

Таким образом, если после объединения число интервалов

а число наложенных связей p=3, то число степеней свободы r=k-p=6-3=3. Поэтому по таблице критических значений

имеем

. Сравнивая найденное значение X²=2,31 с критическим (2,31<6,25), определяем, что рассматриваемые данные можно считать полученными из нормально распределенной совокупности.

Задание 3:

Найти выборочные регрессии, построить их графики и точки условных средних на одном чертеже. Оценить качество связи.
Данные:

ab=31

Y	X
Y	b	b+(10-a)	b+2(10-a)	b+3(10-a)	b+4(10-a)	b+5(10-a)
a	5	10-a		15-b
a+10			2b		20-2b	4
a+20				30-a-b
a+30		5	a			b
a+40	b	a+b		10-b	1

Решение:

Y	X						n_j
Y	1	8	15	22	29	36
3	5	7		14			26	14,19
13			2		18	4	24	26,77
23				26			26	22
33		5	3			1	9	13,4
43	1	4		9	1		15	17,3
m_j	6	16	5	48	19	5	n=100
	9,67	22,375	25	21,4	14,58	17

Для определения выборочных регрессий перейдем к условным вариантам.

Наибольшая частота, ближайшая к центру таблицы, m₄₃=26 и, следовательно, соответствующие ложные нули C₁=x₄=30 и C₂=y₃=23 шаг h₁=7 (для x_i) и

(для y_j).

Составим новую таблицу в условных вариантах для расчета характеристик:

v_j	u_i
v_j	-3	-2	-1	0	1	2	n_j	v_jn_j	v_j²n_j
-2	5	7		14			26	-52	104
-1			2		18	4	24	-24	24
0				26			26	0	0
1		5	3			1	9	9	9
2	1	4		9	1		15	30	60
m_i	6	16	5	48	19	5	n=100	= -37	=197
m_iu_i	-18	-32	-5	0	19	10	= =-26
m_iu_i²	54	64	5	0	19	20	=162

По данным таблицы получим выборочные характеристики:

1,62

=1,97

=7*(-0,26)+30

=10*(-0,37)+23

20,41

1,24595=>

1,35392=>

10*1,35392

13,5392

Для вычисления найдем средние суммы всех произведений u_iv_jm_ij:

+(-2)*(-2)*7+(-2)*0*14+(-1)*(-1)*2+

+(-1)*1*18+(-1)*2*4+0*0*26+1*(-2)*5+1*(-1)*3+1*1*2+2*(-3)*1+2*

*(-2)*4+2*0*9+2*1*1]=

Выборочный коэффициент корреляции

=-0,03924

Уравнения выборочных регрессий имеют вид для регрессии Y на X

=> y-20,41

y=-0,06092x+22,12659

Для регрессии X на Y

=>x-28,18

x=-0,025277у+28,69591

Обе регрессии проходят через точку средних (

;

)=(28,18; 20,41) и для построения прямых найдем еще по одной точке для каждой прямой.

Для y=-0,164301x+27,28595 это точка (0; 27,28595), для прямой

x=-0,09066у+26,37247 это точка (26,37247;0).

Так как |r^*_xy|=0,03924 далеко от нуля (угол между прямыми наилучших линейных регрессий близких к нулю), то связь между изучаемыми случайными величинами достаточно сильная, и т.к. далек от единицы, то связь сильно линейная.

График: