презентация Понятие о дифференциальном уравнении. Метод Эйлера и Рунге-Кутта. метод Эйлера и Рунге-Кутта. Понятие о дифференциальном уравнении. Метод Эйлера и РунгеКутта Дифференциальное уравнение
 Скачать 0.72 Mb.
|
|
Понятие о дифференциальном уравнении. Метод Эйлера и Рунге-Кутта Дифференциальное уравнение- Это уравнение, в котором неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала. Например: Порядок дифференциального уравнения- Это наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение . Например: уравнения 2-го порядка, 1-ого порядка. Обыкновенное дифференциальное уравнение Это дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменой. Например: Параметры дифференциального уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем случае содержит независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные или дифференциалы до n-го порядка включительно и имеет вид Решение дифференциального уравнения- Это всякая дифференцируемая функция удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество. Найти решение уравненияЗадача Коши- Найти решение уравнения удовлетворяющее дополнительным условиям, состоящим в том, что решение должно принимать вместе со своими производными до (n-1)-го порядка заданные числовые значения при заданном числовом значении независимой переменной x: при Решение дифференциальных уравнений численными методами Методы приближенного решения дифференциальных уравнений Аналитические методы дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения Численные методы дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде таблицы Решить дифференциальное уравнение численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов x0,x1,…,xn и числа y0 , не определяя функцию y=F(x) , найти такие значения y1,…,yn, что yi=F(xi) и F(x0)=y0. Метод ЭйлераМетоды численного решения дифференциальных уравнений Метод Эйлера Модификации метода Эйлера Метод Рунге-Кутта Метод Адамса Метод Эйлера Постановка задачи Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка y`=f(x,y) с начальным условием x=x0 , y(x0)=y0 . Требуется найти решение уравнения y`=f(x,y) на отрезке [a,b]. Все вычисления по методу Эйлера удобно располагать в таблице
Решение дифференциального уравнения методом Эйлера Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=y-x с начальным условием y(0)=1,5 на отрезке[0;1,5], приняв h=0,25. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Метод Рунге-Кутта Пусть необходимо найти численное решение уравнения y’=f(x, y), при условии, что y(x0)=y0 Идея метода состоит и в представлении разности Δy(x)=y(x+h)-y(x) (1.1) В виде суммы поправок kj с коэффициентами рj Δy=p1k1+ p2k2+…+ prkr , Метод Рунге-Кутта где k1=f(x, y), k2=f(x+α2h, y=β21k1), …, kr=hf(x+αrh, y=βr1k1+ βr2k2+…+ βrr-1kr-1). Коэффициенты рj , αj , βji находят сравнением разложений Δy и ki по степеням h. Метод Рунге-Кутта В случае r=4 получают (1.2) (1.3) Метод Рунге-Кутта При x=x0 с помощью формул (1.1)-(1.3) находим (1.4) Метод Рунге-Кутта Где (1.5) (1.6) Метод Рунге-Кутта Пример. Методом Ренге-Кутта найти решение задачи Коши для уравнения y`=y-x2, y(1)=0, x [1, 2] в первых пяти точках, взяв h=0,1 Решение. Поскольку в данном примере f(x, y)= y-x2 , и в силу условия x0 =1, y0 =0, то f(x0 , y0 )= y0- =0-1=-1. Метод Рунге-Кутта По формулам (1.6) находим По формуле (1.5) вычисляем Метод Рунге-Кутта Значение y1 вычисляем по формуле y1 = y0+Δy0 (см. формулу (1.4) при i=0). y1 = 0+(-0,1158)=-0,1158 Таким образом, полученное приближенное значение y1 =-0,1158 при x1 =1,1 Метод Рунге-Кутта C помощью формул (1.6) при i=1 найдём приближённое значение y2 при x2 =1,1, решив задачу Коши для того же уравнения y`=y-x2 , y(1,1)=-0,1158. Далее находим y3,y4,y5. Метод Рунге-Кутта По формуле (1.5) вычисляем
Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта По формуле (1.5) вычисляем
Работа с конспектомДомашнее задание Работа с конспектом 1. Решить задачу: Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=2(x+y) с начальным условием y(0)=0 на отрезке[1;2], приняв h=0,2. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой 2. Методом Рунге-Кутта, приняв h=0,1, найти приближённые решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие условиям: |