замощение. Понятие о замощении площади 4 2 Виды паркетов 6 3 История задач о замощении 13 4 Примеры задач о замощении 16 Ответ 9 клеток. 18 Ответ 18 Ответ При n, кратных

• Название: Понятие о замощении площади 4 2 Виды паркетов 6 3 История задач о замощении 13 4 Примеры задач о замощении 16 Ответ 9 клеток. 18 Ответ 18 Ответ При n, кратных
• Дата: 14.04.2022
• Размер: 1.08 Mb.
• Имя файла: замощение.docx
• Тип: Литература; #472284

Оглавление

Оглавление 2

Введение 3

1 Понятие о замощении площади 4

2 Виды паркетов 6

3 История задач о замощении 13

4 Примеры задач о замощении 16

Ответ: 9 клеток. 18

Ответ 18

Ответ: При n, кратных 3. 19

Практическая часть 19

20

Литература 20

1 Понятие о замощении площади 3

2 Виды паркетов 5

3 История задач о замощении 12

4 Примеры задач о замощении 15

Литература 18



















































Введение



Вопрос о замощении плоскости многоугольниками является неновым. Данную проблему исследовали десятки ученых разного времени, но ответов на все поставленные вопросы так и не было найдено. Паркеты (именно такое второе название имеет замощение) имеют очень интересную историю, ведь ими занимались не только математики, то и люди других профессий и даже видов деятельности.

Еще древние художники создавали удивительные геометрические орнаменты. Для создания своих узоров они применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке.

Актуальность данной работы состоит в том, что замощение плоскости достаточно часто встречается в повседневной жизни, а также активно изучается в физике, геометрии и естественных науках.

Цель исследования: выявить математические основания процессов замощения плоскости паркетами и показать разнообразие и сложность геометрических объектов для развития интеллектуальных операций мышления.

Для достижения поставленной цели были выявлены следующие задачи:

-дать определение замощению плоскости геометрическим фигурами на основе феноменологического подхода;

-изучить и систематизировать виды паркетов, их свойства и способы построения;

- рассмотреть типовые задачи.







1 Понятие о замощении площади



Под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне

Примеры таких замощений приведены на рис. 1.



Рисунок 1- Замощение плоскости: i - равносторонними треугольниками, ii - квадратами, iii - правильными шестиугольниками

Замощением плоскости называется разбиение плоскости на бесконечное число областей - элементов замощения, удовлетворяющее трем условиям:

1) Каждый элемент замощения является топологическим многоугольником.

2) Каждая точка плоскости принадлежит хотя бы одному многоугольнику.

3) Два многоугольника или имеют общую сторону, или имеют общую вершину, или вообще не имеют общих точек.

Менее строго, замощение плоскости - это покрытие плоскости многоугольными «плитками» без взаимных наложений и просветов.

Типичное представление о замощениях плоскости дают паркеты (рис.2). Существует бесконечное число способов замощения плоскости.



Рисунок 2 – Замощение плоскости

Так, паркет может выкладываться из одного или нескольких типов плиток (элементов замощения). Узоры из плиток могут постоянно меняться или быть повторяющимися (периодическими). Для изучения каждого конкретного замощения плоскости удобно рассматривать его как некий геометрический граф - граф замощения. Гранями этого графа являются внутренности многоугольников (элементов замощения), ребрами - стороны многоугольников, а вершинами - вершины многоугольников. Граф замощения является бесконечным графом из многоугольников.

2 Виды паркетов


Замощение поверхности (в частности, плоскости) называется  правильным  (точнее,  топологически правильным), если все многоугольные грани в графе замощения имеют одинаковое количество сторон, а в каждую вершину сходится одинаковое количество ребер. Это самые простые типы замощений, они полностью определяются двумя параметрами: числом ребер n, ограничивающих каждую многоугольную грань, и степенью каждой вершины т графа замощения. Чтобы описать все возможные правильные замощения, необходимо найти все их возможные параметры n и т.

Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами.

Полиформы, располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно полиамондами, полимино и полигексами.

Для обозначения паркета из правильных p-угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли {p, q}. Символы Шлефли трёх правильных мозаик - {3,6}, {4,4} и {6,3}.

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами или архимедовыми паркетами.

Существует 8 полуправильных паркето. Один из восьми полуправильных паркетов (курносый тришестиугольный паркет) является хиральным, то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением.

Полуправильные паркеты (Архимедовы паркеты):

Усечённый квадратный паркет

Курносый квадратный паркет  

Тришестиугольный паркет

Усечённый шестиугольный паркет

Ромботришестиугольный паркет

 

Ромбоусечённый тришестиугольный паркет



Изокурносый треугольный паркет



 

Курносый тришестиугольный паркет (одна из двух зеркальных копий)



Замощение называется однородным относительно вершин, если каждая вершина графа замощения имеет одну и ту же степень. Если рассмотреть граф, двойственный для графа замощения, однородного относительно вершин, то получим граф, каждая грань которого ограничена одним и тем же количеством ребер. Этому графу соответствует замощение, однородное относительно граней. Обратно, любому замощению, однородному относительно граней, соответствует двойственное замощение, однородное относительно вершин. Любое правильное замощение является однородным как относительно вершин, так и относительно граней.

Частным случаем однородных замощений являются так называемые полуправильные замощения. 

Замощение называется полуправильным относительно вершин, если к каждой вершине графа замощения примыкает одинаковое количество однотипных граней (одинаковое количество треугольных граней, одинаковое количество четырехугольных граней и т. д.), и эти грани примыкают к каждой вершине в одном и том же порядке. Двойственным образом определяется полуправильное замощение относительно вершин. Это такое замощение, к каждой грани которого примыкает одно и то же количество вершин одинаковых степеней (одинаковое количество вершин степени три, одинаковое количество вершин степени четыре, и т. д.), и эти вершины примыкают к каждой грани в одном и том же порядке.

На рис. 3 приведен пример полуправильного замощения относительно вершин. Каждая вершина этого замощения имеет степень 5 (это замощение однородно относительно вершин), и к каждой вершине примыкают 2 четырехугольные и 3 треугольные грани. При этом грани, примыкающие к каждой вершине, следуют в одном и том же порядке: треугольная, треугольная, четырехугольная, треугольная, четырехугольная (3, 3,4, 3,4). На рис. 4 показан процесс построения двойственного замощения.



Рисунок 3- Полуправильное замощение



Рисунок 4 – Двойственное замощение относительно вершин



Рисунок 5 – Двойственное замощение относительно граней

Это двойственное замощение (см. рис. 5) является полуправильным относительно граней. Оно состоит только из пятиугольных граней (это замощение однородно относительно граней), и к каждой его грани примыкают две вершины степени 4 и три вершины степени 3. При этом степени вершин, примыкающих к каждой грани, следуют в одном и том же порядке: третья, третья, четвертая, третья, четвертая (3, 3,4, 3,4).

На рис.6 приведен пример замощения плоскости, однородного относительно вершин. Несмотря на то, что к каждой вершине этого замощения примыкает одинаковое количество однотипных граней (2 треугольные и 2 шестиугольные), тем не менее оно не является полуправильным, так как не сохраняется порядок следования граней. Например, в вершине А грани следуют в порядке (3,6,3,6), а в вершине В - в порядке (3,3,6,6).



Рисунок 6- Однородное замощение относительно вершин

Квазиправильный паркет (или многогранник)- однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа.

На Евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет - тришестиугольный паркет с вершинной конфигурацией 3.6.3.6.

Существует бесконечное множество неоднородных паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

Неоднородные паркеты из правильных многоугольников:

3².6², 3⁶

3².6², 3.6.3.6

3².4.12, 3⁶

3.4².6, 3.6.3.6

Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n, паркет называется n-однородным (англ. n-uniform) или n-изогональным; если число орбит рёбер равно n - n-изотоксальным (англ. n-isotoxal). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов.

3 История задач о замощении


Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета.

В частности, существует класс задач на замощение прямоугольников m × n плитками домино таким образом, чтобы в полученном разбиении не было прямой линии, пересекающей прямоугольник от края до края и не пересекающей ни одной плитки домино; такие прямоугольники называются «прочными».

В других задачах устанавливается дополнительное ограничение на количество плиток каждого вида, используемых в замощении. В задачах, связанных с пентамино, требуется покрыть 12 фигурами заданное подмножество квадратного паркета, состоящее из 60 клеток (прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, шахматная доска с вырезанным в центре квадратным тетрамино и др.); при этом каждая плитка должна быть использована ровно один раз.

Французский математик Михаэль Рао из Лионского университета закончил решение задачи о замощении плоскости выпуклыми многоугольниками. Многоугольник называется выпуклым, если все его углы меньше 180 градусов или, что то же самое, вместе с любой парой точек такой многоугольник содержит и отрезок, их соединяющий. Задача о замощении (еще ее называют задачей о паркете) формулируется так: пусть плоскость разбита на многоугольники так, что любые два многоугольника либо не имеют общих точек, либо имеют только граничные общие точки. Если все многоугольники такого разбиения одинаковы (то есть один в другой можно перевести композицией сдвига, поворота или осевой симметрии), то говорят, что многоугольник замощает плоскость. Задача звучит так: описать все выпуклые многоугольники, замощающие плоскость.

Используя некоторые комбинаторные рассуждения, можно доказать, что у такого многоугольника может быть только 3, 4, 5 или 6 сторон. Легко проверяется, что плоскость можно замостить любым трех- и четырехугольником.

Чтобы описать все шестиугольники, обозначим их углы как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы было доказано, что все шестиугольники, которыми можно замостить плоскость, принадлежат как минимум одному из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :

1. 
   A + B + C = 360
   
2. 
   A + B + D = 360, a = d, c = e
   
3. 
   A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.
   

 Самый сложный случай - случай пятиугольного паркета. В 1918 году математик Карл Райнхардт описал пять классов таких паркетов, простейшим из которых был класс пятиугольников с условием, что найдется сторона, сумма примыкающих к которой углов равна 180 градусам. В 1968 году Роберт Кершнер нашел еще три таких класса, а в 1975 году Ричард Джеймс нашел еще один. Про открытие Джеймса написал журнал Scientific American, статью в нем увидела американская домохозяйка и математик-любитель Мардж Райс, которая вручную за 10 лет нашла еще 5 семейств.

Последнее продвижение в задаче о замощении произошло в августе 2015 года. Тогда математики из филиала Вашингтонского университета в Ботелле с помощью компьютерной программы нашли 15-й класс пятиугольных паркетов. В своей новой работе Михаэль Рао свел задачу классификации пятиугольных паркетов к перебору 371 вариантов. Варианты он перебрал на компьютере и показал, что ничего, кроме 15-ти уже известных классов замощений, не существует. Тем самым он окончательно закрыл задачу о замощении.



Рисунок 7- Все 15 известных пятиугольных замощений

Задача определения количества паркетов, состоящих из выпуклых многоугольников заданного типа, решена лишь частично:

1. 
   Любым треугольником или четырёхугольником можно замостить плоскость.
   
2. 
   Известно 15 пятиугольников, способных замостить плоскость; неизвестно, является ли этот перечень полным. Проблема перечисления пятиугольных паркетов имеет богатую историю, и, возможно, уже решена.
   
3. 
   Известно 3 типа шестиугольников, способных замостить плоскость.
   
4. 
   Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи.
   

4 Примеры задач о замощении


1) Из шахматной доски вырезаны две угловые диагонально противоположные клетки (a1 и h8). Можно ли замостить полученную «усеченную» шахматную доску доминошками размера 2*1 ?



Типичный фрагмент замощения доминошками показан на рисунке 8.



Рисунок 8 – Фрагмент замощения

Фигурки, составляющие замощение, не перекрываются (они касаются друг друга только по границе), и при этом каждая точка доски принадлежит какой-либо фигурке. Отметим два момента: во-первых, доминошки разрешается класть как вертикально, так и горизонтально; во-вторых, у соприкасающихся доминошек не обязательно должна быть целая общая сторона. Общая постановка задачи о замощении звучит так: если дан многоугольник P и набор многоугольников Q1, Q2, ,…, возможно ли замостить P копиями многоугольников Qi ?

Решим эту задачу методом раскраски. Чтобы решить задачу о шахматной доске с вырезанными углами, вспомним, что поля шахматной доски окрашены в черный и белый цвета. Оба вырезанных диагонально противоположных угла черные, т.е. доска состоит из тридцати черных и тридцати двух белых полей (рис.9).



Рисунок 9- Рассуждение с использованием раскраски

С другой стороны, каждая доминошка размера 2*1 накрывает одно белое и одно черное поле. Значит, такое замощение невозможно. Вот другой способ изложить то же доказательство. Запишем на каждом белом поле нуль, а на каждом черном – единицу. Общая сумма всех чисел на доске с вырезанными углами составляет 30. Но на каждой доминошке написаны как 0, так и 1, и тридцать одна доминошка дает сумму 31, а не 30. Значит, такого замощения не существует.

2) На клетчатой доске 5×5 Петя отмечает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки неперекрывающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток (уголки разрешается класть только "по клеточкам"). Какое наименьшее число клеток должен отметить Петя, чтобы Вася не смог выиграть?

Петя может отметить клетки, указанные на рисунке слева. Тогда Вася не сможет одним уголком накрыть больше одной отмеченной клетки. Но девять уголков без наложений не разместить на доске, так как  27 > 25.



  Если Петя отметит меньше девяти клеток, то хотя бы одна из указанных в примере чёрных клеток не будет отмечена. Тогда Вася сможет накрыть все клетки доски, кроме неё. Действительно, на рисунке справа заштрихованные клетки можно дополнить до уголков так, чтобы свободной оказалась только одна из клеток 1, 2 или 3. Если нужно исключить другую чёрную клетку, рисунок нужно повернуть.

Ответ: 9 клеток.

3) Незнайка разместил без наложений в квадрате 10*10 только 13 фигур ("скобок"), изображённых на рисунке. Попробуйте разместить больше.

Ответ

Можно разместить 14, 15 или даже 16 "скобок". Больше разместить нельзя, так как 17 "скобок" занимают уже 102 клетки.
 

4) При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

Правильный треугольник со стороной  n = 3k  легко разбить на правильные треугольнички со стороной 3. Каждый из них разбивается на три трапеции.



  Если правильный треугольник со стороной n разбит на m трапеций, то его площадь равна, с одной стороны, n²S, где S – площадь правильного треугольника со стороной 1, а с другой стороны, она равна 3mS (трапеция состоит из трёх треугольников со стороной 1). Отсюда  n²S = 3mS  или  n² = 3m,  то есть n кратно 3.

Ответ: При n, кратных 3.
Практическая часть

Дан треугольник



Задача: Замостить площадь одинаковыми треугольниками

Решение:

























Литература

1. 
   Баранов В.Н., Баранова О.В. Экстремальные задачи в дискретной математике. Метод раскраски: учебное пособие. – Ижевск: изд-во «Удмуртский университет»,2015.
   
2. 
   Дубровский В. Геометрия на паркете// Квант.- 2014.-№ 2.-С. 9–12
   
3. 
   Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание.-М.:МЦНМО, 2002
   
4. 
   Табачников С., Фукс Д. Невозможные замощения// Квант.- 2011.-№ 2.- С. 19–26