тема 3. Потенциал. Связь напряженности и потенциала Основные теоретические сведения
 Скачать 377.24 Kb.
|
|
Потенциал. Связь напряженности и потенциала Основные теоретические сведения Связь между напряженностью электростатического поля и потенци- алом Напряженность электрического поля – величина, численно равная силе, действующей на заряд. Потенциал ϕ – величина, численно равная потенциаль- ной энергии заряда. Таким образом, между этими величинами должна суще- ствовать связь, аналогичная связи между потенциальной энергией и силой (т.е. dx dW f − = ). Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl может быть представлена как dl qE dA l = , а убыль потенциальной энергии заряда, которая при этом будет возникать: ϕ ϕ qd q d dW − = − = − ) ( . Откуда из равенства dW dA − = находим: ϕ − = qd dl qE l или dl d E l ϕ − = , где через l обозначено произвольно выбранное направление. Тогда, dx d E x ϕ − = , dy d E y ϕ − = , dz d E z ϕ − = , Откуда ϕ + ϕ + ϕ − = + + = → → → → dz d k dy d j dx d i E k E j E i E z y x d d d , где – , , k j i d d d орты координатных осей, т. е., единичные вектора. Вектор с компонентами dz d dy d dx d ϕ ϕ ϕ , , , где – ϕ скалярная функция координат z y x , , назы- вается градиентом функции ϕ и обозначается символом ϕ grad (или ϕ ∇ , где ∇ – оператор набла). Таким образом, градиент потенциала: dz d k dy d j dx d i grad ϕ + ϕ + ϕ = ϕ → d d d и из (23) и (24) следует , что → ϕ − = grad E d Так как градиент – это вектор, показывающий направление наискорей- шего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точ- ки пространства к другой, то градиентом потенциала dr d ϕd (где r–радиус-вектор) называется вектор, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания по- тенциала, численно равный быстроте его изменения на единицу длины в этом направлении. 2 Поскольку ϕ → grad – векторная величина, то его модуль выражается как: + + = dz d dy d dx d dr d ϕ ϕ ϕ ϕ 2 2 2 , подобно тому, как модуль вектора → E : 2 2 2 z y x E E E E + + = Знак “–” указывает на то, что напряженность E d направлена в сторону убывания потенциала. Формула (25) позволяет по известным значениям ϕ найти напряженность поля в каждой точке или решить обратную задачу, т.е., по заданным значения E d в каждой точке найти разность потенциалов между дву- мя произвольными точками поля. Эквипотенциальные поверхности Потенциал электростатического поля представляет собой функцию, меняющуюся от точки к точке. Однако, во всяком реальном случае можно выделить совокупность точек, потенциалы которых одинаковы. Геометрическое место точек постоянного потенциала называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью. Возьмем равномерно заряженную беско- нечную плоскость. Поле, создаваемое та- кой плоскостью однородно, а линии напряженности нормальны к плоскости. Отсюда следует, что работа перемещения заряда из некоторой точки В 1 в любую другую точку В 2 , находящуюся на таком же расстоянии от заряженной поверхно- сти, что и точка В 1 равна нулю. Действи- тельно, при перемещении некоторого за- ряда q по прямой В 1 В 2 сила, действую- щая на заряд со стороны поля, будет все время перпендикулярна к перемещению, а, следовательно, ее работа равна нулю. Но эта работа может быть представлена, с другой стороны, в виде: 0 ) ( 2 1 = ϕ − ϕ = Β Β q A , (28) где 1 Β ϕ и 2 Β ϕ – соответственно потенциалы точек В 1 и В 2 . Отсюда, так как А = 0, то 1 Β ϕ = 2 Β ϕ , т.е., потенциалы точек, равноудаленных от заряженной плоскости, одинаковы. Таким образом, поверхности равного потенциала (экви- потенциальные поверхности) являются плоскостями, параллельными заряжен- ной плоскости. Если плоскость заряжена положительно, то значение потенциа- ла убывает по мере удаления от заряженной плоскости. Очевидно, что поверх- В 2 E d E d E d E d 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 ϕ σ + f d В 1 q 3 ности равного потенциала расположены симметрично по обе стороны от заря- женной плоскости. Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда это сферы с ра- диусом r , центр которых находится в центре точечного заряда, т.е. r q 0 4 πε = ϕ На рисунке вектор напряженности E d перпен- дикулярен эквипотенциальным поверхностям. Покажем, что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверх- ности. Рассмотрим работу по перемещению за- ряда по поверхности равного потенциала на малом участке пути ∆S (рис. 3.7). При этом, работа электрической силы E q f d d = на данном пути будет: α Ε∆ = α ∆ = ∆ cos cos S q S f À , (29) где α – угол между направлением силы f и перемещением ∆S. С другой стороны, эта ра- бота может быть выражена как произведение величины перемещающегося заряда на разность потенциалов в начальном и ко- нечном положениях заряда, т.е. ) ( В А q A ϕ ϕ − = ∆ Так как перемещение идет по эквипотенциальной поверхности, то раз- ность потенциалов 0 = − В А ϕ ϕ и 0 cos = α Ε∆S q , или cosα = 0, значит α = 90 0 т.е. угол между направлением силы f d и перемещением ∆S равен 90 0 . Но E q f d d = , т.е. направления f d и E d совпадают, поэтому угол между E d и ∆S, α=90 0 т.е. направление вектора напряженности электростатического поля всегда пер- пендикулярно к эквипотенциальной поверхности. Эквипотенциальных поверхностей вокруг заряженного тела можно прове- сти сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине E d , однако при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной вели- чине. Формула → ϕ − = grad E d выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точ- ке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям E d в каждой точке поля найти разность потенциаловмежду двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над 4 зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как: ) l d , E ( 2 1 12 ∫ = d d q A С другой стороны работу можно представить в виде: ( ) 2 1 12 φ φ − = q A , тогда ) l d , E ( φ φ 2 1 2 1 ∫ = − d d Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, т.к. работа сил поля не зависит от пути. При обходе по замкнутому контуру 2 1 φ φ = получим: , 0 ) l d , E ( = ∫ d d т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора E d следует, что линии E d элек- тростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на поло- жительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются ( стоки) или уходят в бесконечность. Обобщим теорему Гаусса и теорему о циркуляции вектора напряженно- сти электростатического поля в вакууме. Так как → ϕ − = grad E d , а 0 E div ε ρ = d , то ρ ϕ ε = − ) ( 0 grad div . Поскольку ϕ ϕ ∆ = ) (grad div ( ϕ ∆ - оператор Лапласа), то для по- тенциала φ получим выражение 0 ε ρ ϕ − = ∆ или 0 2 2 2 2 2 2 ε ρ ϕ ϕ ϕ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z y x , которое называется уравнением Пуассона. Это уравнение позволяет по известному распределению заряда ( ) z y x , , ρ ρ = и заданным граничным условием для потенциала φ определить значения ) , , ( z y x ϕ ϕ = во всех точках поля, а затем по формуле → ϕ − = grad E d найти напряженность ) , , ( z y x E d поля, т.е. решить прямую задачу электроста- тики. 5 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Все задачи по данной теме можно условно разделить на два класса: • по известному распределению заряда ( ) z y x , , ρ ρ = и заданным граничным условием определить значения ) , , ( z y x E E = во всех точках поля, а затем по формуле → ϕ − = grad E d найти напряженность ) , , ( z y x ϕ ϕ = поля; • по известному распределению заряда ( ) z y x , , ρ ρ = и заданным граничным условием для потенциала φ определить значения ) , , ( z y x ϕ ϕ = во всех точках поля, а затем по формуле → ϕ − = grad E d найти напряженность ) , , ( z y x E d поля Решая задачи удобно придерживаться следующего плана: 1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную запись данных и искомых физических величин, предварительно представив их в системе СИ. 2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о котором идет речь; выполните схематический чертеж. 3. определите по закону Кулона или по теореме Гаусса напряженность поля, 4. используя связь напряженности и потенциала, определите разность по- тенциалов друг точек поля или 1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную запись данных и искомых физических величин, предварительно представив их в системе СИ. 2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о котором идет речь; выполните схематический чертеж. 3. определите потенциал поля, созданного системой зарядов 4. используя связь напряженности и потенциала, определите напряженность поля. Примеры решения задач Задача 1. Определить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x 1 и x 2 от равномерно заряженной бесконечной плоскости с по- верхностной плотностью заряда σ. Решение. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости, найденная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, определяется по фор- муле 0 2 ε σ = E . Используем связь напряженности и потенциала E grad = − ϕ gggggd d . Так 6 как поле везде постоянно, и не зависит от расстояния, то d E dx ϕ = − Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x 1 и x 2 от плоскости, равна , d Edx ϕ = − ) ( 2 2 1 2 0 0 2 1 2 1 2 1 x x dx Edx x x x x − = = = − ∫ ∫ ε σ ε σ ϕ ϕ Задача 2. Определить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x 1 и x 2 от двух бесконечных параллельных разноименнозаря- женных плоскостей с поверхностной плотностью заряда +σ и -σ. Решение. Напряженность электростатического поля между заряженными плоско- стями, найденная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 0 ε σ = E , где σ = q/S – поверхностная плотность заряда. Так как напряженность связана с по- тенциалом , d E dx ϕ = − то d Edx ϕ = − (1) Теперь, чтобы получить выражение для разности потенциалов между лю- быми двумя точками, находящимися на расстояниях x 1 и x 2 между плоскостями, проинтегрируем выражение (1): 2 1 2 0 1 ; x x d dx σ ϕ = − ε ∫ ∫ ( ) 2 1 2 1 0 x x σ ϕ − ϕ = − − ε или ( ) 1 2 2 1 0 x x σ ϕ − ϕ = − ε . При x 1 = 0 и x 2 = d , разность потенциалов между плоскостями 1 2 0 d σ ϕ − ϕ = ε На рисунке изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями. Задача 3. Определить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от оси бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра с линейной плотностью заряда τ. Решение. С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что напряжен- ность поля равна 7 0 0 0 0 0 внутри цилиндра, т.к. там нет зарядов, q или на поверхности цилиндра, 2 2 q или вне цилиндра, 2 2 E R Rl r rl − τ = πε πε τ πε πε где q l τ = – линейная плотность заряда. Тогда, т.к. ; d Edr ϕ = − 2 1 2 0 1 2 r r dr d r τ ϕ = − πε ∫ ∫ , отсюда следует разность потенци- алов в произвольных точках 1 и 2 будет равна: 2 2 2 1 0 1 0 1 ln ln 2 2 r q r r l r τ ϕ − ϕ = − = − πε πε 0 0 1 ln const внутри и на поверхности цилиндра ( ), 2 ln вне цилиндра ( ). 2 r R R r r R R l = − ≤ πε ϕ = l − > πε На рисунке изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от r. (Здесь и далее E – изображена сплошной линией, а φ – пунктирной). Задача 4. Определить разность потенциалов между обкладками цилин- дрического конденсатора с внутренним радиусом R 1 и внешним радиусом R 2 , равномерно заряженного с линейной плотностью заряда +τ и -τ. Решение. С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что напряжен- ность поля равна 1 2 0 0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов нет, между цилиндрами, когда 2 E R r R r − = τ − < < πε 8 Отсюда так же, как и в предыдущем случае (см. задача 12), разность потенциа- лов будет равна: 2 2 1 0 1 ln 2 r r τ ϕ − ϕ = − πε 2 1 0 1 1 2 0 1 ln const внутри меньшего цилиндра ( ) 2 ln между цилиндрами ( ) 2 0 вне цилиндров. R r R R r R r R R τ = − < πε τ ϕ = − < < πε − Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем const φ = , Е = 0, между обкладками по- тенциал уменьшается по логарифмическому закону, а вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю. На рисунке изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от r. Задача 5. Определить потенциал как функцию расстояния для поля равномерно за- ряженной сферической поверхности радиуса R с поверхностной плотностью заряда σ. Решение. Рассматривая примеры применения теоремы Остроградского-Гаусса, мы нашли, что напряженность поля сферы определяется формулой: 2 0 πε 4 ) ( r q r E = А т.к. r Ed φ d − = , то − = − = = − ∫ 2 1 0 1 2 0 2 0 2 1 1 1 4 1 4 d 4 2 1 r r q r r r q r r q r r πε πε πε ϕ ϕ . Если принять r 1 = r , а r 2 =∞, то потенциал вне сферической поверхности определяется выра- жением 4 0 r q πε ϕ = Внутри сферической по- верхности потенциал всюду одинаков и равен 9 R q 0 4 πε ϕ = , так как напряженность поля внутри сферической поверхности равна нулю. Отсюда имеем > − ≤ − = = = ). ( сферы вне 4 ) ( сферы и поверхност на и внутри const 4 0 0 0 R r r q R r R R q πε ε σ πε ϕ Задача 6.Определить потенциал как функцию расстояния для поля равномерно заряженного с объемной плотностью заряда ρ радиуса R. Решение. Имеем шар радиусом R с общим зарядом q, т.е. заряженный с объемной плотностью π 4 3 ρ 3 R q = Напряженность поля объемно заряженного шара радиу- сом R, с общим зарядом q, вне шара (r>R) вычисляется по формуле 2 0 4 1 r q E πε = Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от центра шара (r 1 >R, r 2 >R, r 2 >r 1 ), определяется формулой − = − = = − ∫ 2 1 0 1 2 0 2 0 2 1 1 1 4 1 4 d 4 2 1 r r q r r r q r r q r r πε πε πε ϕ ϕ Если принять, что r 1 = r , а r 2 =∞, то потенциал вне сферической поверхно- сти определяется выражением r q 0 4 πε ϕ = . В частности, при r = R, потенциал поверхности сферы, относительно точки с нулевым потенциалом равен 0 2 0 3 4 ) ( ε ρ πε ϕ R R q R = = (нулевой уровень потенциала нами выбран для точки r 2 =∞). В любой точке, находящейся внутри шара на расстоянии r′ от его центра (r ′ r R q E r ′ = 3 0 4 1 πε Следова- тельно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 ′ и r 2 ′ от центра шара равна [ ] ∫ − = = − 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 3 0 2 1 ) ( ) ( 8 r r r r r R q dr E πε ϕ ϕ 10 С учетом выбора нулевого уровня потенциала в точке r 2 =∞ по- тенциал любой точки внутри заря- жен- ного шара можно найти следую- щим образом: ∫ − = r R r dr E R) ( ϕ ϕ После интегрирования, получим ) ( 6 3 2 2 0 0 2 r R R − + = ε ρ ε ρ ϕ Если учесть, что 3 4 3 R q π ρ = , то ≥ − ≤ − − = − = ). ( шара вне и и поверхност на πε 4 ) ( шара внутри 3 πε 8 ) 0 ( шара центре в πε 8 3 φ 0 2 2 0 0 R r r q R r R r R q r R q Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы: • с помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от раз- личных заряженных поверхностей. • напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность. • потенциал поля – всегда непрерывная функция координат. |