Практическая работа 13. Координаты вектора. Решение задач на опр. Практическая работа 13. Координаты вектора. Решение задач на определение координат вектора
 Скачать 215.42 Kb.
|
|
Практическая работа №13. Координаты вектора. Решение задач на определение координат вектора Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j, которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку:  Эти векторы называются базисными. Тогда любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов:  Мы видим, что     Для произвольного вектора  числа  и  в разложении вектора  по базисным векторам называются координатами вектора. Координаты векторов на рисунке выше:     Внимание! При записи координат вектора мы всегда на первом месте пишем коэффициент при i, а на втором месте коэффициент при j. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два равных вектора имеют одинаковые координаты. Мы видим, что  Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конца:  и  Если вектор  задан координатами его начала  и конца  , то чтобы найти его координаты, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала: Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны:  Противоположные векторы имеют противоположные координаты:   При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число: Если  , то  Если число k>0, то векторы   и  сонаправлены.Если число k<0, то векторы и направлены в противоположные стороны.Вектора, которые лежат на параллельных прямых, называются коллинеарными. Если вектора  и  коллинеарны, то их координаты пропорциональны:  При вычитании векторов их координаты вычитаются: Если , и  , то  При сложении векторов их координаты складываются: Если , , и  , то  Пример.  ,  . Найдите координаты вектора    ;  Длина вектора вычисляется по формуле:  Если вектор задан координатами его начала и конца , то его длина вычисляется по формуле: С помощью этой же формулы находится длина отрезка  , или расстояние между точками  и  .Если точка  является серединой отрезка , то ее координаты вычисляются по формуле:  Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: Скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат. Если мы приравняем правые части выражений для скалярного произведения, мы получим формулу для нахождения косинуса угла  между векторами и : Выразим длины векторов через их координаты и получим формулу, выражающую косинус угла между векторами через координаты векторов:  Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике: Пример 1 . Вектор с началом в точке A(3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки B. Пусть координаты точки  . Тогда  Отсюда:  , значит,   , значит,  Сумма координат точки В равна  Ответ: 21. Пример 2. Даны вектора и   Найдите: 1. Сумму координат вектора  2. Квадрат длины вектора 3. Скалярное произведение векторов и 4. Угол между векторами и 1. Найдем координаты векторов и . Для этого сначала найдем координаты начала и конца каждого вектора: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала: Координаты вектора  .Координаты вектора  Координаты вектора равны сумме соответствующих координат векторов и :  Сумма координат вектора равна 20Ответ: 20. 2. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, поэтому квадрат длины вектора равен  Ответ: 200. 3.Скалярное произведение векторов  и  равно сумме произведений одноименных координат. Ответ: 40. 4. Косинус угла между векторами  и  вычисляется по формуле: Отсюда  Ответ:  |