пиа. Практическая работа 34 Тема Численные методы решения нелинейных уравнений

• Название: Практическая работа 34 Тема Численные методы решения нелинейных уравнений
• Дата: 21.12.2021
• Размер: 106.16 Kb.
• Имя файла: phpWbirRN_Prakticheskaya-3-4.docx
• Тип: Практическая работа; #312267

Практическая работа № 3-4

Тема: Численные методы решения нелинейных уравнений.

Цель: Освоить численные методы, используемые при решении алгебраических и трансцендентных уравнений

Студент должен:

знать:

- способы решения алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами;

уметь:

- находить приближенное значение корней алгебраических и транс­цендентных уравнений;

- составлять алгоритмы и программы для нахождения приближен­ных решений алгебраических и трансцендентных уравнений.
Форма организации занятия – индивидуальная.
Методические указания

Под нелинейным уравнением понимается уравнение f (x) = 0, в котором функция f (x) определена, непрерывна на некотором интервале [a, b] и содержат алгебраические и трансцендентные (показательные, тригонометрические и логарифмические) выражения. Решить нелинейное уравнение  это значит найти корни уравне­ния, обращающие его в тождество. Для таких уравнений в общем случае отсутствует точное решение, и задачу решают приближенным методом.

Вычисление корней уравнения состоит из двух этапов:

1) отделение корней;

2) вычисление изолированных корней с заданной точностью.

Известно, что непрерывная монотонная функция f(x) имеет на отрезке [a, b] один и только один корень, если выполняется условие:

f (a)  f (b)< 0

и производная не меняет свой знак на отрезке [a, b].

Для отделения корней построят таблицу значений f(x) на достаточно большом отрезке и делят его на 10–20 равных частей. Если функция f(x) монотонная и имеет между некоторыми соседними точками значения разных знаков, то между этими точками имеется единственный корень.
1. Метод деления отрезка пополам.

В соответствии с этим методом вначале необходимо приблизительно определить отрезок, на котором функция f(x) меняет знак. Для этого можно использовать графический способ, заключающийся в построении графика функции на экране компьютера и приблизительного визуального определения точек пересечения графика с осью абсцисс.

При отыскании корня методом половинного деления:

1. 
   Сначала вычисляются значения функции в точках a и b - соответственно f(a) и f(b), имеющие противоположные знаки.
   
2. 
   Далее по формуле вычисляется координата центра отрезка [a, b] и находится значение функции в этой точке f(x_ср).
   
3. 
   Оно сравнивается со значениями функции на концах отрезка [a, b].
   
4. 
   Если функция меняет знак на отрезке [a, x_ср], то весь отрезок [a, b] усекается до его левой части, то есть x_ср становится правой границей отрезка (b).
   
5. 
   Аналогично, если функция меняет знак на отрезке [x_ср, b], отрезок [a, b] усекается до правой части.
   
6. 
   Эти операции повторяются до тех пор, пока разница между соседними значениями x не станет меньше или равной выбранной точности .
   

Таким образом, мы можем делить отрезок пополам и переходить к одной из его половин, пока длина отрезка не станет достаточно малой, а потом в качестве корня взять середину отрезка.

Пример №1У точнить корень уравнения на отрезке [1;2] с точностью

• 
  Сначала вычисляются значения функции в точках a и b - соответственно f(a) и f(b), имеющие противоположные знаки
  

Далее по формуле вычисляется координата центра отрезка [a, b] и находится значение функции в этой точке f(xср).


Оно сравнивается со значениями функции на концах отрезка [a, b].

Функция меняет знак на отрезке [1,5;2]

Отрезок [1;2] усекается до его правой части [1,5;2]

Проверяется точность |2-1,5|=0,5>0,1

Эти операции повторяются до тех пор, пока разница между соседними значениями x не станет меньше или равной выбранной точности


Перешли к [1,5;1,75] Точность |1,75-1,5| = 0,25



Перешли к[1,625;1,75] Точность |1,625-1,75|=0,125





Перешли к [1,6875;1,75] Точность |1,6875-1,75|=0,0625<0,1

Ответ: х=1,6875
2. Метод хорд для решения уравнений

 В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения х₁, х₂, ..., х_n точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Сначала запишем уравнение хорды AB:

.

Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х₁, y = 0) получим уравнение:



Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 1, а) и 2) f(a) < 0 (Рисунок 1, б).

  

Рисунок 1, а, б.

 В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: x₀ = b;



образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем



Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: x₀ = а;



образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем

1. 
   неподвижен тот конец, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х);(определяется выпуклость)
   
2. 
   последовательные приближения x_n лежат по ту сторону корня , где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f'' (х).
   

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что

| x_i - x_{i - 1}|<  ,

где  - заданная предельная абсолютная погрешность.

Пример №2 .Найти положительный корень уравнения методом хорд

x³ - 0,2 x² - 0,2 х - 1,2 = 0

с точностью  = 0,01.

После отделения корней получили интервал[1;1,5]

f (1) = -0,6 < 0 иf (1,5) = 1,425 > 0, то 1<  < 1,5.

Так как f'' (x) = 6 x - 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся следующей формулой для решения поставленной задачи:

= 1,15;

x₁- x₀| = 0,15 >  ,

следовательно, продолжаем вычисления;

f (х₁) = -0,173;

= 1,190;

|x₂- x₁ = 0,04 >  ,

f (х₂) = -0,036;

= 1,198;

x₃- x₂ = 0,008 <  .

Таким образом, можно принять  = 1,198 с точностью  = 0,01.

Заметим, что точный корень уравнения  = 1,2.

3. Метод касательных для решения уравнений (для уточнения корня)



Вновь рассмотрим ситуацию отделенного на отрезке корня уравнения. Будем предполагать, что функция имеет разные знаки на концах этого отрезка, а ее первые две производные на этом отрезке знака не меняют.

В случае метода касательных уточнения корня также строится последовательность отрезков и точек , сходящихся к корню.

Пусть = . Выберем тот край отрезка , на котором функция имеет тот же знак, что и ее вторая производная.( Для примера b) Проведем через точку касательную к графику функции . Точку пересечения этой касательной с осью абсцисс и примем за точку х₁. Вот соответствующая формула для рассматриваемого случая:



Важен принцип: касательная проводится к графику в той точке, где знак значения функции совпадает со знаком ее второй производной. После этого из двух отрезков и выберем тот, на концах которого функция имеет разные знаки и этот отрезок примем за . Затем найдем точку по отрезку точно так же.

Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие | f(x_i)| < ε , или условие близости 2^х последовательных приближений | x_i - x_{i - 1} | < ε .

Итерационный процесс сходится если

f(х₀)* f'' (х₀)> 0.
Метод касательных обладает относительно большой скоростью сходимости при выполнении следующих условий:

1. 
   Начальное приближение x₀ выбрано достаточно близко к корню уравнения(x)=0 .
   
2. 
   Вторая производная  "(x) не принимает больших значений.
   

Первая производная  ' (x) не слишком близка к нулю
Вопросы

1. 
   Что значит решить уравнение?
   
2. 
   Какое число называется корнем уравнения?
   
3. 
   Какие уравнения называются равносильными?
   
4. 
   Какие существуют методы решения нелинейных уравнений с одной переменной?
   
5. 
   Из каких этапов состоит решение нелинейного уравнения?
   
6. 
   В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнения?
   
7. 
   Как аналитически проверить, что корень уравнения f(x)=0 находится на интервале (a;b)?
   
8. 
   Как произвести отделение корней нелинейного уравнения?
   
9. 
   В чем сущность метода дихотомии (деления пополам). Графическая интерпретация метода.
   
10. 
    В чем сущность метода хорд. Графическая интерпретация метода.
    
11. 
    В чем сущность метода касательных. Графическая интерпретация метода.
    
12. 
    Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении уравнения f(x)=0 методом хорд, касательных, секущих?
    

Задания для практического занятия №3.

1. Задание:

1. 
   Изучить численные методы решения нелинейных уравнений.
   
2. 
   Ответить на вопросы по данной теме.
   
3. 
   Составить блок схему алгоритма для решения уравнения (для каждого метода0
   
4. 
   Решить уравнение.
   
5. 
   Получить результаты вычислений.
   
6. 
   Составить отчет о проделанной работе
   

Содержание отчета.

1. 
   Постановка задачи, исходные данные.
   
2. 
   Краткое описание метода решения нелинейных уравнений.
   
3. 
   Результаты вычислений.
   
4. 
   Ответ.
   

2. Уточнить корень уравнения, приведенного в таблице с точностью до 0,01 на отрезке:

а) методом деления пополам;

б) методом хорд;

в) методом касательных.

№ Вар-та	Уравнение.	отрезок	№ Вар-та	Уравнение.	отрезок
1	2х2-3х-6=0	[2;3]	16	3х2-4х-3=0	[1;2]
2	4х2-х-2=0	[0;1]	17	2х2-2х-5=0	[2;3]
3	3х2+5х-5=0	[0;1]	18	2х2-2х-3=0	[1;2]
4	х2+2х-5=0	[1;2]	19	х2-3х-2=0	[3;4]
5	х2-2х-2=0	[2;3]	20	х2-5х+2=0	[4;5]
6	2х2-3х-3=0	[2;3]	21	х2-2х-4=0	[3;4]
7	2х2-5х+1=0	[2;3]	22	х2-3х-2=0	[3;4]
8	3х2+4х-2=0	[0;1]	23	4х2-2х-3=0	[1;2]
9	3х2-2х-2=0	[1;2]	24	5х2-4х-3=0	[1;2]
10	2х2-х-3=0	[1;2]	25	2х2-4х-3=0	[2;3]
11	2х2+3х-3=0	[0;1]	26	3х2+3х-2=0	[0;1]
12	4х2+3х-3=0	[0;1]	27	3х2-2х-4=0	[1;2]
13	4х2-5х-3=0	[1;2]	28	3х2+2х-4=0	[0;1]
14	3х2-2х-3=0	[1;2]	29	3х2-5х-4=0	[2;3]
15	2х2-4х-3=0	[2;3]	30

2. Уточнить корень уравнения, приведенного в таблице с точностью до 0,01 на отрезке:

а) методом деления пополам;

б) методом хорд;

в) методом касательных.

Литература:

1. 
   Лапчик М.П. Элементы численных методов: учебник для студ. сред. проф. образования М.:Издательский центр» Академия 2007
   
2. 
   Бахвалов Н.С. , Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – С.35-75.
   
3. 
   Плотников А.Д. Численные методы Минск ООО «Новое знание» 2007
   
4. 
   Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.:ил.