Практическая информатика. Практическая работа № 9. Практическая работа 9 Матричный метод решения

• Название: Практическая работа 9 Матричный метод решения
• Анкор: Практическая информатика
• Дата: 18.04.2021
• Размер: 23.45 Kb.
• Имя файла: Практическая работа № 9.docx
• Тип: Практическая работа; #195912

Практическая работа № 9

Матричный метод решения

Задание 1.Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B:

B^T=(-4,17,3)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=2•(1•3-(-1•(-1)))-3•(-7•3-(-1•1))+1•(-7•(-1)-1•1)=70

Итак, определитель 70 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

=

Тогда:

=

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆_1,1=(1•3-(-1•(-1)))=2
∆_1,2=-(-7•3-1•(-1))=20
∆_1,3=(-7•(-1)-1•1)=6
∆_2,1=-(3•3-(-1•1))=-10
∆_2,2=(2•3-1•1)=5
∆_2,3=-(2•(-1)-1•3)=5
∆_3,1=(3•(-1)-1•1)=-4
∆_3,2=-(2•(-1)-(-7•1))=-5
∆_3,3=(2•1-(-7•3))=23

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X

X=A^-1 • B


X^T=(5,2,0)

x₁=³⁵⁰ / ₇₀=5

x₂=¹⁴⁰ / ₇₀=2

x₃=⁰ / ₇₀=0

Проверка.

2•5-7•2+1•0=-4

3•5+1•2-1•0=17

1•5-1•2+3•0=3

Задание 2.

Вектор B:

B^T=(0,-21,-4)

Найдем главный определитель.

∆=1•(-5•1-1•(-6))-3•(-4•1-1•(-2))+3•(-4•(-6)-(-5•(-2)))=49

Итак, определитель 49 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆_1,1=(-5•1-(-6•1))=1
∆_1,2=-(-4•1-(-2•1))=2
∆_1,3=(-4•(-6)-(-2•(-5)))=14
∆_2,1=-(3•1-(-6•3))=-21
∆_2,2=(1•1-(-2•3))=7
∆_2,3=-(1•(-6)-(-2•3))=0
∆_3,1=(3•1-(-5•3))=18
∆_3,2=-(1•1-(-4•3))=-13
∆_3,3=(1•(-5)-(-4•3))=7

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X

X=A^-1 • B
=
X^T=(-2,-3,5)

x₁=^-98 / ₄₉=-2

x₂=^-147 / ₄₉=-3

x₃=²⁴⁵ / ₄₉=5

Проверка.

1•(-2)-4•(-3)-2•5=0

3•(-2)-5•(-3)-6•5=-21

3•(-2)+1•(-3)+1•5=-4
Задание 3.

Вектор B:

B^T=(1,-7,0)

Найдем главный определитель.

∆=1•(-3•(-2)-1•(-1))-2•(2•(-2)-1•(-3))+4•(2•(-1)-(-3•(-3)))=-35

Итак, определитель -35 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆_1,1=(-3•(-2)-(-1•1))=7
∆_1,2=-(2•(-2)-(-3•1))=1
∆_1,3=(2•(-1)-(-3•(-3)))=-11
∆_2,1=-(2•(-2)-(-1•4))=0
∆_2,2=(1•(-2)-(-3•4))=10
∆_2,3=-(1•(-1)-(-3•2))=-5
∆_3,1=(2•1-(-3•4))=14
∆_3,2=-(1•1-2•4)=7
∆_3,3=(1•(-3)-2•2)=-7

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X

X=A^-1 • B


X^T=(0,2,1)

x₁=⁰ / _(-35)=0

x₂=^-70 / _(-35)=2

x₃=^-35 / _(-35)=1

Проверка.

1•0+2•2-3•1=1

2•0-3•2-1•1=-7

4•0+1•2-2•1=0