Информатика курсовая. Программа решения дифуравнения первого порядка

• Название: Программа решения дифуравнения первого порядка
• Анкор: Информатика курсовая
• Дата: 08.09.2022
• Размер: 4.2 Mb.
• Имя файла: Poyasnitelnaya_zapiska (1).docx
• Тип: Программа; #667820

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Факультет горного дела и экологии

Кафедра «Горные машины»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»


Тема: Программа решения дифуравнения первого порядка
Руководитель: Евдокимчева Н.Н.

Исполнитель: студент группы 10208119

Сотников М.Ю.


Минск 2020

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет


Кафедра «Горные машины»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине «Информатика»

Тема: Программа решения системы дифуравнения первого порядка

Руководитель : Евдокимчева Н.Н.

Исполнитель: студент группы 10208119

Сотников М.Ю.
Минск 2020

Содержание

Введение…………………………………………………....................……………….

1. Постановка задачи……..................…………………………………………...….....6

2. Математическая формулировка задачи………………………..…...........……7

3. Алгоритмизация задачи………………………………………....................…...….9

4. Идентификаторы программы……………………………….…………................11

5. Блок – схема алгоритма………………………………………………....................12

6. Текст исходной программы…………………………………………....................23

7. Результаты работы программы……..........……………………………...............27

8. Анализ результатов……………………………………………………....................29

9. Инструкция по работе с программой…………………………………..............30

Заключение…………………………………………………………….........................31

Список использованных источников………………………………...................32

Введение

В курсовой работе в соответствии с заданием решается задача решения дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера и Рунге-Кутта.
В данной пояснительной записке приводится описание последовательности шагов по составлению программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal 7.0 и результаты применения этой программы. Рассматриваются вопросы математической формулировки и алгоритмизации задачи, разработки блок-схемы алгоритма ее решения, составления исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе.
Выбор вычисления, обращение к справке по программе и выход из программы обеспечивается с помощью специального меню. Ввод исходных данных и вывод результатов поиска минимума функции выполняется в отдельном окне.

1. Постановка задачи

Ставится задача составить программу решения системы дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера и Рунге-Кутта.

Таким образом, программа должна обеспечивать возможность:

• 
  быстрой смены функции путем замены аналитического выражения ее правой части в подпрограмме – функции;
  
• 
  вывода результатов вычисления на дисплей в удобном для восприятия виде с отображением названия выбранного численного метода.
  

Кроме того, целесообразно предоставить пользователю возможность получить краткую справку по программе, а также давать подсказки по ходу работы с программой.

В результате сформулируем следующую задачу по созданию программы:

• 
  значения функции должны вычисляться в подпрограмме – функции;
  
• 
  программа после загрузки должна выводить на дисплей исходное окно-заставку, в которой отображаются общие сведения об авторе и подсказку для пользователя о последующих действиях;
  
• 
  после выполнения указанной в строке подсказки процедуры перехода должно выводиться вертикальное меню с пунктами: «Справка», «Решение» и «Выход»;
  
• 
  при выборе в меню пункта «Справка» должна выводиться краткая, справка о назначении программы и порядке работы с ней;
  
• 
  после выбора в меню пункта «Решение» должно открываться отдельное окно, в котором будут выводиться результаты решения дифференциального уравнения;
  
• 
  при выборе пункта меню «Выход» программы должна завершать работу.
  

2. Математическая формулировка задач
2.1 Метод Эйлера.

Метод Эйлера относится к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближённых значений искомой функции. Пусть дано дифференциальное уравнение Y'=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀.

Выбрав достаточно малый шаг h, рассмотрим систему равноотстоящих точек x_i=x₀+ih (i=0,1,2,…).

В методе Эйлера приближённые значения y(x_i) y_i вычисляются последовательно по формулам

y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i) (i=1,2,3…). (1)

При этом искомая интегральная кривая y=y(x), проходящая через точку M₀(x₀,y₀), заменяется ломанной M₀M₁M₂K с вершинами M_i(x_i,y_i) (i=0,1,2,3,K); каждое звено M_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения Y'=f(x,y), которая проходит через точку M_i.

2.2 Метод Рунге – Кутты.

При решении методом Рунге – Кутты дифференциального уравнения Y'=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀ через y_i обозначают приближённые значения искомого решения в точке x_i и вычисление приближённого значения y _i+1 в следующей точке x _i+1= x_i+h производится по формулам:

y _i+1= y _i+ y_i, (2)

y_i=1/6(K⁽ⁱ⁾₁+2K⁽ⁱ⁾₂+2K⁽ⁱ⁾₃+K⁽ⁱ⁾₄), где (3)

K⁽ⁱ⁾₁= h*f(x_i,y_i), (4)

K⁽ⁱ⁾₂=h*f(x _i+h/2, y _i+ K⁽ⁱ⁾₁/2), (5)

K⁽ⁱ⁾₃= h*f(x _i+h/2, y _i+ K⁽ⁱ⁾₂/2), (6)

K⁽ⁱ⁾₄= h*f(x _i+h, y _i+ K⁽ⁱ⁾₃). (7)
Порядок выполнения вычислений по методу Рунге – Кутты:

1. 
   Выбираются x и y.
   
2. 
   Вычисляются f(x₀,y₀). Определяются K⁽⁰⁾₁=h*f(x₀,y₀).
   
3. 
   Определяются x ₀+h/2 , y ₀+ K⁽¹⁾₁/2.
   
4. 
   Вычисляются f(x ₀+h/2, y ₀+ K⁽⁰⁾₁/2) и K⁽⁰⁾₂=h*f(x ₀+h/2, y ₀+ K⁽⁰⁾₁/2).
   
5. 
   Принимаются x ₀+h/2 ,y ₀+ K⁽⁰⁾₂/2.
   
6. 
   Вычисляются f(x ₀+h/2, y ₀+ K⁽⁰⁾₂/2) , K⁽⁰⁾₃=h*f(x ₀+h/2, y ₀+ K⁽⁰⁾₂/2).
   
7. 
   Определяются x ₀+h , y ₀+ K⁽⁰⁾₃.
   
8. 
   Вычисляются f(x ₀+h, y ₀+ K⁽⁰⁾₃/2) ,K⁽⁰⁾₄=h*f(x ₀+h, y ₀+ K⁽⁰⁾₃).
   
9. 
   Суммируются K⁽⁰⁾₁+2K⁽⁰⁾₂+2K⁽⁰⁾₃+K⁽⁰⁾₄ , делятся на шесть и в результате получаются y₀.
   
10. 
    Вычисляются y ₁= y ₀+ y₀.
    

Затем все вычисления продолжаются в том же порядке, принимая за начальную точку (x₁, y₁). Заметим, что шаг расчёта можно менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага h рекомендуется вычислять дробь

=I(K⁽¹⁾₂ - K⁽¹⁾₃)/(K⁽¹⁾₁ - K⁽¹⁾₂)I.

Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг h следует уменьшить.

Метод Рунге – Кутты имеет порядок точности h на всём отрезке [x₀, X]. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью двойного просчёта по формуле

,

где - значение точного решения уравнения в точке , а и - приближённые значения, полученные с шагом h/2 и h.

При решении на ЭВМ методом Рунге – Кутта с автоматическим выбором шага обычно в каждой точке x_i делают двойной просчёт – сначала с шагом h, затем с шагом h/2. Если полученные при этом значения y_i различаются в пределах допустимой точности, то шаг h для следующей точки x _i+1 удваивают, в противном случае берут половинный шаг.


3. Алгоритмизация задачи
В соответствии с постановленной в разделе 1 задачей целесообразно реализовать алгоритм, использующий обращение к соответствующим подпрограммам из головной программы.

Алгоритм работы головной программы следующий:

1. 
   Скрыть курсор с использованием подпрограммы - процедуры скрытия курсора и вывести в специальном окне заставку программы, содержащую сведения об исполнителе и руководителе курсовой работы, а также подсказку для пользователя о последующих действиях, с использованием подпрограммы - процедуры заставки.
   
2. 
   Запустить подпрограмму-процедуру вертикального меню при нажатии любой клавиши, с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора.
   
3. 
   Запустить подпрограмму-процедуру справки и вывести в специальном окне справочные сведения о работе с программой при выборе пункта меню «Справка» с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
   
4. 
   Запустить подпрограмму-процедуру решения дифференциального уравнения первого порядка при выборе пункта меню «Решение» с и использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и вкл0ючения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
   
5. 
   Завершить работу программы при выборе пункта меню «Выход».
   

Алгоритм решения системы дифуравнения первого порядка методом Эйлера и методом Рунге-Кутта в подпрограмме-процедуре включает следующие шаги:

1. 
   Создать окно для вывода результатов вычисления по методу Эйлера и Рунге-Кутта
   
2. 
   Восстановить отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой-процедурой;
   
3. 
   Присвоить значения x0,y0,h,e , согласно условиям задания
   
4. 
   Используется цикл от 0 до N для вычисления по формулам (1)-(7) значений Y при X, к которому приращивается шаг 0.1 до значения X = 0.5. Так как в задании указано найти решение на интервале от 0 до 0.5, то следовательно число шагов N будет равным 5.
   
5. 
   Вывести результаты вычислений;
   
6. 
   Вывести в окне запрос о возможности выхода в главное меню программы;
   
7. 
   Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Enter» перейти к пункту 3, при нажатии «Esc» перейти в окно с меню, при нажатии любой другой клавиши игнорировать нажатия;
   

4. Идентификаторы программы

Для указания соответствия обозначений переменных в формулах математической формулировки и их идентификаторов в программе сведем их в таблицу 1:

Таблица 1

Обозначение параметров		Смысл параметра
В формулах	В программе
	X	Аргумент функции до и после приращения
	F(x)	Соответственно, значения функции от аргумента x до и после приращения
F’(xy)	fxy	Исходное значение функции
	Eps	Точность вычислений
h	h	Шаг приращения

Остальные идентификаторы являются промежуточными или служебными.
5. Блок-схема алгоритма

5 .1. Блок-схема алгоритма головной программы
5.2 Блок-схема подпрограммы–процедуры «CursorSize».


5.3 Блок-схема подпрограммы–процедуры «HiddeCursor»




5.4 Блок-схема подпрограммы–процедуры «NormCursor»



5.5 Блок-схема подпрограммы – процедуры «TextOut»



5.6 Блок-схема подпрограммы – процедуры «Fon»




5.7 Блок-схема подпрограммы – процедуры «Ramka»



5.8 Блок-схема подпрограммы – процедуры «Okno»



5.9 Блок-схема алгоритма подпрограммы–процедуры «Zastawka».


5.10 Блок-схема алгоритма подпрограммы–процедуры «Sprawka».



5.11 Блок-схема алгоритма подпрограммы–процедуры «MyMenu».


5.13 Блок-схема алгоритма подпрограммы–процедуры «wwod».

14. 
    Блок-схема алгоритма подпрограммы–процедуры «eilerrk».
    

5.15 Блок-схема подпрограммы–процедуры «Resheniye»

6. 
   Текст исходной программы
   

program eilerrkeilerrk;

uses

crt,dos;

type

mas1 = Array[1..3] of String[50];

const

menu : mas1 =(' Справка ',

' Решение ',

' Выход ');

OsnText = Yellow;

OsnFon = Blue;

OsnRamka = LightGray;

RamkaMenu = 6;

var

poz : integer;

key : Char;
i,N : integer;


Procedure CursorSize(Size: word);

var Regs: Registers;

Begin

With Regs do

begin

AH:=$01;

CH:=Hi(size);

Cl:=Lo(Size);

intr($10,Regs);

end;

end;
procedure HiddeCursor;

Begin

CursorSize($2000);

End;
Procedure NormCursor;

Begin

CursorSize($0607);

End;
procedure TextOut(x,y: byte;Text: string);

Begin

GotoXY(x,y);

write(Text);

End;
procedure Fon(FCol: byte);

Begin

TextBackGround(FCol);

ClrScr;

End;
Procedure ramka(x1,y1,x2,y2,RCol:byte);

const

a=#201; b=#205; c=#187; d=#186; e=#188; f=#200;

var

i: integer;

Begin

x2:= x2 - 1;

Textcolor(RCol);

TextOut(x1,y1,a);

for i:=x1+1 to x2-1 do write(b);

write(c);

for i:=y1+1 to y2-1 do

begin

TextOut(x1,i,d);

TextOut(x2,i,d);

end;

TextOut(x1,y2,f);

for i:=x1+1 to x2-1 do write(b);

TextOut(x2,y2,e);

TextColor(OsnText);

End;
procedure Okno(x1,y1,x2,y2,FCol,RCol,TCol :byte);

Begin

window(x1,y1,x2,y2);

Fon(FCol);

ramka(x1,y1,x2,y2,RCol);

window(x1+1,y1+1,x2-2,y2-1);

Fon(FCol);

TextColor(TCol);

GotoXY(1,1);

End;
Procedure Zastawka;

Begin

HiddeCursor;

okno(1,1,80,25,Black,Yellow,White);

TextOut(13, 1,'Министерство образования Республики Беларусь');

TextOut(13, 2,'Белорусский национальный технический университет');

TextOut(14, 7,'Программа решения дифференциального уравнения');

TextOut(29, 8,'Курсовая работа');

TextOut(25, 9,'по дисциплине "Информатика"');

TextOut(49,13,'Исполнитель : Сотников М.Ю.');

TextOut(58,14,'гр.: 10208119');

TextOut(49,16,'Руководитель: Евдокимчева Н.Н.');

TextOut(31,21,'Минск 2020');

TextColor(Yellow);

TextOut(17,23,'Для продолжения нажмите любую клавишу ... ');

ReadKey;

End;
program Spravka;

begin

HiddeCursor;

okno(1,1,80,25,OsnFon,OsnRamka,OsnText);

TextOut(32,2,'Справка');

TextOut(5,4,'Данная программа позволяет решить дифференциальное уравнение');

TextOut(2,5,'методом Эйлера и методом Рунге-Кутта.');

TextOut(5,7,'После перехода в меню выберите клавишами управления курсора необходимый');

TextOut(2,8,'пункт');

TextOut(5,9,'При выборе пункта меню Решение на экран выводится решение уравнения);

TextOut(5,10,'в заданном интервале от 0 до 0.5 с погрешностью 0.001, при шаге');

TextOut(5,11,'h=0.1 , y(0)=1. После получения результатов будет предложен выход в главное.');

TextOut(5,15,'‚меню');

TextOut(23,23,'Esc - выход в главное меню');

repeat

ch:=ReadKey;

until ch=#27;

end.

Procedure Mymenu;

var i : integer;

Begin

ramka(22,7,57,13,RamkaMenu);

TextColor(RamkaMenu);

TextOut(35,7,'[ Меню ]');

TextColor(OsnText);

for i:=1 to 3 do

begin

Gotoxy(25,i+8);

if i=poz then Textbackground(Red) else Textbackground(OsnFon);

write(Menu[i]);

end;

TextColor(OsnText);

TextBackGround(OsnFon);{}

End;
program wwod;

begin

okno(1,1,80,25,OsnFon,OsnRamka,OsnText);

TextOut(2,1,'Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и Рунге Кутта');

TextOut(15,2,'y^=y+(1+X)y^2 при h=0.1, e=0.001, y(0)=1');

end.
program eilerrk;

begin

clrscr;

read(('x':3,' Метод Эйлера , y(x)= ':20,' Метод Рунге-Кутта, y(x)= ':18));

x:=x0;

ye:=1;

yem:=1;

yr:=1;

for i := 1 to n do

begin

writeln((x:5:2,f(x):25:10,yr:25:10));

ye:=ye+h*fxy(x,ye);

k1:=h*fxy(x,yr);

k2:=h*fxy(x+h/2,yr+k1/2);

k3:=h*fxy(x+h/2,yr+k2/2);

k4:=h*fxy(x+h,yr+k3);

yr:=yr+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

x:=x+h;

end;

end.

program Resheniye;

begin

NormCursor;

repeat

repeat

wwod;

TextOut(5,22,'Enter -Получить решение; Esc - выход в глав. меню');

repeat

ch:=ReadKey;

until (ch=#13)or(ch=#8)or(ch=#27);

until (ch=#13)or(ch=#27);

if ch=#27 then

break

else

begin

end;

repeat

eilerrk;

TextOut(5,22,' Esc - выход в главное меню ');

repeat

ch:=ReadKey;

until (ch=#13)or(ch=#27)or(ch=#8);

until (ch=#27)or(ch=#8);

until ch=#27;

end.

BEGIN

TextMode(3);

zastawka;

repeat

hiddecursor;

poz:=1;

okno(1, 1,80,25,OsnFon,OsnRamka,OsnText);

Mymenu;

key:=readkey;

while key<>#13 do

begin

Case key of

#72: if poz=1 then poz:=3 else poz:=poz-1;

#80: if poz=3 then poz:=1 else poz:=poz+1;

end;

Mymenu;

key:=readkey;

end;

Case poz of

1: spravka;

2: resheniye;

3: exit;

end;

until False;{+}

END.

7. 
   Результаты работы программы
   

После запуска программы в соответствии с поставленной задачей на проектирование выводится окно заставки программы, приведенное на рисунке 2.


Рисунок 2. Окно заставки.
После нажатия любой клавиши выводится окно с меню, представленное на рисунке 3.



Рисунок 3. Окно с меню.

При выборе пункта меню «Справка» открывается соответствующее окно, в котором находится справочная информация о программе (см. рис. 4).



Рисунок 4. Окно справки.

При выборе пункта меню «Решение» открывается соответствующее окно, в котором выводятся результаты поиска (см. рис. 5,).



Рисунок 5. Вывод результатов.

8. Анализ результатов

Проведем проверку результатов вычислений программы сравнивая с результатами Excel.


Рисунок 6. Проверка результатов


Рисунок 7. Результаты расчетов методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Вывод: метод Эйлера находит решение дифференциального уравнения первого порядка и результаты удовлетворяют заданной погрешности e=0.001.

9. Инструкция по работе с программой

Файл DifUrawn.pas с исходным текстом Паскаль-программы находится по адресу E:\ 2 курс\10208119\Sotnikov.

Необходимо загрузить Turbo Pascal 7.0, сделать текущим каталог Sotnikov, открыть файл с исходной Паскаль-программой DifUrawn.pas и запустить ее на выполнение командой Run.

После вывода заставки программы нажать любую клавишу для перехода в меню и открыть окно справки. После ознакомления со справкой нажатием клавиши «Esc» возвратится в окно меню, с помощью клавиш управления курсором выбрать пункт «Решение» и ввести по запросу программы исходные данные. Затем проверить правильность введенных данных и сообщить результат программе. При необходимости повторить процедуру ввода исходных данных

Результаты поиска минимума выводятся в том же окне, где вводились исходные данные.

Нажатие клавиши «Esc» приводит к переходу в меню программы.

Завершение работы с программой реализуется выбором пункта меню “Выход”.

Заключение

В данной курсовой работе разработана и реализована средствами языка программирования Турбо-Паскаль программа решения дифуравнения первого порядка методом Эйлера и методом Рунге-Кутта.

Программа обладает дружеским интерфейсом, по запросу пользователя сообщает общие сведения по работе с программой и производит вычисления, ввод данных осуществляется с клавиатуры по запросу программы.

Список использованных источников

1. 
   Начала программирования на языке Паскаль/С.А. Абрамов – М., 1987
   
2. 
   Программирование в среде Турбо-Паскаль/Д.Б. Поляков – М., 1992
   
3. 
   Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине «Информатика» для студентов специальностей горного профиля заочной формы обучения/С.М. Петренко, И.В. Недашковская – М., 2005
   
4. 
   Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ/В.П. Дьяконов – М.: Наука, 1987
   
5. 
   Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран и паскаль/А.Е. Мудров – Томск, 1991