1-4 мат анал. Произвольное непустое множество действительных чисел. Число
 Скачать 441.07 Kb.
|
|
1) Пусть X−X− произвольное непустое множество действительных чисел. Число M=maxXM=maxX называется наибольшим (максимальным) элементом множества X,X, если M∈XM∈X и для всякого x∈Xx∈X выполняется неравенство x≤Mx≤M. Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента m=minXm=minX множества X.X. Множество XX называется ограниченным сверху, если существует действительное число aa такое, что x≤ax≤a для всех x∈X.x∈X. Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X.X. Для заданного ограниченного сверху множества XX множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества XX и обозначается символом supX.supX. Очевидно supX=maxXsupX=maxX тогда и только тогда когда supX∈X.supX∈X. Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества X.X. Последняя обозначается символом infX.infX. Множество X,X, ограниченное снизу и сверху, называется ограниченным. Пусть x⊂R.x⊂R. Число x0∈Rx0∈R называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки x0x0 содержит точку из множества X,X, отличную от x0,x0, то есть для ∀ε>0∃y∈X,y≠x0:|y−x0|<ε.∀ε>0∃y∈X,y≠x0:|y−x0|<ε. Сама точка x0x0 может принадлежать, а может и не принадлежать множеству XX.  2) Числовая последовательность – Функция вида  , заданная на множествеN натуральных чисел. Обозначается в виде {xn},  . Число x1 называется первым членом (элементом) последовательности, xn – общим или n-м членом последовательности.Задается либо формулой общего члена, либо рекуррентной формулой. Формула общего члена позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n (при помощи этой формулы можно сразу вычислить любой член последовательности). Пример:     +Рекуррентная формула определяет правило, по которому можно найти n-ый член последовательности, зная первый и (n-1)-ый члены (при таком способе для нахождения 100-го члена последовательности придётся сначала посчитать 99 предыдущих).  3)  ε - окрестность точки a – это открытый интервал (a – ε, a + ε).Сходящаяся последовательность – это последовательность, у которой существует предел . Также говорят, что последовательность сходится к a.Расходящаяся последовательность – это последовательность, не имеющая предела. 4) Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.   |