Годезия угловая засечка. Прямая геодезическая угловая засечка. Прямая геодезическая угловая засечка

• Название: Прямая геодезическая угловая засечка
• Анкор: Годезия угловая засечка
• Дата: 10.01.2022
• Размер: 161.67 Kb.
• Имя файла: Прямая геодезическая угловая засечка.docx
• Тип: Документы; #327630

Прямая геодезическая угловая засечка.

Прямая угловая засечка используется, когда на местности неудобно или невозможно измерить длины сторон, или когда дополнительная точка находится на значительном расстоянии от исходных пунктов.

Прямая геодезическая угловая засечка применяется для определения координат дополнительной точки на основании двух исходных пунктов с известными координатами (например точек А и В) и измеренных при них углов α и β вычисляют координаты третьей точки Р. Для обеспечения надежного контроля измерений и повышения точности определения положения искомого пункта на практике, как правило, применяют многократные прямые засечки не менее чем с трех исходных пунктов.

Вычисление координат определяемой точки в зависимости от условий наблюдений может быть выполнена по формуле Юнга (формула котангенсов измеренных углов) либо формулам Гаусса (формула тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений), не требуемых предварительного решения треугольников. При этом следует соблюдать правило нумерации исходных пунктов: если встать в середине линии между исходными пунктами лицом к искомому пункту Р (рис.1), то исходный пункт по левую руку будет первым, а по правую -вторым.

Нашим заданием предусмотрено решение прямой геодезической засечки с трех исходных пунктов А,В,С, (рис.1) в двух комбинациях: с использованием формул Юнга и Гаусса.



Рис.1 Схема к примеру решения прямой геодезической засечки

Исходные данные «Прямая геодезическая угловая засечка»

№	Координаты пунктов, м						Измеренные углы
5	А		В		С		β1	β2	β3	αC-D
	x	y	x	y	x	y
	4122.52	4820.13	3275.18	6175.27	4601.70	6987.92	48°05’31”	50°25’21”	123°37’37”	138°29’43”

Решение прямой геодезической засечки по измеренным углам.

Если между двумя исходными пунктами А (1) и В (2) имеется взаимная видимость и при них измерены горизонтальные углы β₁ и β₂ (см. рис.1) , то решение задачи выполняют по формулам Юнга: Формула 1.




Результаты решения задачи с использованием микрокалькулятора сведен в Таблице 1. Цифры в скобках обозначают последовательность операций.

Таблица 1

Решение прямой геодезической засечки по формуле Юнга

Назначение пунктов	Измеренные углы β1 β2 ( γ )	Абсциссы 1 пунктов 2 х, м P	ctgβ1 ctgβ2 ctgβ1+ ctgβ2	Ординаты 1 пунктов 2 у, м P
А (1)	(4) 48°05’31”	(6) 4122,52	(11) 0,8975025	(8) 4820,13
В (2)	(5) 50°25’21”	(7) 3275,18	(12) 0,8266107	(9) 6175,27
Р (3)	(10) 81°29’8”	(14) 4467,42	(13) 1,7241132	(15) 6017,02

Найдем угол γ:

γ = 180°- (β₁+β₂)

(β₁+β₂)= (48°05’31”+ 50°25’21”) = 98°30’52”

γ = 180°-98°30’52” = 81°29’8”

Подставим наш данные в формулы Юнга:




Для контроля правильности решения прямой угловой засечки по координатам точки В и полученным координатам точки Р вычисляем координаты точки А, которые должны быть равны исходным координатам:






Решение_геодезической_засечки_по_дирекционным_углам_направлений.'>Решение геодезической засечки по дирекционным углам направлений.

Если между исходными пунктами А и С¹, отсутствует взаимная видимость, то для решения прямой геодезической засечки удобно пользоваться формулами Гаусса. При этом на исходных пунктах В и С измеряют соответственно углы β₂ и β₃ , между исходными направлениями АВ и СD и направлениями на определенную точку Р.

К оординаты определяемой точки Р могут быть рассчитаны по формулам тангенсов либо котангенсов дирекционных углов направлений (с учетом обозначений на схеме рис.1) как² :

Формулы 2.

Формулы 3.
В случае, когда значение одного из дирекционных углов окажется близким к 90° или 270°, вычисление по формулам 1 становиться не удобным вследствие большой величины тангенса этого дирекционного угла; при этом выгодно пользоваться формулами котангенсов дирекционных углов, формулы 2.

Расчет координат точки Р по формулам котангенсов дирекционных углов направлений приведены ниже: Таблица 2

Решение прямой геодезической засечки по формулам Гаусса

На- зва- ние пункт- тов	α2-1 β2 α2-Р	α1’-D β3 α1’-Р	Абс- циссы 1' пунк- 2 тов Đ х, м	ctgα1’-P ctgα2-P ctgα1’-P-ctgα2-P	Орди- наты 1' пунк- 2 тов Đ y, м
С (1’)	(10)302°1’0’’	(12)138°29’43’’	(6)4601,70	(14)0,138366	(8)6987,92
В (2)	(4)50°25’21”	(5)123°37’37”	(7)3275,18	(15)7,533933	(9)6175,27
Р (3)	(11)352°26’22	(13)262°7’20’’	(18)4467.42	(16)7,672299	(17)6017,02

Дирекционный угол α_2-1 (см. 2-ой столбец табл.2) находят из решения обратной геодезической задачи по координатам пунктов 1 и 2.

tgr_2-1 =

r_2-1=57°59’0’’ ; α_2-1=302°1’0’’

Тогда α_2-р = α_2-1 + β₂ = 302°1’1’’+50°25’21’’=352°26’21’’

α_1’-p = α_1’-D +β₃=138°29’43’’+123°37’37’’= 262° 7’ 20”
Подставим полученные данные в формулу 3.




Оценка точности прямой геодезической засечки.

Среднюю квадратическую погрешность положения искомого пункта Р, определенного по двум исходным пунктам, находят по формуле

М_р = , Формула 4.

где - средняя квадратическая погрешность измерения угла (в рассматриваемом примере γ – угол при определяемой точке Р; =206265’’; d₁ и d₂ – расстояние от исходных пунктов до точки Р.

I комбинация (пункты 1 и 2);

=

γ=180°-(β₁-β₂)=180°-(48°05’31’’+50°25’21’’)=81°29’8’’;

d_1-р= =

= 1245,597747 м,

d_2-р=

= 1202,698 м.

Тогда



II комбинация (пункты 1 и 2)

=

здесь γ’=α_p-1’-α_p-2=82°7’20”-172°26’21”=269°40’59”

d_1’-р= =

= 980.141789947м;

d_2-р=1202.698 м.



Общая средняя квадратическая погрешность определения положения пунктов Р:



Расхождение в значениях абсцисс и ординат определяемого пункта Р, полученных из решений по двум комбинациям, должны удовлетворять условию:

Формула 5.

где

r м , т.е. условие удовлетворяется.

Тогда за окончательные значения координат пункта Р принимают средние их значения и двух решений:

x_ср = 4467,42 м; y_ср=6017,02 м.

Квадратическая погрешность среднего положения пункта Р, полученного из двух решений: М_ср= 0,01 м.

Формула Юнга и Гаусса для решения прямой угловой геодезической засечки находят широкое применение при решении как отдельных треугольников, геодезических четырехугольников, центральных систем и т.п. Недостатком пользования этими формулами является то обстоятельство, что они не дают возможности определять расстояния между пунктами; значения последних при оценке точности засечки приходится определять решением обратных геодезических задач.
Обратная геодезическая засечка (задача Потенота).

Сущность обратной геодезической засечки состоит в определении координат дополнительной точки P путем измерения на этой точке углов между направлениями как минимум на три исходных пункта с известными координатами. На практике для получения надежного контроля и повышения точности определения координат искомой точки используют многократную обратную засечку не менее чем по четырем исходным пунктам (рис. 2). В этом случаи решение обратной засечки выполняют независимо по двум комбинациям исходных пунктов (напр., пункты 1,2,3 и 1,3,4).

Следует помнить, что при решение обратной засечки исходные пункты нумеруют по часовой стрелке, считая наблюдателя (точка P) центром.

Из многочисленных способов и приемов решения задачи Потенота заданием предусмотрено решение обратной геодезической засечки по четырем исходным пунктам³ способом Деламбра. Идея этого способа состоит в приведение решения обратной засечки к решению прямых засечек по формулам Гаусса. Для этого необходимо по имеющемся исходным данным найти

Рис.2. Схема обратной геодезической

засечки по четырем пунктам

дирекционные углы направлений с исходных пунктов на определяемую точку.

Исходные данные «Обратной геодезической засечки Потенота»

№	Измеренные углы				Координаты пунктов, м
5	β1	β2	β3	1			2		3		4
				x		y	x	y	x	y	x	y
	59°56’02”	97°42’15”	143°09’24”	4038,79		7179,47	3338,21	7954,73	2701,21	8016,76	2102,81	7545,49

γ = 180°- (59°56’02” +97°42’15”) =180°- 150° 39’ 17” =29° 20’ 43”

Решение задачи способом Деламбра выполняют в следующей последовательности. 

1.Вычисляют дирекционный угол направления с исходного пункта 1 на определяемую точку P по формуле:

Формула 6.




1.1 Подставим наши данные в Формулу 6:

tgα_1-p =

= .

r _1-p= , откуда r_1-p=arctg , r_1-p=6°35′42″,

r= α -180°, α_1-p=-6°35’42”-180°=186°35’42”.

2. Определяют дирекционные углы направлений с других исходных пунктов (2,3,4):

α_2-р=α_1-р+β_1; α_3-р=α_1-р+β₂; α_4-р=α_1-р+β_3.

2.2 Подставим полученные данные:

α_2-р = 186°35’42” + 59°56’02’’; α_2-р = 246°31’44’’ .

α_3-р = 186°35’42” + 97°42’15’’; α_3-р = 284°17’57” .

α_4-р = 186°35’42” + 143°09’24’’; α_4-р = 329°45’6” .

3. Используя формулы тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений с исходных пунктов на определенную точку P (формулы Гаусса), вычисляют координаты точки P в двух комбинациях. Первое решение получают при использование дирекционных углов α_1-p и α_2-p; для второго решения используют дирекционные углы α_3-p и α_4-p. Второе решение является контрольным и независимым от первого, так как угол β₃, участвующий в определении дирекционного угла α_4-p, не использовался при вычислении угла α_1-p по формуле Деламбра.

I комбинация:





=7053.21868605



II комбинация:









Решение обратной геодезической засечки

с использованием формулы Деламбра

Таблица 3

Формулы	Значения	Формулы	Значения	Формулы	Значения
(1) y1	7179.47	(2) x1	4038.79	Контроль
(3) y2	7954.73	(4) x2	3338.21	α1-p	186°35’42’’
(5) y3	8016.76	(6) x3	2701.21	β2	97°42’15’’
(7) y4	7545.49	(8) x4	2102.81	α3-p	284°17’57”
(9) y2 - y1	775.26	(11) x2 - x1	-700.58	β3	143°09’24’’
(10) y1 - y3	-837.02	(12) x1 - x3	1337.58	α4-p	329°45’6”
(13) β1	59°56’02’’	(14) β2	97°42’15’’	tgα3-p	-3.923394707
(15) ctgβ1	0.5788897709	(16) ctgβ2	-0.135279357	tgα4-p	-0.583143782
(17) (числ.)	-74,9783888	(18) (знам.)	-648,5355580	tgα3-p- tgα4-p	-3.340251
(19) tgα1-p	0.11561183945	(20) α1-p	186°35’42”		2946.767372
(22) tgα2-p	2.303017321	(21) α2-p	246°31’44’’	xp - x3	245.552076
(23)tgα1-p- tgα2-p	-2.1874054816	(24)	2946.762076		7053.218651
(25)xp - x1	-1092.02792388	(26) xp – x2	-391.44792388	xp - x4	843.952076
(27)	7053.218686	(28)	7053.341505		7053.341506
Среднее значение координат: xср=2946.765 м; yср=7053.34 м;

Оценка точности обратной геодезической засечки.

Рис.3 Схема к оценке точности обратной

геодезической засечки.

Среднюю квадратическую погрешность определения положения точки Р по трем исходным пунктам можно найти по формуле (для I комбинации пунктов 1, 2, 3):

Формула 7.

где т_β-средняя квадратическая погрешность измерения утла (в нашем случае т_β=2"; ρ” = 206265". Остальные буквенные обозначения угловых и линейных величин приведены на схеме рис. 3 (в скобках даны обозначения величин для II комбинации пунктов 2, 3,4).

Входящие в формулу 7 величины углов и длин линий находят из решения обратных геодезических задач по координатам пунктов. Эти величины могут быть определены по плану без ущерба для точности оценки.

I комбинация (пункты 1,2,3):









tgα_1-2= r= ЮВ:47°53’49”; α_1-2=360°-47°53’49”=312°6’11”

α_1-p= 186°35’42”; φ₁= α_1-р - α_1-2=54°29’30”;

tgr_3-2= r_3-2= СЗ: 32°2’44”; α_3-2=360°-32°2’44”=327°57’16”

α_3-p= 284°17’57”; φ₂= α_3-2 - α_3-р=43°39’19”;



II комбинация (пункты 2,3,4):

d= м; d₁= м; d₂=



tgr_2-3= r_2-3=ЮВ:5°33’43”; α_2-3=180°- 5°33’43”=174°26’17”.

α_2-p=246°31’44’’; φ₂= α_2-р - α_2-3=72°5’27”;

tgr_4-3= r_4-3=СВ: 38°13’20”; α_4-3=38°13’20”;

α_4-p=329°45’6”; φ₂= α_4-3 +360° - α_4-р=68°28’14”



Общая средняя квадратическая погрешность определения положения пункта Р:



Расхождение в значениях координат определяемого пункта Р, полученных из решений по двум комбинациям, должны удовлетворять условию



где

м , т.е. условие удовлетворяется.

За окончательные значения координат пункта Р принимают среднее их значения из двух решений:

x_ср=2946.765 м; y_ср=7053.280 м.

Квадратическая погрешность среднего положения пункта Р, полученного из двух решений:



Определение обратной засечкой двух точек по двум исходным пунктам (задача Ганзена).

Рис. 4. Схема обратной засечки двух

точек по двум исходным пунктам

Данный способ позволяет определить положение двух дополнительных точек Р и Q при прямой видимости с каждой из них на два исходных пункта А и В и взаимной видимости между ними.

Такая задача часто возникает при сгущении городских спутниковых сетей, когда не возможно установить спутниковый приемник на центрах пунктов, закрепленных стенными знаками, либо при наличии вблизи пунктов экранирующих препятствий и отражающих поверхность. В таких случаях спутниковый приемник устанавливают над вспомогательным рабочим центром.

На определяемых точках Р и Q измеряют углы β₁, β_2, β₃, и β₄, образованные направлениями на исходные пункты А и В и соответственно на точки Р и Q⁴. 

Заданием предусмотрено решение задачи определение обратной засечкой координат двух дополнительных точек по двум сходным пунктам способом условных координат. Решение задачи сводится к вычислению координат исходных пунктов А и В и дирекционных углов сторон фигуры в условных координатах, а также определению вспомогательных углов φ₁, φ₂, φ₃ и φ₄ и вычислению координат определяемых точек Р и Q в истинной системе координат по формулам Юнга для прямой геодезической засечки.

Исходные данные «Определение обратной засечкой двух точек по двум исходным пунктам (задача Ганзена)».

Вариант	Координаты пунктов, м					Измеренные углы				Изме ренная длинна dPQ, м
	A(I)		B(I)			β1	β2	β3	β4
	x	y		x	y
5	4810,08	6308,21		4753,62	6749,47	58°52’05”	100°04’44”	37°57’43”	100°37’48”		325,85

Последовательность решения задачи Ганзена рассмотрена ниже на конкретном примере; данные представлены в таблице 4. Таблица 4

Координаты исходных пунктов, м		Измеренные углы на точках		Измеренная длина стороны PQ dPQ, м
A(I)	B(I)	P	Q
x y	x y	β1 β2	β3 β4
4810,08	4753,62	58°52’05”	37°57’43”	325.85
6308,21	6749,47	100°04’44”	100°37’48”

1. Для определения вспомогательных углов φ₁ φ₂ φ₃ и φ₄вводят условную систему координат⁵: точку Р принимают за начало условных координат х’,  у’ , направление PQ - за положительное направление оси ординат; длину стороны РQ условно принимают равной 1000,0 м. Тогда условные координаты точек P и Q будут:



2.  Из треугольников PAQ и PBQ по формулам Юнга (формулам котангенсов измеренных углов) находят условные координаты точек A ( ) и В ( ):





=

=







3. Решением обратной геодезической задачи по исходным координатам пунктов А и В определяют условный дирекционный угол стороны АВ исходя из выражения:

9.550323579065841;



4.  Далее вычисляют дирекционные углы направлений с исходных пунктов на определяемые точки, учитывая, что условный дирекционный угол направления PQ равен









5. Используя полученные условные   дирекционные углы, вычисляют вспомогательные углы φ_1, φ_2, φ_3, и φ_4, образованные направлениями с исходных пунктов А и В на определяемые точки Р и Q:









6. Из треугольников АВР и ABQ, используя вспомогательные углы φ_1, φ_2, φ_3, и φ_4, по формулам Юнга вычисляют координаты определяемых точек Р и Q:




= 4510.72 м;



= 6291.53 м.





= 4435,935 м;



= 6608,7м.

Контролем правильности измерений и вычислений обратной засечки по двум пунктам является сравнение длины стороны PQ, вычисленной по координатам определяемых точек P и Q, с непосредственно измеренной длиной. Расхождение , не должно превышать допусков, установленных инструктивными документами для соответствующего вида геодезических работ.

В нашем случае, расчетное значение длины PQ будет:

= 325,8708 м.

-0,020841342

Тогда , что не превышает допустимой относительной погрешности измерения длин сторон полигонометрии 1–го разряда (1:10000).
Передача координат с вершины знака на землю.

1^ См. рис.1, страница 1

2^ См. рис.1, стр.1

3^ См. рис.2

4^ См. рис.4. Схема обратной засечки двух точек по двум исходным пунктам

5^ См. рис.4. Схема обратной засечки двух точек по двум исходным пунктам