Стол. Презентация 1.3.1 Уравнения 1 степени, системы и совокупности 3.. Развитие понятия о числе, функция, ее свойства Тема 1 Уравнения первой степени с одной переменной, системы и совокупности уравнений
 Скачать 0.58 Mb.
|
Раздел 1. Развитие понятия о числе, функция, ее свойстваТема 1.3.1 «Уравнения первой степени с одной переменной, системы и совокупности уравнений »В результате изучения лекции студент должен знать: 1. Понятие уравнения, уравнения 1 степени, тождества, системы уравнений, совокупности уравнений. В результате изучения лекции студент должен уметь: Решать уравнения, системы уравнений, совокупности уравнений первой степени. Ставицкая Е.А. преподаватель Пермского филиала Финуниверситета Два числа или алгебраических выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство. Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством. Уравнение - это два алгебраических выражения, соединенных знаком равенства (равенство), содержащих неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными. Пример: a+1=1+a Пример: 2x+y=7x-3 Левая часть Правая часть = Решить уравнение (найти корни уравнения) – найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство (тождество), или установить, что таких значений нет.Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений. Пример: 3x+7=13 Пример: 2x-5=11 и 7x+6=62 X=2 3·2+7=13 13=13 Корень уравнения Равносильны, корень x=8 Пример: x+2=x+5 и 2x+7=2x Равносильны, т.к. не имеют решения 1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному. 2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить. 3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. 2х – 1 = 7 | +5 корень х = 4 2х – 1 + 5 = 7 + 5 2х + 4 = 12 корень х = 4 9х + 5х = 18 + 5х корень х = 2 9х = 18 корень х = 2 7х – 11 = 3 корень х = 2 7х = 3 + 11 7х = 14 корень х = 2 4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному. 5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)). 6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю). 2х - 15 = 10 – 3х корень х = 5 | ·3 3(2х – 15) = 3(10 – 3х) 6х – 45 =30 – 9х корень х = 5 – 3х + 7 = – 8 корень х = 5 3х - 7 = 8 корень х = 5 12х - 3= 6x-33 корень х = -5 4х - 1 = 2x-11 корень х = -5 | :3 7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробных коэффициентов = НОК= 14 | ·14 = () корень х = 10 ·14 = ·14 = 32x+2 корень х = 10 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИЛинейное уравнение с одной переменной – это уравнение вида ax=b, где a и b - числа, x - переменная. Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Пример: 2х + 3 = 7 – 0,5х ; 0,3х = 0. Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид , где произвольные числа, х – неизвестное, называется уравнением первой степени с одним неизвестным (или линейным уравнением с одним неизвестным). Свойства 3;6 Если a≠0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x =- . Если a=0; b ≠ 0, то линейное уравнение решений не имеет. Если a=0; b = 0, то, любое x является решением линейного уравнения, т.е. уравнение имеет бесконечное множество решений. Алгоритм нахождения корней уравнения первой степени с одной переменной
х = 7 Самостоятельная работа Пример: Система уравнений представляет собой несколько уравнений, расположенных друг под другом, объединенных слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решением каждого уравнения системы. Системы уравнений подразделяются по числу уравнений, входящих в систему и количеству переменных. Решением системы уравнений с одной переменной являются значения переменной, обращающее все уравнения в верные числовые равенства. ,корень уравнения x=1,6 ,корень уравнения x= Система уравнений не имеет решений, т.к. корень первого уравнения x=1,6 не является корнем второго уравнения , а корень второго уравнения x= - корнем первого уравнения. Система двух уравнений первой степени с одной переменной Решение систем уравнений первой степениОтвет: Ответ: Метод подстановки В каком-либо уравнении выражаем одну неизвестную через другую и подставляем в другое уравнение с целью исключения одной неизвестной. Методом сложения В результате умножения одного из уравнений системы на число и прибавления ко второму уравнению, получается равносильная система. Метод используют с целью, чтобы в результате сложения одна из неизвестных исчезла или было получено более простое уравнение. Основные методы решения системы уравнений первой степени с двумя переменными Метод введения новой переменной Если уравнения системы содержат одинаковые выражения, их заменяют новыми переменными. Замену производят в двух уравнениях сразу или решают вначале отдельно заменой одно уравнение системы (вводя одну неизвестную), а затем возвращаются к решению системы. Основные методы решения системы уравнений первой степени с двумя переменными Решить систему уравнений 2 3 ——— = а, ——— = b. х – 3у 2х + у 1. Введем новую переменную 2. Решим систему В результате, получим а = 1, b = 1. 3. Заменяем а и b на полученные значения и решаем систему: Ответ: х = 11/7, у = –1/7 Решить систему уравнений первой степени с двумя переменными2. 1. Ответ: ( ; ) Ответ: ( ; ) 3. Ответ: ( ; ), (-2;-3) 4. Ответ: (4 ; 1) Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство. Решением совокупности уравнений с одной переменной является значения переменной, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство. Пример: Совокупности уравнений подразделяются по числу уравнений, входящих в систему и количеству переменных. Совокупность двух уравнений первой степени с одной переменной ,корень уравнения x=1,6 ,корень уравнения x= Совокупность уравнений имеет 2 решения: x=1,6 и x= Решение совокупности уравнений первой степениОтвет: «Прежде, чем думать о решении будущих задач, научитесь справляться с сегодняшними за наименьшее время и с большей эффективностью.» Друкер П. |