Реферат, элементарные функции. Федеральное государственное автономное. Реферат по дисциплине Высшая математика На тему Функции Студент первого курса дневного отделения

• Название: Реферат по дисциплине Высшая математика На тему Функции Студент первого курса дневного отделения
• Анкор: Реферат, элементарные функции
• Дата: 17.10.2022
• Размер: 0.89 Mb.
• Имя файла: Федеральное государственное автономное.docx
• Тип: Реферат; #737422

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение

высшего образования

«CАНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт Электроники и Телекоммуникаций

Кафедра высшей математики

РЕФЕРАТ

По дисциплине: «Высшая математика»

На тему: «Функции»

Выполнил:

Студент первого курса

дневного отделения

группы №4931601/20002

Трубинов Д.Е.

Проверила:

Доцент Единова Е.С.

Санкт-Петербург

2022

Содержание

1. 
   Введение
   
   1. 
      Основные понятия
      
   2. 
      Понятие числовой функции
      
   3. 
      Аргумент функции
      
   4. 
      Область определения функции
      
   5. 
      Область значений функций
      
2. 
   Способы задания функций
   
   1. 
      Аналитический
      
   2. 
      Табличный
      
   3. 
      Графический
      
3. 
   Классификация функций
   
   1. 
      Чётность
      
   2. 
      Периодичность
      
   3. 
      Промежутки монотонности
      
   4. 
      Ограниченность
      
   5. 
      Точные верхние и нижние грани
      
   6. 
      Наибольшее и наименьшее значение функции
      
   7. 
      Суперпозиция
      
   8. 
      Обратная функция
      
4. 
   Элементарные функции
   

Введение

Основные понятия

Множества – совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Переменной называется величина, принимающая множество различных значений.

Множества обозначаются заглавными буквами A, B, C и т.д.

Переменные – буквами латинского алфавита a, b, c и т.д.

Понятие числовой функции

Пусть x, y – переменные x∈X, y∈Y, тогда:

Переменная yназываетсяфункцией f(x) от переменнойx в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x соответствует только одно значение y (из Y).

Независимая переменная x называется аргументом функции.

Областью определения функции называется множество значений x∈X, для которых функция определена.

Областью значений функции называется множество Y всех значений y, которые функция принимает на области определения

Способы задания функций

Аналитический

Аналитический способ задания функции – это правило или закон соответствия между значениями переменных, выражающий функциональную зависимость при помощи формулы, представляющей функцию в виде аналитического выражения, указывающего на действия над значением x, чтобы получить соответствующее значение y.

Пример: f(x)=2x²+4x+6

Табличный

В табличном способе задания функции соответствие между x и y задаётся при помощи таблицы.

Пример: Таблица зависимости относительной влажности от температуры

В приведённой таблице аргументом функции можно считать показания термометра, а самой функцией относительную влажность.

Графический

В графическом способе задания функции используется график в координатах Oxy, где абсциссой точки является значение x, а ординатой значение y.

График функции – множество точек плоскости с координатами (x, y).

Для определения значения функции нужно спроецировать координату x на график, а полученную точку на графике спроецировать на ось Oy.



Классификация функций

Чётность и нечётность

Чётной функцией называется функция значение, которой не меняется при изменении знака переменной.

(1)

Нечётной функцией называется функция значение, которой меняется при изменении знака аргумента на противоположное.

(2)

Ни чётной, ни нечётной функцией (или же функцией общего вида) называется функция, не являющаяся чётной или нечётной.

Для определения чётности или нечётности функции нужно проверить условия (1) и (2), если ни одно из них не выполняется, то функция является функцией общего вида.

Периодичность

Периодическая функция – функция, повторяющая своё значение с некоторым интервалом аргумента, то есть не меняющая своего значения, при добавлении к аргументу периода , на всей области её определения.

То есть выполняется условие

Исходя из этого определения

Функции, не имеющие периода – называются апериодическими.

Стоит отметить, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Промежутки монотонности

Промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

Возрастающая функция – функция, в которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции.



Убывающая функция – функция, в которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.



Если функция только убывает или только возрастает на заданном промежутке, то она называется монотонной.

Ограниченность

Функция называется ограниченной, если её область значений ограничена, т.е. все её значения лежат на ограниченном промежутке, в обратном случае функцию можно назвать неограниченной.

Можно дать следующее определение ограниченности функции: функция у = f(x) называется ограниченной на всей области определения D(f), если существует такое число С>0, что |f(x)|≤C для каждой точки x∈D(f).

Функция, ограниченная на некотором множестве X⊂D(f), может быть неограниченной на всей области определения. Например, функция у = 1/х ограничена при х є [1/10;10], но на всей области определения она является неограниченной.

Точные верхние и нижние грани

Функция называется ограниченной сверху (снизу), если

существует такое число A, что для всех выполняется неравенство , ( ).

Точной верхней гранью , ограниченной сверху функции называют наименьшее число, ограничивающее область значений функции.

Т.е. это такое число а, для которого:

1. 
   
   
2. 
   ъ
   

Верхней гранью неограниченной сверху функции является

Точной нижней гранью , ограниченной снизу функции называют наибольшее число, ограничивающее область значений функции.

Т.е. это такое число b, для которого:

1. 
   
   
2. 
   
   

Нижней гранью неограниченной снизу функции является

Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее значение функции  на некотором промежутке – это значение, которое при любом значении делает справедливым неравенство 

Наименьшее значение функции  на некотором промежутке – это значение, которое при любом значении делает справедливым неравенство

Суперпозиция функций

Суперпозиция функций— это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных\

Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует замыкание данного множества функций.
, где и – некоторые функции

Сложная функция обозначается как

Обратная функция

Пусть функция    имеющая область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством: .

Тогда для любого в соответствии можно сопоставить только один элемент , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией. Обратная функция обозначается как



Элементарные функции

Функции вида

Данная функция называется постоянной, т.е. каждому значению аргумента икс соответствует одно и тоже значение функции равное C. Графиком данной функции является прямая параллельная оси абсцисс.

Свойства:

1. 
   
   
2. 
   Область значений
   
3. 
   Ни чётная, ни нечётная
   
4. 
   Не имеет периода
   
5. 
   Функция монотонна на всей области определения
   
6. 
   Ограничена сверху и снизу
   
7. 
   Н ет обратной функции
   

Функции вида

Свойства:

1. 
   Область определения функции - множество всех действительных чисел
   
2. 
   Множеством значений функции является множество всех действительных чисел
   
3. 
   Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
   
4. 
   Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев)
   
5. 
   Функция непериодическая
   
6. 
   Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k<0
   
7. 
   Не ограничена ни сверху ни снизу
   
8. 
   Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. k называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой, если k=0, то прямая совпадает с осью Ох.
   
9. 
   При K>0 функция принимает отрицательные значения на промежутке , положительные
   
10. 
    При K<0 функция принимает положительные значения на промежутке , отрицательные
    
11. 
    Обратная функция:
    

Графики:



Функции вида

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Свойства:

1. 
   Областью определения функции является множество всех действительных чисел.
   
2. 
   Множеством значений функции является промежуток
   
3. 
   Значение функции в точке вершины является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.
   
4. 
   Если b=0, то функция чётная, если b!=0, то ни чётная ни нечётная
   
5. 
   Не является периодической
   
6. 
   При а>0 ограничена снизу, при a<0 ограничена сверху
   
7. 
   Не является монотонной функцией на всей области определения. При а>0 убывает на промежутке , возрастает , при а<0 возрастает на промежутке , убывает
   

Графики







Функция вида

Функция, заданная формулой y=ax (где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.

Свойства:

1. 
   Область определения — множество R действительных чисел.
   
2. 
   Область значений — множество R всех положительных действительных чисел начиная от 0 его не включая
   
3. 
   При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0
4. 
   Ни чётная ни нечётная
   
5. 
   Не имеет ни наибольшего ни наименьшего значения
   
6. 
   Ограничена снизу, не ограничена сверху
   
7. 
   Не является периодической
   

Функция вида

Логарифмической функцией называется функция вида. Эта функция является обратной функции 

Свойства:

1. 
   Областью определения функции  является множество  всех действительных положительных чисел 
   
2. 
   Областью значений является множество  всех действительных чисел .
   
3. 
   Не имеет ни наибольшего ни наименьшего значений
   
4. 
   Ни чётна ни нечётна
   
5. 
   При а>0 монотонно возрастает, при а<0 монотонно убывает
   
6. 
   Не является периодической
   

Показательная функция

П оказательной функцией называется функция, заданная формулой

где  а — некоторое действительное число,  и  .

Свойства:

1. 
   Область определения все действительные числа
   
2. 
   Область значений все действительные числа от нуля его не включая
   
3. 
   Ни чётная ни нечётная
   
4. 
   При а>1, возрастает на всей области определения, при а<1 убывает
   
5. 
   y>0 при всех значениях аргумента
   
6. 
   не ограничена
   
7. 
   не имеет ни наибольшего ни наименьшего значений
   
8. 
   не является периодической
   

Тригонометрические функции

Зависимость, при которой каждому действительному числу   соответствует значение   называется функцией 

Свойства:

1. 
   Областью определения функции   является множество всех действительных чисел, так как для любого   существует 
   
2. 
   Множеством значений функции   является промежуток 
   
3. 
   Периодичность функции  Точки единичной окружности   совпадают для любого  , значит, значения синусов этих углов также совпадают, т.е. 
   
4. 
   Функция нечётная
   
5. 
   Наибольшее значение 1
   
6. 
   Наименьшее -1
   
7. 
   Ограничена сверху и снизу
   

Функция косинуса

Свойства:

1. 
   Область определения все действительные числа
   
2. 
   Область значений [-1;1]
   
3. 
   Период Т=2п
   
4. 
   Чётная
   
5. 
   Ограниченасверху и снизу
   
6. 
   Наибольшее значение 1
   
7. 
   Наименьшее -1
   

Функция тангенса котангенса

З ависимость, при которой каждому действительному числу 

Зависимость, при которой каждому действительному числу   соответствует значение   называется функцией 

Свойства тангенса:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   Наименьший период Т=2п
   
4. 
   Нечётная функция
   
5. 
   Не имеет ни наибольшего ни наименьшего значений
   
6. 
   Возрастает
   

Свойства котангенса

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   Наименьший период Т=п
   
4. 
   Нечётная фнукция
   
5. 
   Убывает на
   
6. 
   Не имеет ни наибольшего ни наименьшего значений
   

Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа а называется число  , такое, что   Или, можно сказать, что это такой угол  , принадлежащий отрезку  , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число  , такое, что 

Арктангенсом числа а называется число  , такое, что 

Арккотангенсом числа а называется число  , такое, что 

Свойства функции 

1. Область определения 

2. Область значений 

3.  , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4 . Функция   монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное -  , достигается при  , а наибольшее значение, равное  , при 

5 . Не ограничена

6.обратаня функции

Свойства функции 

1. Область определения 

2. Область значений 

3. 

4.Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

5 . Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное  , функция у = arccosx принимает при  , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при 

6. Функции   и   являются взаимно обратными.

Свойства функции 

1. Область определения 

2. Область значений 

3. Функция   нечетная.

4. Функция   является строго возрастающей.

5 . Прямые   и   — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции   и   являются взаимно обратными — конечно, когда функция   рассматривается на промежутке 

Свойства функции 

1. Область определения 

2. Область значений 

3. Функция   - общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция   является строго убывающей.

5. Прямые   и   — горизонтальные асимптоты данной функции.

6 . Функции   и   являются взаимно обратными, если рассматривать   на промежутке 

Функции

Пусть х – произвольный угол или число. Величина, обратная косинусу этого угла (числа) – называется секансом х и обозначается через sec x.

Таким образом, функция секанс (y = sec x) определяется формулой:

Свойства

1. 
   Область определения секанса: x∈(-∞;π/2+ πn)∪(π/2+ πn, +∞), n∈Z
   
2. 
   Область значений секанса: y∈(-∞;-1]∪ [1, +∞)
   
3. 
   Секанс – периодическая функция (период секанса равен 2π)
   
4. 
   Секанс – четная функция, так как косинус – четная функция
   
5. 
   Убывает на и
   
6. 
   Возрастает на и
   

Пусть х – произвольный угол или число. Величина, обратная синусу этого угла (числа) – называется косекансом х и обозначается через cosec x.

Таким образом, функция косеканс (y = cosec x) определяется формулой:

Свойства:

1. 
   Область определения косеканса: x∈(-∞;πn)∪(πn, +∞), n∈Z
   
2. 
   Область значений косеканса: y∈(-∞;-1]∪ [1, +∞) 
   
3. 
   Косеканс – периодическая функция (период косеканса равен 2π)
   
4. 
   Косеканс – нечетная функция, так как синус – нечетная функция
   
5. 
   Убывает на и
   
6. 
   Возрастает на и