трип. Контрольная работа тригонометрия. Решение Составим общее уравнение прямой ah используя вектор bc bc (C x b x c y b y ) (6278) (41)

• Название: Решение Составим общее уравнение прямой ah используя вектор bc bc (C x b x c y b y ) (6278) (41)
• Дата: 19.02.2022
• Размер: 95.88 Kb.
• Имя файла: Контрольная работа тригонометрия.docx
• Тип: Решение; #367464

Контрольная работа по математики №2

8 вариант

Баталин Михаил Михайлович

Г. Тюмень, ул. Мельникайте 127а, 289

Задание 1

Даны координаты вершин треугольника A(1, 3), B(2, 8), C(6, 7). Запишите общее уравнение его высоты AH.

Решение:

Составим общее уравнение прямой AH используя вектор BC:

BC = (C_x-B_x ; C_y-B_y) = (6-2;7-8) = (4;-1)

Уравнение прямой будет выглядеть следующим образов:

4x-1y+d=0, чтобы найти постоянную d подставим в уравнение координаты точки A.

4*1-1*3+d=0

4-3+d=0

1+d=0

d = -1

Ответ:

Уравнение прямой AH:

4x-1y-1=0 или y = 4x-1

Задание 2

В треугольнике ABC из вершины A проведены высота и медиана. Даны координаты вершины B (6, 5), уравнение высоты x + y = 2 и уравнение медианы 2x − 3y + 1 = 0. Найдите координаты x0, y0 вершины C

Решение:

Координаты вершины A можно найти как точку высоты AH и медианы AM:



Умножим первое уравнение на 3 и найдем x



5x - 5 = 0

5x = 5

x = 1

Подставим x в первое уравнение и найдем y

1 + y -2 = 0

y – 1 = 0

y = 1

Координаты вершины A (1,1)

Точка M имеет координаты

Точка C лежит на прямой BC, а точка M на медиане. Прямая ВС перпендикулярна высоте. Записываем уравнение BC:

Ax + By – (Ax₀ + By₀) = 0

-x + y – (-6+5) = 0

-x + y + 1 = 0

Находим x₀ и y₀ с помощью системы уравнений:





Умножим первое уравнение на 3 и найдем x



-x₀ + 2 = 0

-x₀ = -2

x₀ = 2

Подставим x в первое уравнение и найдем y

-2 + y₀ + 1 = 0

y₀ = 1

Ответ_:_Вершина_C_(2,_1)_Задание_3'>Ответ:

Вершина C (2, 1)

Задание 3

Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1,−2, 4) и M2(2,−1, 2) перпендикулярно плоскости x + 4y − 5z + 3 = 0.

Решение:

Плоскость p параллельна вектору плоскости p1

Уравнение плоскости через точку M0(x0, y0, z0) имеет следующий вид:

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

Плоскость p: Ax + By + Cz + D = 0 проходит через точки M1(1, -2, 4) и M2(2, -1, 2) и геометрический вектор n = (1, 4, -5)

Найдем координаты отрезка M1M2

M1M2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = (2 – 1, (-1) – (-2), 2 – 4) = (1, 1, -2)

Подставим в уравнение плоскости координаты отрезка M1M2

х + 4у - 5z + d = 0

1 + 4*1 – 5*(-2) + d = 0

d = -15

Подставим полученные данные в уравнение плоскости

Ответ_:_Координаты_проекции_точки_M_на_плоскость_это_точка_Q_(1,_-2,_1)_Задание_5'>Ответ:

Общее уравнение плоскости x + 4y – 5z – 15 = 0

Задание 4

Найдите координаты проекции точки M (3,−1,−3) на плоскость 2x + y − 4z + 4 = 0.

Решение:

Проекцией точки М на плоскости p называется Q пересечения плоскости p с прямой H, проходящей через точку М перпендикулярную к плоскости p.

Допустим



это прямая H проходящая через точку М и перпендикулярна плоскости p. Тогда за направляющий вектор прямой H можно взять вектор плоскости p.

Вектор n = (2, 1, -4). Найдем координаты точки Q, присвоив l, m, n координаты вектора n.


Подставим уравнение прямой H в уравнение плоскости:

2(3 + 2t) + (-1 + t) – 4(-3 – 4t) + 4 = 0

6 + 4t – 1 + t +12 + 16t + 4 = 0

4t + t + 16t + 6 – 1 + 12 + 4 = 0

21t + 21 = 0

21t = -21

T = -1

Подставим найденное значение в уравнение прямой H:





Ответ:

Координаты проекции точки M на плоскость это точка Q (1, -2, 1)

Задание 5

Найдите коэффициент A в уравнении плоскости Ax + y + Cz + D = 0, проходящей через точки P (1, 1, 8), O (0, 0, 0) параллельно прямой

Решение:

По условию задачи прямая параллельна плоскости, значит Al + Bm + Cn = 0

Из уравнения прямой получаем l = 1, m = -1, n = 6 и следующее уравнение:

A – B + 6C = 0

На основании принадлежности точек P и O к плоскости получаем уравнение:

A + B + 8C = 0

Решим систему уравнений:



Вычтем второе уравнение из первого:

2B + 2C = 0

B = -C

Допустим B = -1, а C = 1, подставим текущие значения в первое уравнение:

A – 1 + 8 = 0

A = -7

Ответ_:Первая_прямая_пересекается_с_другими_прямыми_при_a_=_2и_c_=_1_Задание_7'>Ответ:

Коэффициент A = -7

Задание 6

При каких значениях параметров a и c прямая c пересекает две другие прямые:

и

Решение:

Найдем определители из уравнений 2-ой и 3-ей прямой:





Т.к. определители не равны нулю то z из систем можно записать в следующем виде:

и

Найдем общее решение 2-ой прямой:



Умножим первое уравнение на 2



3x = 6z + 6 + 3



Докажем, что 1-ая и 2-ая прямые пересекаются:



Прямые будут пересекаться при выполнение следующего равенства:

(r₂ – r₁, l₁, l₂) = 0

r₁ = (1, 1, -1), r₂ = (3, 3, 0), l₁ = (a, -1, c), l₂ = (2, 3, 1)

Подставляем значения:



Найдем общее решение 3-ей прямой:



Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2



3y = -3 – 2z – 4

3y = 2z + 7



Аналогично докажем, что 1-ая и 3-ья прямые пересекаются:

(r₃ – r₁, l₁, l₃) = 0

r₁ = (1, 1, -1), r₃ = ( , , 0), l₁ = (a, -1, c), l₂ = ( , , 1)

Подставляем значения:



Решим систему уравнений:



a = 2c, подставим это значение в первое уравнение:

-4с + 2с + 2 = 0

-2с = -2

с = 1

подставим значение во второе уравнение:

a = 2 * 1

a = 2

Ответ:

Первая прямая пересекается с другими прямыми при a = 2иc = 1

Задание 7

Найдите радиус сферы, если известно, что она касается двух плоскостей x − 2y + 2z + 22 = 0 и x − 2y + 2z + 10 = 0.

Решение:

Сфера — это множество точек пространства, равноудаленных от центра. Расстояние между точками сферы и центром является радиус сфера.

d(p₁,p₂) равно двум радиусам сферы.

Вычислим радиус сферы по формуле:





Т.к. это два радиуса:

4/2 = 2

Ответ:

Радиус сферы R = 2

Задание 8

Дана кривая 9x² + 4y² − 36x − 64y + 256 = 0.

1. 
   Докажите, что эта кривая — эллипс.
   
2. 
   Найдите координаты центра его симметрии.
   
3. 
   Найдите его большую и малую полуоси.
   
4. 
   Запишите уравнение фокальной оси.
   
5. 
   Постройте данную кривую.
   

Решение:

1. Преобразуем уравнение:

(9x² – 36x) + (4y² – 64y + 256) = 0

9(x – 2)² + 4(y – 8)² – 36 = 0

9(x – 2)² + 4(y – 8)² = 36

Введем новые переменные x₁ = x – 2, y₁ = y – 8

Тогда

Это уравнение определяет эллипс.

2. Центр симметрии точки О из уравнения эллипса:

x – 2 = 0

x = 2

y – 8 = 0

y = 8

Центр эллипса находится в точке O (2, 8)

3. Большая (a) и малая (b) полуось:





4. Для уравнения фокальной оси найдем координаты фокусов F₁ и F₂







,

Уравнение фокальной оси:





Умножим на





5. График кривой.

Задание 9

Дана кривая x² − 4x + 8y = 36.

1. 
   Докажите, что данная кривая — парабола.
   
2. 
   Найдите координаты её вершины.
   
3. 
   Найдите значение её параметра p.
   
4. 
   Запишите уравнение её оси симметрии.
   
5. 
   Постройте данную параболу.
   

Решение:

1. Матрица квадратичной формы B:



Определяем тип кривой, для этого составим характеристическое уравнение квадратичной формы:



Находим p и q из уравнения:



p = -1

q = 0

Находим корни уравнения матрицы B:







Так как одно из собственных чисел равно нулю, то кривая – парабола.

2. Преобразуем уравнение:

(x² – 4x – 4) + 8y – 36 + 4 = 0

(x – 2)² + 8y – 32 = 0

x₁ = x – 2

y₁ = 8y – 32

Уравнение параболы:

(x – 2)² = -8(y – 4)

Вершины параболы:

x – 2 = 0

x = 2

y – 4 = 0

y = 4

3. Сравниваем последнее уравнение с каноническим уравнением параболы:

(x – 2)² = -2 * 4(y – 4)

P = 4

4. Вершина параболы в точке (2, 4)

Прямая параллельна ОУ и проходит через точку (2, 4), получили уравнение оси симметрии x = 2

5.

Задание 10

Дана кривая x² − 8xy + 7y² + 6x − 6y + 9 = 0.

1. 
   Докажите, что эта кривая — гипербола.
   
2. 
   Найдите координаты её центра симметрии.
   
3. 
   Найдите действительную и мнимую полуоси.
   
4. 
   Запишите уравнение фокальной оси.
   
5. 
   Постройте данную гиперболу.
   

Решение:

1. Матрица квадратичной формы B:



Определяем тип кривой, для этого составим характеристическое уравнение квадратичной формы:



Вычислим p и q:



p = -8

q = -9

Находим корни уравнения матрицы B:







Так как собственные числа имеют разные знаки, то кривая – гипербола.

Для собственного числа получаем систему:



Если x₁ = 1, x₂ = -2, то единичный собственный вектор i₁ имеет координаты i₁ = (1, -2). Другой собственный вектор, отвечающий собственному числу , может быть задан в виде j₁ = (2, 1) таким образом, чтобы базис (i₁, j₁) был правым.

От старого базиса (O, i, j) перейдем к новому базису (O, i₁, j₁).

При этом





В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид:


Подставим данные в уравнение:







Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало О₁ по формулам:







2. В системе координат (О₁, i₁, j₁) гипербола имеет уравнение:



O₁x₂ = x – 2y + 1 = 0

O₁y₂ = 2x + y – 3 = 0

Решим систему уравнений:



Умножим второе уравнение на 2



5x = 5

x = 1

Находим y умножив первое уравнение на -4, а второе на 2



10y = 10

y = 1

Координаты точки центра симметрии O₁ = (1, 1)

3. Действительная полуось a = 1, мнимая полуось b = 3

4. Фокальной осью является прямая y₂=0

2x + y – 3 = 0

5.