задание 1. Решение Даны вершины А(5 3), В(11 9), С(4 15) треугольника авс. Требуется найти а) уравнение стороны ас А(5 3), С(4 15)
 Скачать 14.35 Kb.
|
|
Скорняков Андрей Юрьевич Задание № 1. Даны вершины А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15) треугольника АВС. Требуется найти: а) уравнение стороны АС; б) длину высоты, проведенной из вершины А; в) величину угла В (в радианах). Решение Даны вершины А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15) треугольника АВС. Требуется найти: а) уравнение стороны АС: А(5; 3), С(-4; 15). Вектор АС = (-4-5; 15-3) = (-9; 12). уравнение стороны АС: (x – 5)/(-9) = (y – 3)/12 каноническое. 12*(x – 5) - (-9)*(y – 3) = 0, 12х – 60 + 9у – 27 = 0, 12х + 9у – 87 = 0, сократим на 3: 4х + 3у – 29 = 0 общего вида. Выразим относительно у: у = (-4/3)х + (29/3) с угловым коэффициентом. б) длину высоты, проведенной из вершины А. У прямой, перпендикулярной к прямой общего вида Ах + Ву + С = 0, коэффициенты А и В меняются на В и (-А) или (-В) и А. Высота, проведенная из вершины А, - это перпендикуляр AD к стороне ВС. Находим уравнение стороны ВС. Вектор ВС = (-4-(-11); 15-(-9) = (7; 24). Уравнение ВС: (x + 11)/7 = (y + 9)/24 каноническое. 24х + 264 – 7у – 63 = 0, 24х – 7у + 201 = 0 общего вида. Для ВС общего вида 24х - 7у + 201 = 0 уравнение перпендикуляра АD будет таким – АD: 7х + 24у + С = 0. Подставим координаты точки А(5; 3). 7*5 + 24*3 + С = 0, отсюда С = – 35 – 72 = -107. Тогда получаем уравнение перпендикуляра AD к стороне BС в общем виде: AD: 7х + 24у - 107 = 0 общего вида или у = (-7/24)х + (107/24) с угловым коэффициентом. Находим точку D пересечения перпендикуляра со стороной ВС. BC: 24х – 7у + 201 = 0 |x24 = 576x - 168y + 4824 = 0 AD: 7х + 24у - 107 = 0 |x7 = 49x + 168y – 749 = 0 625x + 4075 = 0, x = -4075/625 = -6,52. y = (24/7)*(-6,52) + (201/7) = -22,3543 +28,7143= 6,36. D(-6,52; 6,36). Отрезок AD = √((-6,52-5)² + (6,36-3)²) = √(132,7104 + 11,2896) = √144 = 12. Можно применить второй вариант определения расстояния от точки А до прямой ВС. Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу: d = |A·Mx + B·My + C|/√(A² + B²) Подставим в формулу данные: d = |24·5 + (-7)·3 + 201|/√(24² + (-7)²) = |120 - 21 + 201|/√(576 + 49) = = 300/√625 = 12. в) величину угла В (в радианах). Находим векторы ВА и ВС. ВА = (5-(-11); 3-(-9)) = (16; 12), модуль равен √(16²+ 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20. ВС = (-4-(-11); 15-(-9)) = (7; 24), модуль равен √(7²+ 24²) = √(49+ 576) = √625 = 25. Теперь находим косинус угла В: cos B = (16*7+12*24)/(20*25) = 400/500 = 0,8. Отсюда угол В = arccos 0,8 = 0,643501 радиан или 57,17432 градуса. |