Решение. Момент встречи точек Тогда. Подставим числовые значения Значит

• Название: Решение. Момент встречи точек Тогда. Подставим числовые значения Значит
• Дата: 28.05.2018
• Размер: 0.7 Mb.
• Имя файла: 111111.doc
• Тип: Решение; #45154

105. Две материальные точки в момент t=0 начинают двигаться по прямой линии согласно уравнениям x₁=A₁+A₂t+A₃t⁴, x₂=B₁+B₂t+B₃t⁴, где A₁ = 50 м, A₂ = 2 м/с, A₃ = -3 м/с⁴, B₁ = 42 м, B₂ = 10 м/с, B₃ = -3 м/с⁴. Найти скорости и ускорения этих точек в момент их встречи.

Дано:

Решение. Момент встречи точек: .

Тогда, .

Подставим числовые значения: .

Значит, .

Скорость – первая производная от перемещения.

Значит, , .

Ускорение – первая производная от скорости.

Значит, , .

Тогда, , ,

, .

Проверка размерности: ,

.

Получаем, (скорость направлена противоположно оси x), (скорость направлена противоположно оси x), (ускорение направлено противоположно оси x) (ускорение направлено противоположно оси x).

Ответ. , , , .
116. Расположенный горизонтально сплошной цилиндр может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра 12 кг. На цилиндр намотали шнур к концу которого привязали гирю массой 1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гири?

Дано:

Решение.



Уравнение вращательного движения маховика имеет вид: , где - момент силы натяжения нити .

Ось выберем в направлении вектора углового ускорения (от нас).

Тогда, в проекции на ось имеем: .

Момент силы натяжения нити равен: .

Угловое ускорение определяется по формуле: .

Значит, .

С другой стороны момент инерции цилиндра равен: .

Значит, .

Для груза по второму закону Ньютона для тела массой m имеем: .

В проекции на ось x имеем: .

Тогда, .

Тогда, .

Проверка размерности: ,

.

Получаем, , .

Ответ. , .


125. На круглой вращающейся скамейке стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально, по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с угловой скоростью 1 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки равен 6 кг·м². Длина стержня 2,4 м, а его масса равна 8 кг.

Дано:

Решение. На рисунке m₁ – суммарная масса скамейки и человека.



Система «человек-скамейка-стержень» замкнута.

Момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени: .

По закону сохранения момента импульса в проекции на ось y имеем: ,

где - момент инерции системы, когда стержень расположен вертикально;

- момент инерции системы, когда стержень расположен горизонтально; - момент инерции стержня, так как ось проходит через середину стержня.

Значит, .

Проверка размерности: .

Получаем, .

Ответ. .

134. На какую высоту над поверхностью Земли поднимается ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость ракеты будет равна первой космической скорости?

Дано:

Решение. С удалением ракеты от Земли будет возрастать ее потенциальная энергия и уменьшатся кинетическая.

По закону сохранения энергии имеем: .

Так как кинетическая энергия , а потенциальная энергия (в поле тяготения Земли) ( - гравитационная постоянная, и - массы взаимодействующих тел, в нашем случае ракета и Земля), то имеем: , где - радиус Земли.

Так как конечная скорость равна нулю , то имеем: .

Так как , то имеем:

.

Откуда, .

Проверка размерности: .

Получаем, .

Ответ. .


149. Определить частоту колебаний физического маятника, состоящего из обруча массой 400 г и радиусом 30 см, внутри которого укреплен однородный диск массой 200 г и диаметром 10 см. Маятник совершает колебания относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О.

Дано:

Решение.



Период колебаний физического маятника равен: ,

где - масса физического маятника, - момент инерции маятника, - момент инерции обруча относительно точки О (с учетом теоремы Штейнера), - момент инерции диска относительно точки О, - расстояние центра масс маятника от оси колебаний.

Значит, .

Расстояние центра масс маятника от оси колебаний равно:

.

Тогда, .

Значит, .

Тогда, .

Частота равна: .

Тогда, .

Проверка размерности: .

Получаем, .

Ответ. .
154. Однородный шар массой 5 кг может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На «экватор» шара намотана невесомая нерастяжимая нить, другой конец которой перекинут через цилиндрический блок массой 1 кг и привязан к грузу массой 10 кг. Какую скорость будет иметь груз, опустившись на расстояние 1 м? Трением в осях пренебречь. В начальный момент груз покоился.

Дано:

Решение.



Уравнение вращательного движения шара имеет вид: ,

где - момент силы натяжения нити .

Ось выберем в направлении вектора углового ускорения (вверх).

Тогда, в проекции на ось имеем: .

Момент инерции шара определяется по формуле: , где - радиус шара.

Момент силы натяжения нити равен: .

Угловое ускорение равно: .

Значит, .

Уравнение вращательного движения блока имеет вид: , где - момент силы натяжения нити , - момент силы натяжения нити .

Ось выберем в направлении вектора углового ускорения (от нас).

Тогда, в проекции на ось имеем: .

Момент инерции блока определяется по формуле: , где - радиус блока.

Моменты силы натяжения нитей равны: , .

Угловое ускорение равно: .

Значит, .

Теперь рассмотри тело массой .

По второму закону Ньютона имеем: .

В проекции на ось y имеем: .

Тогда, ,

.

Так как движение тела равноускоренное, то имеем: .

Так как скорость в начальный момент равна нулю, то имеем: .

Тогда, .

Значит, .

Проверка размерности: .

Получаем, .

Ответ. .
168. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом 0,02 м³, равна 5 кДж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 2·10³ м/с. Найти: 1) массу азота в баллоне; 2) давление, при котором находится азот.

Дано:

Решение. Кинетическая энергия поступательного движения молекул равна: , где - постоянная Больцмана.

Количество вещества определятся по формулам:

, где - молярная масса азота, - число Авогадро.

Тогда, .

Значит, .

Известно, что , где - универсальная газовая постоянная.

Значит, .

Средняя квадратичная скорость равна: .

Значит, .

Тогда, .

По уравнению Менделеева-Клапейрона имеем: .

Тогда, .

Проверка размерности:

, .

Получаем, , .

Ответ. , .
174. На какой высоте плотность газа составляет 50% от плотности его на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0ºС. Задачу решить для: 1) воздуха; 2) водорода.

Дано:

Решение. По уравнению Менделеева-Клапейрона имеем: ,

где - молярная масса газа, - давление на уровне моря.

Так как плотность равна , то плотность на уровне моря: . Плотность на высоте равна: .

По барометрической формуле имеем: .

Тогда, .

Значит, .

Тогда, для воздуха и азота имеем: , ,

где - молярная масса воздуха, - молярная масса водорода.

Проверка размерности: .

Получаем, , .

Ответ. , .