Лабораторная работа 1. Решение Находим f (x) 12x 3x 2, f (x) 12 6x. Найдем критические точки по второй производной

Название	Решение Находим f (x) 12x 3x 2, f (x) 12 6x. Найдем критические точки по второй производной
Дата	11.05.2022
Размер	307.88 Kb.
Формат файла
Имя файла	Лабораторная работа 1.docx
Тип	Решение #521645

Лабораторная работа 1.

Математическая модель системы - это ее отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Таким образом, модель - это условный образ системы, созданный для упрощения ее исследования, получения о ней новых знаний, анализа и оценки пронимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.

Пример 1

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x²–x³.
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x², f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.

f(2) = 6*2² – 2³ = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).

Пример 2

Исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.
1. Находят частные производные dz/dx и dz/dy.
2. Решают систему уравнений:

и таким образом находят критические точки функции.
3. Находят частные производные второго порядка:

4. Вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках M(x₀;y₀).

5. Делаю вывод о наличии экстремумов:
а) если AC – B² > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;
б) если AC – B² > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;
в) если AC – B² < 0, то экстремума нет;
г) если AC – B² = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

Рассмотрим пример.

Найти экстремумы функции f(x,y)=x³+xy²+x²+y².
Решение.
1. Найдем первые частные производные.

2. Решим систему уравнений.
3x²+2x+y²=0
2xy+2y=0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = -1
y²+1=0
Данная система уравнений не имеет решения.
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:

или

Откуда x₁ = -2/3; x₂ = 0; x₃ = -2/3; x₄ = 0
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y₁ = 0; y₂ = 0; y₃ = 0; y₄ = 0
Количество критических точек равно 2: M₁(-2/3;0), M₂(0;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).
Вычисляем значения для точки M₁(-2/3;0)

AC - B² = -4/3 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M₂(0;0)

AC - B² = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M₂(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0
Вывод: В точке M₂(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0

Вариант 1

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 2

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 3

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 4

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 5

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 6

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 7

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 8

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

y=3x⁵-4x+3x²

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 9

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 10

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 11

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 12

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 13

Вариант 14

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

y=3x⁵-4x+3

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 15

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 16

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 17

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

y=-x⁴+5x³-x²-50

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 18

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

y=-6x⁴-2x³-18x²-15

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 19

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

y=-x⁴-2x³-18x²-50

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 20

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных

Вариант 21

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика следующей функции

y=3x⁴-4x³-18x²-10

2. Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных