Задание по методам оптимизации (1). Решение. Найдем частные производные функции Найдем вторые частные производные Получаем градиент
 Скачать 224.74 Kb.
|
|
1. Решить методом Ньютона-Рафсона  ,  Решение. Найдем частные производные функции:   Найдем вторые частные производные:    Получаем градиент:  .Гессиан примет вид:  .Найдем градиент в точке  :  .Находим обратный гессиан:  Выполняем приближение по формуле:  Получаем:  Найдем градиент в точке  :  . Тогда: Так как  , достигнут минимум: 2. Решить графически и аналитически с помощью необходимых и достаточных условий    Решение. Решим задачу графическим способом. Так как  и  , то область допустимых решений будет лежать первой координатной четверти.На первой координатной четверти строим прямые, порождаемые системой ограничений. Для построения прямых заменяем знаки неравенства в системе ограничений на знаки равенства.  Относительной каждой прямой определяем полуплоскость, соответствующую исходным неравенствам. Область допустимых решений (ОДР) лежит ниже прямой  и правее прямой  : Преобразуем целевую функцию, приравняв ее к константе:   Получили эллипс с центром в точке (3; 6), при этом радиус по оси  больше радиуса по оси  в два раза.Изменяя константу  будем перемещать целевую функцию: По графику видно, что минимум функции достигается в точке  , т.к. в ней эллипс имеет меньшие радиусы и выходит из области определения. Точка находится на пересечении прямых и : Решая систему, получаем  и  , тогда: Максимум функции достигается в точке , которая находится на пересечении прямой и оси : Решая систему, получаем  и  , тогда: Решим задачу аналитически. Для того, чтобы точка была точкой локального условного экстремума функции относительно уравнений связи необходимо, чтобы эта точка удовлетворяла системе уравнений Лагранжа:  Здесь  – функция Лагранжа вида  , где  – целевая функция;  – ограничения вида  или  .В данном случае функция Лагранжа примет вид:  Находим частные производные:   Получаем:  Рассмотрим случай  : Откуда  . Т.о., при экстремумов нет, следовательно,  .Из условий дополняющей нежесткости получаем: либо  , либо  , а также либо  , либо .Положим  (локальный минимум). Тогда из первых двух уравнений получаем:  Из условий дополняющей нежесткости получаем систему:  Откуда:  Рассмотрим случай , тогда  или . Т.о., при экстремумов нет, следовательно,  .Рассмотрим случай , тогда  . Получаем  . Следовательно,  . Тогда: Откуда  ,  . Тогда , ,  .Таким образом, в точке (3; 3) достигает минимума, равного 36. Положим  (локальный максимум). Тогда из первых двух уравнений получаем:  Из условий дополняющей нежесткости получаем систему:  Откуда:  Рассмотрим случай , тогда или . Т.о., при экстремумов нет, следовательно, .Рассмотрим случай , тогда  . Тогда:   Условие первого ограничения не выполняется, поэтому . Рассмотрим случай  : Подставляя, получаем:  Из краевого ограничения следует  , тогда  . Получаем . Так как , все условия выполняются.Рассмотрим случай  : Из краевого ограничения получаем  , все условия выполняются.Получаем   Таким образом, в точке (8; 0) достигает минимума, равного 169. 3. Решить методом возможных и подходящих направлений     Решение. Найдем частные производный целевой функции:   Получаем вектор градиент  Зададим  , тогда:  , длина которого  .Координаты следующей точки:  .Найдём такие значения параметра, чтобы новая точка принадлежала области допустимых решений задачи:  Градиент в точке :  . Из соображений  находим максимальное значение параметра  Откуда  .Поскольку это значение располагается левее отрезка  , нужно принять  , однако это значение не даёт перехода в новую точку, поскольку текущая точка является наилучшей по данному направлению.Ограничения активны в точке . Обозначим вектора коэффициентов при переменных  .  . Тогда выберем направление  из условия равенства нулю скалярного произведения векторов  и  : Длина вектора  .Так как скалярное произведение векторов  , то найденная точка является искомым оптимальным решением.Значение функции в точке (0; 0):  |