математика пр 3. Решение нам нужно найти число различных комбинаций из 3 элементов (3 книги), выбранных из множества
 Скачать 18.24 Kb.
|
|
Задание №1 1. В домашней библиотеке у Василия Петровича собрано 43 книги по научной фантастике. Он хочет взять с собой в отпуск 3 книги для чтения. Сколькими способами Василий Петрович может это сделать? Решение: нам нужно найти число различных комбинаций из 3 элементов (3 книги), выбранных из множества, состоящего из 43 элементов (43 книги по научной фантастике). Эти комбинации должны отличаться друг от друга хотя бы одним элементом, порядок расположения не важен, то есть это число сочетаний из 43 элементов по 3. Воспользуемся формулой: С 𝑛 𝑚 = 𝑛! (𝑛−𝑚)!)𝑚! В нашем случае С 43 3 = 43! (43−3)!3! = 1∗2∗3∗…40∗41∗42∗43 40!3! = = 1∗2∗3∗…40∗41∗42∗43 1∗2∗3∗…∗40∗1∗2∗3 = 41∗42∗43 6 = 12341. Ответ: 12341способ. 2. В кино отправились 9 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь на кассе? Решение: в этой задаче у нас будут комбинации, состоящие из одних и тех же элементов, отличаются эти комбинации только порядком расположения элементов. Участвуют все элементы множества (все 9 друзей встают в очередь к кассе), значит речь идет о перестановках из 9 элементов. Воспользуемся формулой: P n = n! В нашем случае P 9 = 9! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 362880. Ответ: 362880 способов. 3. Таблица, размером 99*99, раскрашена в шахматном порядке в белый и черный цвета. Верхняя левая клетка – черная. Сколькими способами можно указать в таблице два квадрата – белый и черный? Решение: т ак как размеры таблицы 99*99, то число элементов в столбцах нечетное. По условию, в первом столбце первая клетка – черная, значит черных клеток на 1 больше (клетки чередуются, всего 99, значит белых 49, а черных 50). В каждом следующем столбце с нечетным номером ситуация такая же, белых клеток там 49, черных -50, а столбцов 50 (1-й, 3-й, 5-й, … ,99- й). В столбцах с четными номерами ситуация такая: первая клетка – белая, значит, белых – 50, а черных – 49. Столбцов же всего 49 с четными номерами. Подсчитаем, сколько всего белых клеток и сколько черных. 49*50 + 50*49 = 2450 + 2450 =4900 – белых клеток в таблице. 50*50 + 49*49 = 2500 + 2401 = 4901 – черных клеток в таблице. 99*99 = 9801 – всего клеток в таблице (4900 + 4901 = 9801). Выбираем 1 белую клетку С 4900 1 = 4900! (4900−1)!1! = 4899!∗4900 4899!∗1 = 4900 способов Выбираем 1 черную клетку С 4901 1 = 4901! (4901−1)!1! = 4900!∗4901 4900!∗1 = 4901способ. Следовательно, указать в таблице два квадрата – белый и черный – можно 4900 * 4901 = 24014900 способами. Ответ: 24014900 способов. Задание №2 1. При игре в кости бросаются два игральных кубика и подсчитывается сумма выпавших очков. Найти вероятность событий: А – сумма равна 6; В – сумма больше 8. Решение: так как бросают 2 игральных кубика, то число возможных вариантов равно 6*6 = 36. Составим таблицу возможных вариантов выпадения очков (верхняя строка – очки на гранях первого кубика, левый столбик – очки на гранях второго кубика). Число вариантов, что при бросании двух кубиков сумма выпавших очков будет равна 6, равно 5, значит, вероятность события А – «сумма равна 6» будет равна 5:36 = 5 36 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 1+5 = 6, 2 + 4 = 6, 3 + 3 = 6, 4 +2 = 6, 5 + 1 = 6 - 5 благоприятных исходов Число вариантов, что при бросании двух кубиков сумма выпавших очков больше 8, равна 10, значит, вероятность события В – «сумма больше 8» равна 10:36 = 10 36 = 5 18 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 3 + 6 = 9, 4+ 5 = 9, 4 + 5 = 9, 4 + 6 =10, 5 +4 = 9, 5 = 5 = 10, 5 + 6 = 11, 6 + 3 = 9, 6 + 4 = 10, 6 + 5 = 11, 6 + 6 = 12 - 10 благоприятных исходов. Ответ: 𝟓 𝟑𝟔 ; 𝟓 𝟏𝟖 2. Из имеющихся 16 телевизоров 11 готовы к продаже, а 5 требуют дополнительной регулировки. Найти вероятности событий: А – из случайно отобранных 4 телевизоров все хорошие, В – два хорошие и два нет, С – один хороший и три нет, D – хороших нет. Решение: так всего телевизоров 16, выбрать нужно 4, то число возможных вариантов найдем по формуле С 16 4 = 16! (16−4)!4! = 16! 12!4! = 12!∗13∗14∗15∗16 12!∗1∗2∗3∗4 = 1820. Выбираем только хорошие. Их всего 11, нам нужно 4. Считаем: С 11 4 = 11! (11−4)!4! = 11! 7!4! = 7!∗8∗9∗10∗11 7!1∗2∗3∗4 = 330 Вероятность события А – из случайно отобранных 4 телевизоров все хорошие будет равна 330:1820 = 33:182 = 𝟑𝟑 𝟏𝟖𝟐 Если хороших (готовых к продаже) телевизоров 11, то 16 – 11 = 5 телевизоров требуют дополнительной доработки. Выбираем 2 хороших и 2 нет. С 11 2 = 11! (11−2)!2! = 11! 9!2! = 9!∗10∗11 9!∗1∗2 = 55 С 5 2 = 5! (5−2)!2! = 5! 3!2! = 3!∗4∗5 3!∗1∗2 = 10 55*10 = 550 Вероятность события В – из случайно отобранных телевизоров 2 хороших, а 2 нет, равна 550:1820 = 55 :182 = 𝟓𝟓 𝟏𝟖𝟐 Выбираем 1 хороший и 3 нет. С 11 1 = 11! (11−1)!1! = 11! 10!1! = 10!∗11 10!∗1 = 11 С 5 3 = 5! (5−3)!3! = 5! 2!3! = 2!∗3∗4∗5 2!∗1∗2∗3 = 10 11*10 = 110 Вероятность события С – из случайно отобранных телевизоров 1 хороший, а три нет, равна 110:1820 = 11 :182 = 𝟏𝟏 𝟏𝟖𝟐 Событие D – хороших нет означает, что нужно выбрать 4 телевизора из 5 «плохих» (требующих доработки). С 5 4 = 5! (5−4)!4! = 5! 1!4! = 4!∗5 4!∗1 = 5 Вероятность события D – из случайно отобранных 4 телевизоров нет хороших, равна 5:1820 = 1:364 = 𝟏 𝟑𝟔𝟒 Ответ: 𝟑𝟑 𝟏𝟖𝟐 ; 𝟓𝟓 𝟏𝟖𝟐 ; 𝟏𝟏 𝟏𝟖𝟐 ; 𝟏 𝟑𝟔𝟒 . 3. Туристическая группа состоит из 10 юношей и 6 девушек. По жребию (случайным образом) выбирают 3 дежурных. Найти вероятность того, что будут выбраны 1 девушка и 2 юноши. Решение: всего туристов 10 + 6 = 16 человек. Выбираем случайным образом 3 человек из 16. С 16 3 = 16! (16−3)!3! = 16! 13!3! = 13!∗14∗15∗16 13!1∗2∗3 = 560 Выбираем 1 девушку из 6 и 2 юношей из 10. С 6 1 = 6! (6−1)!1! = 6! 5!1! = 5!∗6 5!∗1 = 6 С 10 2 = 10! (10−2)!2! = 10! 8!2! = 8!∗9∗10 8!∗1∗2 = 45 45*6 = 270 Вероятность того, что будут выбраны 1 девушка и 2 юноши, равна 270 : 560 = 27:56 = 27 56 Ответ: 𝟐𝟕 𝟓𝟔 |