курсовая. Курсовая_Есингалеева. Решение неопределенных уравнений с помощью перебора

• Название: Решение неопределенных уравнений с помощью перебора
• Анкор: курсовая
• Дата: 03.04.2022
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: Курсовая_Есингалеева.docx
• Тип: Решение; #438204

Содержание

Введение 3

1. Теоретические аспекты решения неопределенных уравнений в целых числах 5

1.1 Понятие и история неопределенных уравнений 5

1.2 Основные теоремы решения неопределенных уравнений 7

2. Практические аспекты решения неопределенных уравнений в целых числах 12

2.1 Решение неопределенных уравнений с помощью перебора вариантов 12

и метода остатков 12

2.2 Применение алгоритма Евклида при решении неопределенных уравнений 15

2.3 Решение неопределенных уравнений с помощью цепных дробей 17

2.4 Использование способа рассеивания (размельчения) для решения неопределенных уравнений 19

2.5 Метод разложения на множители 21

Заключение 22

Список литературы 23

Введение

Актуальность исследования обусловлена тем, что в последнее время неопределенные уравнения различного вида стали одним из источников формирования базы задач 4 заданий профильного уровня в ЕГЭ по математике.

Главным отличием таких задач от остальных задач ЕГЭ является их явно выраженный нестандартный характер – построение решения может потребовать от обучающихся нетривиальных идей и методов. Поэтому смыслом включения таких задач в состав контрольно – измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся. Также уравнения в целых числах присутствуют в качестве заданий практически на каждой олимпиаде школьников по математике. Существуют различные методы их решения, которые не входят в школьную программу по математике, но их полезно знать участникам олимпиад.

Цель исследования: рассмотреть теоретические основы решения неопределенных уравнений и их практическое применение.

Объектом исследования является процесс решения уравнений.

Предмет исследования – методы и способы решения неопределенных уравнений в целых числах.

Исходя из поставленной цели, можно сформулировать следующие задачи:

1. проанализировать учебную, методическую и научную литературу по проблеме исследования;

2. раскрыть сущность понятия неопределенных уравнений;

3. рассмотреть методы и способы решения задач в целых числах.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:

1. анализ периодической и учебно-методической литературы;

2. обобщение педагогического опыта учителей;

3. анализ контрольно – измерительных материалов ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что ученику для успешного участия в математических олимпиадах и сдачи ЕГЭ необходимо знать и теорию, и методику решения диофантовых уравнений.

Практическая значимость состоит в том, что подобранные нами задания учащиеся могут использовать при самостоятельной подготовке к сдаче ЕГЭ по математике и олимпиадам.

Структура работы обусловлена целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников.

При написании работы использовались следующие источники [1-30].

1. Теоретические аспекты решения неопределенных уравнений в целых числах

1.1 Понятие и история неопределенных уравнений

Неопределенные уравнения - алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, у которых разыскиваются целые решения. Неопределенные уравнения еще называют диофантовыми. Диофант Александрийский изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их называют диофантовым. Его основной целью было дать метод нахождения решения. Он не ставил себе задачу нахождения всех решений уравнения, даже тогда, когда их множество, и вполне удовлетворялся отысканием одного решения.

Решением неопределенных уравнений в целых числах впервые начали заниматься ученые Индии примерно с V века. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений.

Индийские математики предложили общий метод для решения в целых числах неопределенных уравнений первой степени с целыми коэффициентами, а также нашли решение в целых числах некоторых неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными. Первое общее решение уравнения первой степени ax+by=c , где х и у целые числа, встречается у индийского мудреца Брахмагупты.

Задачи, сводящиеся к рассмотрению системы сравнений 1-й степени, рассматривались в арифметике китайского математика Сун Тзу, жившего примерно в начале нашей эры. У него, как и у целого ряда китайских, индусских, арабских и европейских ученых, решавших такие задачи после него, вопрос ставился в следующей форме: найти число, дающее заданные остатки при делении на заданные числа. Работа Сун Цзу была известна в Европе в 1852 году.

Независимо от китайских математиков способ решения таких задач был дан Брахмагупта (588-660). Во 2-м издании книги французского математика Баше де Мезирьяка «Problems plaisants et delectables qui se font par les nombres», вышедшем в 1624 году, решается неопределенное уравнение ax-by=1. Баше де Мезирьяк фактически применяет процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей. В 1621 году Баше выпустил сочинение Диофанта со своими примечаниями.

После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках неопределенные уравнения 1-й степени с двумя неизвестными решали Ролль, Эйлер, Саундерсон и другие математики.

Цепные дроби к решению таких уравнений были применены Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это тот же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до него.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Решение уравнений в целых числах имеет не только теоретический интерес. Такие уравнения встречаются в различных областях знаний.

1.2 Основные теоремы решения неопределенных уравнений

Неопределенными уравнениями первой степени с двумя неизвестными называют уравнения вида ax+by=с, где a, b, c - числа из некоторой данной совокупности (действительные, рациональные, целые и т.п.), причем a и b не равны нулю. Решениями неопределенного уравнения называют любые пары чисел (a;β), принадлежащих данной совокупности, которые удовлетворяют уравнению.

Выясним прежде всего, как выглядят решения этого уравнения в случае, когда a, b, c – действительные числа. Решим его относительно, какого угодно неизвестного. Например, для y получим:

y = . (1)
Это выражение показывает, что y однозначно зависит от x, само же x может быть совершенно произвольным. Следовательно, если a, b, c – действительные числа, то уравнение имеет бесконечное множество решений:
(r; ), (2)
где r - произвольное действительное число.

Если a, b, c – рациональные числа, то естественно рассматривать рациональные решения уравнения. Очевидно, что они задаются самой формулой (r; ), где на сей раз r – произвольное рациональное число.

Гораздо содержательнее и интереснее случай, когда коэффициенты a, b и c – целые числа и требуются найти целые решения уравнения. Задачу нахождения целых чисел уравнений можно переформулировать следующий образом: из бесконечного множества действительных решений уравнения выделить только целые. Ясно, что такое ограничение значительно уменьшает число решений.

Прежде всего, выясним, всегда ли возможно решить неопределенное уравнение в целых числах. Ответом на этот вопрос служат следующие теоремы.

Теорема 1.Если свободный член с неопределенного уравнения ax+by=с не отделится на наибольший общий делитель коэффициентов a и b, НОД(a;b), то уравнение не имеет целых решений.

Доказательство. Пусть d=НОД (a;b), так что a=md, b=nd, где m и n – целые числа. Тогда наше уравнение принимает вид:
mdx+ndy=c, (3)

или

d(mx+ny)=c. (4)
Допустив, что существуют целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению, мы получим, что коэффициент c делится на d. Полученное противоречие доказывает теорему.

Если три коэффициента a, b и c имеют общий множитель, то по сокращению на него может оказаться или что коэффициенты a и b имеют общий множитель, или что a и b – взаимно просты. В первом случае, по предыдущей теореме, уравнение не имеет целых решений. Во втором случае мы приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Если коэффициенты a и b неопределенного уравнения ax+by=с являются взаимно простыми числами, то уравнение имеет, по крайней мере, одно целое решение.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что a>0. Решив уравнение относительно x, получим:

x= . (5)
Докажем, прежде всего, что если в эту формулу вместо y подставлять все натуральные числа, меньшие а, т.е. числа 0,1,2, …, а-1, и каждый раз совершать деление, то все а остатков будут различны. В самом деле, подставим вместо у какие-нибудь два числа , меньшие а (из множества 0, 1, 2, …, а-1). В результате мы получим две дроби:
и . (6)
Выполнив деление и обозначив неполные частные через q1 и q2, а остатки – через r1 и r2, найдем:
и (7)
Предположим, что остатки r1 и r2 равны. Тогда, вычитая второе равенство из первого, получим:
- = q1-q2 (8)

или

= q1-q2 (9)
Так как q1-q2 – число целое, то и левая часть должна быть целым числом. Стало быть b(m2-m1), должно делиться на a. Но числа a и b – взаимно просты, следовательно, m2-m1 должно делиться на а, т.е. разность двух натуральных чисел, каждое из которых меньше а, должна делиться на а, что невозможно. Значит, r1 не может равняться r2, т.е. все остатки различны.

Итак, мы получили а различным натуральных остатков, меньших а. Но различные а натуральных чисел, не превосходящие а, суть не что иное, как числа 0, 1, 2, …, а-1. Следовательно, среди остатков непременно найдется один и только один, равный нулю. Значение у, подстановка которого в выражение (cby)/а дает остаток 0, превращает x=(c-by)/а в целое число. Итак, а и b взаимно просты, то уравнение действительно допускает целые решения, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Неопределенное уравнение ax+by=с, в котором а и b являются взаимно простыми числами, допускает бесконечное множество целых решений. Все эти решения задаются формулами:
х=a+bt и y=β-at, (10)
где (а; β) – некоторое решение уравнения, а t – произвольное целое число.

Доказательство. Так как по условию пара (а; β) является решением нашего уравнения, то подстановка х=а, у= β в уравнении дает тождество:
ах+bβ =c. (11)
Вычитая это тождество из нашего, имеем:
а(х-а)+b(y-β)=0, (12)

откуда:

х=а+ . (13)
Чтобы х было целым числом, необходимо, чтобы b(β-y)/а было целым, т.е. чтобы произведение b(β-y)/ делилось на а без остатка. Но а и b – взаимно простые числа; стало быть для этого необходимо, чтобы b(β-y)/а равнялось некоторому числу. Обозначим это целое число через t:
=t. (14)
Тогда y=β-at и, следовательно:
х=a+ =a+bt. (15)
Что и требовалось доказать.

Доказанная выше теорема 1 утверждает, что условие НОД (а;b)=1 является необходимым условием для решимости неопределенного уравнения в целых числах. Теорема 2 утверждает, что это условие является достаточным. Теорема 3 позволяет использовать метод подбора при решении неопределенных уравнений.

2. Практические аспекты решения неопределенных уравнений в целых числах

2.1 Решение неопределенных уравнений с помощью перебора вариантов

и метода остатков

Неопределенным уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y будем называть уравнение вида:
mx  ny  k, (16)
где m, n, k, x, y  Z.

Будем считать, что m и n – взаимно простые числа. Если это не так, то всегда можно сократить обе части уравнения на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n (если при этом в правой части получится нецелое число, то такое уравнение не будет иметь решений). Далее метод решения зависит от того, насколько большие модули чисел m и n. Если хотя бы один из коэффициентов (пусть m) невелик по модулю, перепишем уравнение в виде:
mx  k  ny. (17)
Левая часть полученного уравнения (17) делится нацело на m. Значит, должна делиться нацело на m и правая часть этого уравнения. Рассматривая всевозможные остатки l от деления y на m; l  0,1,...,m 1, получим, что при одном значении l из указанного промежутка будет делиться на m и правая часть. Поскольку число m невелико по модулю, то и перебор вариантов тоже невелик.

Со способом перебора различных вариантов обучающиеся знакомятся уже в начальной школе, где им предлагается перебрать всевозможные варианты рассаживания гостей, похода в кинотеатр, способов времяпрепровождения, деления конфет между детьми и т. д.

Покажем метод перебора вариантов на следующих примерах.

Пример 1. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Решение:

1) Составим уравнение с двумя неизвестными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов: 4x  2y 18, или 2x  y  9.

2) Выразим y через х: y  9  2x.

3) Далее воспользуемся методом перебора: неположительные значения для x мы брать не можем (количество ног не может быть 0 или отрицательным), а также x > 4 (иначе значение y получится отрицательным). Таким образом, задача имеет четыре решения (табл. 1).
Таблица 1 – Решение методом перебора

х	1	2	3	4
у	7	5	3	1

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение 5x  8y  39.

Решение:

Перепишем уравнение в виде 5x  398y.

Чтобы в условиях задачи уравнение имело смысл, y должен быть меньше или равен 4, но больше 0: 0 < y ≤ 4.

Проведем перебор по неизвестной y:

Если y = 1, x  (39-8у)/5 = (39-8*1)/5  6,2  не является натуральным числом. Если y = 2, то x = 4,2 – не натуральное число. Если y = 3, то x = 3 – натуральное число. Если y = 4, то x = 1,42 – не натуральное число.

Ответ: (3; 3).

Покажем применение метода остатков на следующей задаче:

Задача: При делении на 2 число дает остаток 1, а при делении на 3 - остаток 2. Какой остаток дает это число при делении на 6?

Решение:

Так как при делении целого числа на 6 можно получить один из остатков: 0, 1, 2, 3, 4 и 5, то множество целых неотрицательных чисел можно разбить на 14 непересекающиеся подмножества чисел вида 6k , 6k 1, 6k  2,6k 3 , 6k  4 и 6k 5 , где k = 0, 1, 2, 3, … . Так как при делении на 2 данное число дает остаток 1, то оно нечетное, поэтому остается рассмотреть числа вида 6k 1, 6k 3 и 6k 5 . Числа вида 6k 1 при делении на 3 дают остаток 1, числа вида 6k 3 кратны 3 и только числа вида 6k 5 при делении на 3 дают остаток 2. Следовательно, число имеет вид 6k 5 , т.е. при делении на 6 дает остаток 5.

Ответ: Если при делении на 2 число дает остаток 1, а при делении на 3 – остаток 2, то при делении на 6 число остаток 5.

2.2 Применение алгоритма Евклида при решении неопределенных уравнений

В 6 классе учащиеся умеют находить наибольший общий делитель двух натуральных чисел с помощью разложения этих чисел на простые множители. Но у этого способа есть существенный недостаток: если данные числа велики, да еще не очень легко раскладываются на множители, то задача отыскания НОД (а, b) становится довольно трудной. В этом случае, на помощь приходит более универсальный метод: Алгоритм Евклида.

Таким образом, можно найти наибольший общий делитель натуральных чисел а и b, не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком.

Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка (т.к. остатки убывают, то это на каком – то шаге случится). Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД (а, b). Чтобы доказать это утверждение, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если а >b, то:
а = bq₀ + r₁, (18)

b = r₁*q₁ + r_2, (19)

r₁ = r₂* q₁ + r₃. (20)

r_n-1 = r_n* q_n. (21)
Здесь r₁, …, r_n – положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел а и b делит r₁ и общий делитель b и r₁ делит а, поэтому НОД (а, b) = НОД (b, r₁). Переходя к следующим равенствам системы, получаем: НОД (а, b) = НОД (b, r₁) = НОД (r₁, r₂) =…= НОД (r_n-1, r_n) = НОД (r_n, 0) = r_n. Таким образом, решая диофантовы уравнения первой степени ax  by  с можно применять следующие теоремы:

Теорема 1. Если НОД (a, b) = 1, то уравнение ax by 1 имеет, по меньшей мере, одну пару (x, y) целого решения.

Теорема 2. Если НОД (a, b) = d > 1, и число с не делится на d, то уравнение ax  by  c не имеет целого решения.

Теорема 3. Если НОД (a, b) = 1,то все целые решения уравнения ax  by  c определяются формулой (рис. 1).


Рисунок 1 – Система уравнение теоремы 3
Пример 1. Требуется найти целое решение уравнения:

15x + 37y =1

Воспользуемся разложением единицы:

1 =15*5 + 37*(-2) .

Ответ:

x = 5, y = -2 .

Пример 2. Найти наибольший общий делитель d чисел 27 и 96 и представить его в виде d  27x  96y , где x и y – целые числа.

Решение: Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель d чисел 27 и 96: 96 = 3*27 + 15, 27 = 1*15 + 12, 15 = 1+12 + 3, 12 = 4*3. Отсюда получаем, что d = (27, 96) = 3.

Начиная с первого равенства алгоритма Евклида, спускаясь до последнего, получаем: 15 = 96 – 3*27, 12 = 27 – 1*15 = 27 – 1* (96 – 3*27) = 4 * 27 – 1*96, 3 = 15 – 1*12 = (96 – 3*27) – 1*(4*27 – 1*96) = –7*27 + 2*96. Это и есть искомое представление 3 = –7*27+2*96. То есть x = –7, y = 2.

Ответ: d = (27, 96) = 3; 3 = 27x + 96y, где x = –7, y = 2.

2.3 Решение неопределенных уравнений с помощью цепных дробей

Первое понятие о (долях) дробях даётся учащимся в третьем классе. В курсе математики 5 – 6 классов учащиеся более полно знакомятся с понятием «обыкновенная дробь», «десятичная дробь». Изучение конечных цепных дробей в школе можно организовать с помощью краткого элективного курса для 10 – 11 классов, цель которого – дать учащимся, проявившим интерес к математике, возможность углублённого изучения основного курса путём рассмотрения заданий, требующих нестандартного подхода при своём решении. Другой важной целью изучения конечных цепных дробей является формирование мировоззрения обучающихся, развитие их логического мышления.

Достижению этих целей служат специально подобранные задания, решение которых требует дополнительных знаний, полученных в данном курсе, что развивает сообразительность, логическое мышление и стремление к самосовершенствованию. Рассмотрим применение метода цепных дробей к решению неопределенных уравнений. Дробь можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби:
(22)
Из второго равенства в (22) имеем:
= q1+1/(r1/r2). (23)
Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к знаменателю q_n. В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем в виде (рис. 2).


Рисунок 2 – Метод цепных подстановок – цепная конечная дробь
Ввиду громоздкости развернутой записи цепной дроби применяют компактную запись a/b = [q0; q1, q2, … , qn].

Уравнение: ax  by  c с взаимно простыми коэффициентами a и b имеет решение х₀ = (-1)ⁿcQ_n-1.

Пример. Для перевозки большого количества контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены трехтонные машины. Можно ли ими загружать машины полностью?

Решение:

Пусть х и у – количество контейнеров по 170 и 190 кг соответственно, тогда имеем уравнение 170x 190y  3000. После сокращения на 10 уравнение выглядит так: 17x 19y  300 . Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби 17/19 в цепную дробь:

17/19 = 1/(1+2/17) = 1/(1+1/(8+1/2)).

Сворачиваем предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную: 1/(1+1/8)=8/9.

Частное решение данного уравнения имеет вид:

х⁰ = (–1)⁴300*9 = 2700, у₀ = (–1)⁵300*8 = –2400. А общее задается формулой х = 2700 – 19k, y = –2400 + 17k.

Откуда получаем условие на параметр k: 141<2400/17≤ k≤2700/19 . Т.е. k = 142, x = 2, y = 14.

Ответ: Да, можно. Потребуется 2 контейнера по 170 кг и 14 по 190 кг.

2.4 Использование способа рассеивания (размельчения) для решения неопределенных уравнений

Впервые способ рассеивания (размельчения) применил индийский математик Ариабхатта в начале VI века. Данный метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными. В школьном курсе математики данный метод не рассматривается, но его также можно рассмотреть на курсе по выбору для учащихся 10 – 11 классов. Алгоритм, основанный на последовательном уменьшении по модулю коэффициентов уравнения при неизвестных:

1. Выбор наименьшего по модулю коэффициента (пусть |m| < |n|).

2. Проведение процедуры уменьшения коэффициентов. Это делается с помощью деления с остатком. Пусть n  l m  q , где 0  q  m 1 , тогда mx  ny  k  mx (l m  q)y  k  mx l m y  k  qy . Левая часть последнего уравнения делится на m. Значит, должна делиться на m и правая часть: k  qy  mt , где t  Z , t – новая переменная.

3. Повторение процедуры уменьшения коэффициентов. Новое уравнение отличается от старого только тем, что его коэффициенты по модулю меньше коэффициентов старого. За конечное число шагов добьемся того, что коэффициент при одном из новых неизвестных будет равен 1.

4. Возврат от новых переменных к исходным.

Продемонстрируем его на примере решения следующих примеров.

Пример: Найти два числа, если разность произведений второго на 79 и первого на 23 равна 1.

Решение:

Возьмем за x – первое число, за y – второе число, тогда нам требуется решить уравнение: 79y – 23x = 1.

Проведем деление с остатком: 79  23*310 и перепишем исходное уравнение в виде 23x  79y 1  (23*310)y 1  69y 10y 1 ↔ 23x – 69y = 10y –1.

Левая часть последнего уравнения кратна 23, поэтому должна быть кратна и правая часть: 10y – 1 = 23t или 10y = 23t + 1, где t  Z – новое неизвестное. Полученное новое уравнение по типу точно такое же, как исходное. Однако коэффициенты при неизвестных в нем уменьшились по модулю (измельчились).

Повторим процедуру уменьшения коэффициентов еще раз: 10y = 23t + 1 = (10*2 + 3)t + 1 ↔ 10y – 20t = 3t + 1 → 3t + 1 = 10u, где u Z – новое неизвестное.

Повторим процедуру уменьшения коэффициентов в последний раз: 3t + 1 = 10u = (3*3 + 1)u ↔ 3t – 9u = u – 1 → u – 1 = 3v, vZ .

Осталось выразить x и y через v.

Поскольку u = 3v + 1, то 1. 3t = 10u – 1 = 10(3v + 1) – 1 = 30v + 9 → t = 10v + 3. 2. 10y = 23t + 1 = 23(10v + 3) + 1 = 230v + 70 → y = 23v + 7. 3. 23x = 79y – 1 = 79(23v + 7) + 1 = 79*23v + 552 → x = 79v + 24.

Ответ: (79v + 24, 23v + 7), где v – целое число.

2.5 Метод разложения на множители

Применение метода разложения на множители при решении диофантовых уравнений. В курсе 7 класса учащиеся знакомятся с такими приемами как: вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения, способ группировки при изучении метода разложения на множители, когда начинают проходить тему «Многочлены». Перебрать все варианты при решении уравнения с двумя переменными не всегда легко. В том случае же, если уравнение имеет целочисленные решения, то перебрать их вовсе невозможно, так как таких решений бесконечно много. Поэтому существует еще один прием – метод разложения на множители.

Пример. Решить в целых числах уравнение x  y  xy .

Решение:

Произведем ряд преобразований исходного уравнения:

ху-х-у=0.

х(у-1)-у=0.

х(у-1)-у+1-1=0.

х(у-1)-(у-1)=1.

(у-1)(х-1)=1.

Запишем уравнение x  y  xy в виде (x 1)(y 1) 1. Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1 или –1. То есть исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:


Решение первой системы: x = 2, y = 2, т.е. пара (2; 2). Решение второй системы: x = 0, y = 0, т.е. пара (0; 0).

Ответ: (2; 2) , (0; 0).

Заключение

Проведя анализ периодической и учебно – методической литературы, мы пришли к выводу, что в настоящее время существуют различные способы решения неопределенных уравнений в целых числах, алгоритмы которых несложно запомнить.

При решении диофантовых уравнений первой степени чаще всего используют следующие методы и способы:

1. Осуществление перебора вариантов;

2. Применение метода остатков;

3. Применение способа рассеивания (измельчения).

А для решения диофантовых уравнений высших степеней существуют другие методы, а именно: применение метода разложения на множители, метод оценки, решение уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных.

Изучив контрольно – измерительные материалы ЕГЭ по математике, сборники заданий для подготовки к экзамену следующих авторов: Л. Д. Лаппо, А. Я. Савельев, Ю. В. Садовничий, А. В. Шевкин, И. В. Ященко и др., мы обнаружили, что уравнения в целых числах часто встречаются в заданиях ЕГЭ, при решении которых учащимся необходимо показать полноту своих знаний и умение применять на практике теорию по теме «Диофантовы уравнения». Также, задания, сводящиеся к решению неопределенных уравнений, часто встречаются на различных школьных олимпиадах по математике.

Следует отметить, что исследование алгоритмов решения неопределенных уравнений в целых числах может помочь при решении такого рода заданий, которые оцениваются в значительное количество баллов.

Задачи поставленные в работе решены, цель достигнута.

Список литературы

1. Абакумова, С. И. Диофантовы уравнения / С. И. Абакумова, А. Н. Гусева // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. – 2014. – Т. 1, №6. – С. 133–137.

2. Александров, В. А. Задачник – практикум по теории чисел: для студентов заочников физ. – мат. фак. пед. ин – тов / В. А. Александров, С. М. Горшенин. – Москва : Просвещение, 1972. – 80 с.

3. Баврин, И.И. Старинные задачи: книга для учащихся / И. И. Баврин, Е. А. Фрибус. – Москва : Просвещение, 1994. – 131 с.

4. Барабанов, Е.А. Задачи заключительного тура минской городской математической олимпиады школьников / Е.А. Барабанов, И.И. Воронович, В.И. Каскевич, С.А. Мазаник. – Минск : Ковчег, 2006. – 352 с.

5. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения / И. Г. Башмакова. – Москва : Наука, 1972. – 68 с.

6. Белкин, Е. Л. Теоретические предпосылки создания эффективных методик обучения / Е. Л. Белкин // Начальная школа. – Москва, 2001. – № 4. – С. 11–20.

7. Берлов, С. Л. Петербургские математические олимпиады / С. Л. Берлов, С. В. Иванов, К.П. Кохась. – Москва : Лань, 2003. – 532 с.

8. Бокарев, Н. Л. Некоторые классические диофантовы уравнения / Н. Л. Бокарев, Е. В. Буякова // Научно-методический электронный журнал концепт. – 2014. – Т. 26. – С. 56–60.

9. Брюно, А. Д. От диофантовых приближений до диофантовых уравнений / А. Д. Брюно // Чебышевский сборник. – 2016. – Т. 17, №3. – С. 38–52.

10. Бухштаб, А. А. Теория чисел : учебник для пед. вузов / А. А. Бухштаб. – Москва : Лань, 2008. – 384 с.

11. Васильев, Н. Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад / Н. Б. Васильев, А. А. Егоров. – Москва : Наука, 1998. – 288 с. 57

12. Васильев, Н. Б. Заочные математические олимпиады / Н. Б. Васильев, В. Л. Тутенмахер. – Москва : Наука, 1986. – 175 с.

13. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики : учеб. пособие для учащихся средней школы / Н. Я. Виленкин, И. Я. Депман. – Москва : Просвещение, 1996. – 320 с.

14. Власова, А. П. Решение уравнений в целых числах : учеб. пособие / А. П. Власова, Н. В. Евсеева, Н. И. Латанова. – Москва : издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. – 68 с.

15. Галламов, М. М. Линейные диофантовы уравнения с дополнительными условиями / М. М. Галламов // Математическое образование. – 2012. –№2. – С. 9–23.

16. Давыдов, В. В. Принципы обучения в школе будущего : хрестоматия по возрастной и педагогической психологии / В. В. Давыдов. – Москва : Педагогика, 2002. – 138 с.

17. Дендеберян, Н. Г. Проектирование элективного курса по решению математических задач с практическим содержанием в средней школе / Н. Г. Дендеберян, Е. В. Кострыкина // Методический поиск: проблемы и решения. – 2016. – №1. – С. 39–43.

18. Жмурова, И. Ю. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней / И. Ю. Жмурова, А. В. Ленивова // Молодой ученый. – 2014. – №9. – С. 1–5.

19. Избранные задачи по математике из журнала «American Mathematical Monthly» для школьных и студенческих олимпиад : сборник задач / Пер. с англ. / Под ред. и с предисл. В. М. Алексеева. – Москва : Едиториал УРСС, 2004. – 600 с.

20. Кирин, К. И. Цепные (непрерывные) дроби и диофантовы уравнения : материалы XXII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции «Инновации. Интеллект. Культура» / К. И. Кирин. – Тюмень : издательство Тюменского индустриального университета, 2015. – С. 279–281.

21. Кожаев, Ю. П. Греческий математик Диофант и диофантовы уравнения : материалы IV Всероссийской научно – практической конференции «Культура и общество: история и современность» / Ю. П. Кожаев, Ю. О. Новицка – Ставрополь : АГРУС. – 2015. – С. 150–154.

22. Кожегельдинов, С. Ш. Некоторые элементы теории диофантовых уравнений в упражнениях и задачах : учеб. пособие / С. Ш. Кожегельдинов. – Семипалатинск : Семей, 2003. – 83 с.

23. Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1600 лет / Б. А. Кордемский // Квант. – 1973. – №4. – С. 38 – 41.

24. Корянов, А. Г. Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) : пособие по решению заданий типа С6 / А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев. – Брянск, Москва : Просвещение, 2012. – 66 с.

25. Котлярова, Е. А. Методические особенности проведения спецкурса по теме «Диофантовы уравнения» / Е. А. Котлярова, О. Д. Роженко // Обучение и воспитание: методика и практика. – 2015. – №20. – С. 62–65.

26. Кузнецова, Л. В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс / Л. В. Кузнецова, Е. А. Бунимович, Б. П. Пигарев, С. Б. Суворова. – Москва : Дрофа, 2002. – 192 с.

27. Курбатова, Н. Н. Программа внеурочной деятельности по математике «Математика после уроков» / Н. Н. Курбатова // Молодой ученый. – 2016. – №16. – С. 343–351.

28. Лаппо, Л. Д. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Универсальные материалы с методическими рекомендациями, решениями и ответами : учебное пособие / Л. Д. Лаппо, М. А. Попов. – Москва : ЭКЗАМЕН, 2016. – 352 с.

29. Малинин, В. А. Подготовка учащихся 9-11 классов к математическим олимпиадам. Задачи с целыми числами : учеб. пособие / В. А. Малинин. – Нижний Новгород : Нижегор. гуманитар. центр, 2000. – 69 с.

30. Мамедяров, Д. М. Оригинальное решение одного уравнения / Д. М. Мамедяров // Естественные и математические науки в современном мире. – 2014. – №24. – С. 30–36.