Задача по сопромату. РЕШЕНИЕ_9. Решение. Определим число лишних связей (степень статической неопределимости). S С у 431

• Название: Решение. Определим число лишних связей (степень статической неопределимости). S С у 431
• Анкор: Задача по сопромату
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 0.72 Mb.
• Имя файла: РЕШЕНИЕ_9.doc
• Тип: Решение; #844110

Задание
Жесткий брус, весом и деформацией которого можно пренебречь, прикреплен к неподвижной опоре и двум стержням при помощи шарниров. Определить напряжения в стержнях при следующих данных:

Задача 1. Расчет системы при действии внешней силы

С
тержни стальные с площадью поперечного сечения А₁ = 8∙10^-4 м²;
А₂ = 1∙10^-3 м². В правом крайнем шарнире бруса АВ приложена вертикальная сила F = 80 кН, направленная вниз.


Рис. 1


Решение.

1. Определим число лишних связей (степень статической неопределимости).

S = С – У = 4–3=1.

Система один раз статически неопределима.

Определим усилия в стержнях. Отбрасываем мысленно закрепления стержней и заменяем их действие неизвестными усилиями N₁ и N₂, направленными вдоль стержней(рис. 2). Ограничимся составлением одного уравнения равновесия статики (реакции опоры А определять не будем).


Рис. 2



(1)

Уравнение содержит два неизвестных, для раскрытия статической неопределимости рассмотрим условие совместности деформаций и перемещений заданной системы.

П
ренебрегая деформацией бруса АB (брус абсолютно жесткий), получаем при его повороте относительно опоры А под действием внешней нагрузки однозначную зависимость между перемещениями точек C и В, т.е. между деформациями стержней 1 и 2 (рис.3).


Рис. 3


Стержни удлинились на величину l₁иl₂соответственно. Перемещение точки С в положение С₁определяет деформацию l₂стержня 2. Для выделения на плане перемещений системы деформации стержня 1 из конца стержня (точка В) до деформации необходимо опустить перпендикуляр на его конечное положение (пунктирная прямая).

Уравнение совместности деформацией составим, используя подобие треугольников АCC₁и АBВ₁ :

; где ;

Отсюда .

Выразим деформации l₁иl₂по закону Гука через усилия N₁ и N₂.



с учетом того, что (оба стержня стальные);

. (2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) определим искомые усилия.

Подставляя в уравнение (1) получаем:



кН;

тогда кН.

Напряжения в сечении первого стержня:

МПа;

Напряжения в сечении второго стержня:

МПа.

Задача 2. Расчет системы с учетом неточности изготовления стержней

Стержни стальные с площадью поперечного сечения А₁ = 1∙10^-3 м²;
А₂ = 1,2∙10^-3 м². Первый стержень изготовлен короче проектного размера на
величину  = 2 мм, модуль упругости первого рода Е = 2∙10⁵ МПа.

Д
ля выяснения направления сил, которые возникают в стержнях при сборке системы, предположим, что сборку осуществили, растянув стержень 1 на (рис.4).


Рис. 4

Когда растянутый стержень 1 был шарниром соединен с жестким брусом и внешняя нагрузка удалена, стержень в силу своей упругости поднял точку В бруса, повернув брус вокруг шарнира А и вызвал растяжение стержня 2. Полностью восстановить свою первоначальную длину стержень 1 не может - этому препятствует стержень 2, следовательно, стержень 1 остается растянутым на Dl₁< . Стержень 2 при этом также растянут. На рис. 4 дано положение бруса после сборки системы, все перемещения показаны весьма преувеличенными.

Усилия в стержнях строго согласованы со схемой деформаций. Ограничимся одним уравнением статики, связывающим два неизвестных усилия:

(3)

Уравнение совместности деформаций составим, рассматривая подобие треугольников АCC₁и АВВ₁:

где ; .

Тогда

(4)

Деформации в уравнении (4) выразим по закону Гука через усилия:

; (5)

с учетом того, что

МПа (оба стержня стальные).

Усилие N₂:

;



или после преобразований .

Подставляя этот результат в уравнение (3), находим монтажное усилие в стержне 1:



Н=168,75 кН.

Усилие в стержне 2: Н=112,5 кН.

Монтажные напряжения в стержнях:

в растянутом стержне 1: МПа;

в растянутом стержне 2: МПа.

Задача 3. Расчет системы с учетом перепада температур

Первый стержень стальной, второй медный. Площадь поперечного
сечения А₁ = А₂ =1,5∙10^–3 м². Система после сборки получила отрицательный
перепад температуры t = –50°С.

Модули упругости Е_C = 2∙10⁵ МПа, Е_M = 10⁵ МПа, коэффициенты
линейного расширения _C = 125∙10^–7 град^–1; _М = 160∙10^–7 град^–1.

Так, как температура системы понижается, то оба стержня будут укорачиваться от понижения температуры. При укорочении стержней, они будут воздействовать друг на друга через недеформируемый стержень АB. Вследствие этого, в обоих стержнях будут возникать дополнительные силы растяжения.

Представим систему в деформированном виде (рисунок 5). При охлаждении на 50°С стальной стрежень укоротился бы на величину , если бы ему не препятствовал медный стержень, что и показано на рисунке, а медный стержень укоротился бы на величину , если бы ему не мешал стальной стержень (рисунок 5).

Т
ак как коэффициент термического расширения меди больше, чем стали, то брус в конечном итоге переместится вниз, как показано на рисунке 5. И деформации медного и стального стержней будут иметь меньшие значения на величины соответственно, следовательно, оба стержня работают на растяжение.


Рис. 5


Направления внутренних температурных усилий в стержнях всегда согласованы со схемой деформаций стержней.

Используем только одно уравнение равновесия статики:

(6)

Уравнение совместности деформаций составим, рассматривая подобие треугольников АCC₁и АВВ₁:

где ; .

Тогда (7)

Деформации в уравнении (7) выразим по закону Гука через усилия:

(8)

с учетом того, что

,



или после преобразований .

Подставляя этот результат в уравнение (6), находим температурное усилие в стержне 2:



Н=51,1 кН.

Усилие в стержне 1: Н=169,03 кН.

Температурные напряжения в стержнях:

в стержне 1 МПа;

в стержне 2 МПа.