Механика сплошных сред. Семестровая работа. Решение Составим матрицу тензора напряжений
![]()
|
![]() Дано: Компоненты тензора напряжений σx = 80 МПа; σy = 70 МПа; σz = -60 МПа; τxy = -30 МПА; τxz = 0; τyz = 0 МПа. Определить: Аналитическая часть: написать кубическое уравнение, определить главные нормальные напряжения; определить направляющие косинусы; определить взаимное расположение главных и заданных случайных осей (x,y,z). Графическая часть: по найденным главным напряжениям построить круги мора; с помощью кругов мора определить значение нормального σn и касательного τn напряжений на площадке с направляющими косинуса a1 = 0,5; a2=0,707; a3=0,5. Решение: Составим матрицу тензора напряжений ![]() Нарисуем элементарный объем – картина напряжений Очевидно, что на площадке z τ = 0 МПа. Значит, эта площадка является главной, а действующее на ней напряжение является одним из тройки главных нормальных напряжений. Примем что одно из главных σ’= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Получаем кубическое уравнение в числовом виде: ![]() Поскольку одно из главных напряжений направлено по оси z, очевидно что 2 других расположены в плоскостях x, y, т.е. можно найти их решая плоскую задачу теории плоского напряженного состояния в плоскости xy. ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, учитывая неравенство ![]() ![]() Поверки: 1) ![]() ![]() 2) ![]() Совпадает 4275 ≈4300МПа2; Погрешность составляет ![]() 3) ![]() Совпадает – 282000 = - 282000МПа3. Таким образом, 3 проведенные проверки показали, что корни кубического уравнения вычислены правильно. При этом ось «3» совпадает с осью z случайной системой координат, а оси «1» и «2» расположены в плоскости xy (но как пока не известно). Что бы установить их расположение проделываем следующий анализ, т.е. определим направляющие косинусы «2» и «1» главных осей: Для площадки 1 ![]() Для площадки 2 ![]() Из уравнений [(6) и (7)] очевидно, что ![]() ![]() Вывод: Если ![]() Этот вывод совпадает с ранее принятым утверждением, что ![]() ![]() Решаем первые 2 уравнения из группы (6), (7) используя условие ![]() ![]() ![]() ![]() Выражаем ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, угол между осями «x» и «1» α1 = arccos ![]() Определим направляющий косинус между «y» и осью «3» ![]() Проверка 1 ![]() Таким образом, 1 проверка удовлетворяется. Тогда угол между осями «x» и «2» α2 = arccos ![]() Проверка 2 α2’+ α1’= 85 + 0 = 84ᵒ, погрешность составляет ![]() Из группы формул (7) получаем: ![]() ![]() ![]() подставим ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, угол между осями «y» и «1» α1 = arccos ![]() Определим направляющий косинус между «y» и осью «3» ![]() Проверка 1 ![]() Таким образом, 1 проверка удовлетворяется. Тогда угол между осями «y» и «2» α2 = arccos ![]() Проверка 2 α2’’+ α1’’= 85 + 0 = 84ᵒ, погрешность составляет ![]()
|