практикум. Практика №4. Решение так же, как и для нормального распределения, в таких задачах вводится нормированная погрешность

• Название: Решение так же, как и для нормального распределения, в таких задачах вводится нормированная погрешность
• Анкор: практикум
• Дата: 05.05.2022
• Размер: 303.12 Kb.
• Имя файла: Практика №4.docx
• Тип: Закон; #514247

Обработка многократных измерений.

Особенностью измерений является то, что истинное значение физической величины на самом деле неизвестно, однако чем больше измерений проведено, тем более точные измерения могут быть получены путем соответствующей математической обработки. То же самое касается и параметров законов распределения. Для получения истинных значений физической величин и параметров законов распределения средств измерений количество измерений должно быть равно бесконечности, что невозможно, на практике число измерений всегда ограничено. соответственно, законы распределения требуют уточнения. Такая задача полностью решена для нормального распределения путем введения уточняющего закона распределения, известного как распределение Стьюдента. Так же, как и нормальное, оно является табличным, и задачи, связанные с ним, решаются так же, как для нормального, но при этом в таблице появляется параметр N – количество измерений. Ниже показан сравнительный график распределения Стьюдента при различном количестве измерений и нормального распределения, из которого видно, что при числе измерений более 20 эти распределения практически совпадают.



Задача: среднеквадратическая погрешность равна 10мВ. N=10. Закон распределения нормальный. Найти доверительный интервал для доверительной вероятности 0,95.

Решение: так же, как и для нормального распределения, в таких задачах вводится нормированная погрешность t=x/, которая зависит от доверительной вероятности и количества измерений. В данном случае эта величина называется коэффициентом Сьюдента и обозначаетсяt_p,N.

В таблице распределения Стьюдента находим значениеt_p,N (таблица есть в электронном курсе) :

для p=0,95 и N=10 t_p,N=2,262.

Далее находим доверительный интервал:

U= t_p,NS_U=2,262*10мВ=22,62мВ

Ответ: U=22,62мВ

В следующей задаче показан алгоритм обработки многократных измерений:

Задача: В результате прямых многократных равноточных наблюдений получены следующие значения частоты: 20,5; 20,2; 20,0; 19,5; 19,8; 20,0; 18,6; 20,1; 19,9; 20,0; 20,1; 19,9; 20,0 [кГц]. Систематические погрешности отсутствуют. Определить результат измерения для доверительной вероятности Р_д=0,9

Решение:

1.Упорядочиваются данные и вносятся в таблицу

Таблица 1

f, кГц	f-fср, кГц, 1-й этап	f-fср, кГц, 2-й этап
18,6	-1,29
19,5	-0,39	-0,5
19,8	-0,09	-0,2
19,9	0,01	-0,1
19,9	0,01	-0,1
20,0	0,11	0
20,0	0,11	0
20,0	0,11	0
20,0	0,11	0
20,1	0,21	0,1
20,1	0,21	0,1
20,2	0,31	0,2
20,5	0,61	0,5

2. Определяются точечные оценки.

Сначала вычисляется среднее значение



Затем для каждого значения вычисляется разность f-fср и заносится в таблицу 1.

После вычисляется среднеквадратическая погрешность



3. Определение грубых погрешностей. Задача отсева грубых погрешностей возможна не для все распределений, но для нормального есть готовое решение в виде табличного критерия максимальных нормированных отклонений.

Сначала рассчитывается максимальное нормированное отклонение:



Затем полученное значение сравнивается с предельно допустимым значением из таблицы, которое дано для своих значений доверительной вероятности и количества измерений. Таблица есть в электронном курсе. Если *>p,N, то результат содержит грубую погрешность.

- результат содержит грубую погрешность, его нужно убрать и вернуться к расчету точечных оценок без него.

_{Новое среднее значение} , для него рассчитывается разность f-f_ср и заносится в таблицу 1, затем вычисляется новая среднеквадратическая погрешность:

_{Далее снова проверяются грубые погрешности:}



- грубых погрешностей нет, значит можно переходить к следующему этапу

Пункты 2 и 3 повторяются до тех пор, пока не останется грубых погрешностей.

4. Определение среднеквадратической погрешности среднего значения:



5. Определение коэффициента Стьюдента: для p=0,9 и N=12 t_p,N=1,796

Определение доверительного интервала среднего значения

f_ср= t_p,NS_U=1,796*0,0684кГц=0,123кГц

6. Запись результата измерений, в качестве измеренного значения пишется среднее, в качестве погрешности – доверительный интервал среднего значения, погрешность и измеренное значение округляются в соответствии с правилами: , p=0,9, N=12.

Ответ: , p=0,9, N=12.

Нередко бывает ситуация, когда имеющиеся под рукой средства измерения не обеспечивают требуемой точности измерений, однако данная проблема легко решается при помощи многократных измерений с последующей математической обработкой, при этом нужно знать, сколько измерений потребуется сделать, чтобы добиться требуемой точности.

Задача: Каков должен быть объем выборки N, чтобы с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания результата измерения ΔХ_ср= ±1, если S_X= ±5.
Решение: записывается выражение для доверительного интервала:



В данном выражении получается два неизвестных – количество измерений и коэффициет Стюдента, который зависит от количества измерений. Найти количество измерений можно методом последовательных приближений, но для этого нужно задаться приближенным значением коэффициента Стьюдента, это можно сделать, зная, что распределение Стьдента является уточнением нормального распределения, следовательно, вместо коэффициента Стьдента можно на первом этапе взять значение интеграла Лапласа для соответствующей доверительной вероятности, тогда получим:



Для полученного количества измерений можно уточнить коэффициент Стьюдента и снова посчитать уже новое количество измерений, однако этот процесс может повторятся несколько раз, поэтому здесь можно остановиться на результате N=96, тем более, что при расчете необходимого числа измерений необходимо добавлять запас на вероятность появления грубых погрешностей.
Ответ: N>96

Задача: С помощью вольтметра, имеющего СКП ±0,01 В, по результатам 15 измерений получена оценка напряжения с границами доверительного интервала ΔU=±0,005 В. Сколько потребуется измерений, чтобы такая же точность с той же доверительной вероятностью была получена другим вольтметром с СКП ±0,011 В
Решение:

Записывается выражение для доверительного интервала первого средства измерения, из него ищется соответствующий коэффициент Стьюдента, затем по таблице ищется соответствующая доверительная вероятность:



После нахождения доверительной вероятности задача решается так же, как предыдущая



Поскольку при этом получился практически тот же результат, что и для первого прибора, коэффициент Стьюдента следует уточнить:



Ответ: N2>18