Олимпиадные задания Математика. Текстовый разбор. Математика. 11 класс. Группа 4. Решение. Уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда дискриминант
 Скачать 199.07 Kb.
|
|
Школьный этап ВСОШ по математике, 2022-2023 учебный год, 11 класс. 1.1. При каком наименьшем натуральном значении 𝑏 уравнение 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 25 = 0 имеет хотя бы один корень? Ответ: 10 Решение. Уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда дискриминант 𝐷 = 𝑏 2 −4·25 = = 𝑏 2 − 100 больше или равен 0. Для положительных 𝑏 это условие эквивалентно условию 𝑏 ⩾ 10. 2.1. Каждый месяц Иван платит фиксированную сумму из своей зарплаты за ипотеку, а остальная часть зарплаты тратится на текущие расходы. В декабре Иван заплатил за ипотеку 40 % своей зар- платы. В январе зарплата Ивана увеличилась на 9 %. На сколько процентов в январе увеличилась сумма, потраченная на текущие расходы (по сравнению с декабрьской)? Ответ: 15 Решение. Примем декабрьскую зарплату Ивана за 100𝑟. Тогда за ипотеку Иван заплатил 40𝑟, и в декабре на текущие расходы он потратил 60𝑟. В январе зарплата Ивана составила 109𝑟, значит, на текущие расходы он потратил 109𝑟 − 40𝑟 = 69𝑟. Таким образом, сумма, потраченная на текущие расходы, выросла на 9𝑟, что составляет 9 60 часть от декабрьской или 15 процентов. 3.1. Известно, что площадь закрашенной области фигуры равна 32 𝜋 , а радиус меньшей окружности в 3 раза меньше радиуса большей окружности. Чему равна длина меньшей окружности? Ответ: 4 Решение. Радиус меньшей окружности обозначим за 𝑅, тогда радиус большей равен 3𝑅. Площадь мень- шего круга равна 𝑆 1 = 𝜋𝑅 2 , а площадь большего — 𝑆 2 = 𝜋(3𝑅) 2 = 9𝜋𝑅 2 . Тогда площадь закрашенной части равна 𝑆 2 − 𝑆 1 = 8𝜋𝑅 2 . Имеем 8𝜋𝑅 2 = 32 𝜋 , откуда (𝜋𝑅) 2 = 4 и 𝜋𝑅 = 2. Значит, длина меньшей окружности равна 2𝜋𝑅 = 4. 4.1. В произведении 24 𝑎 · 25 𝑏 · 26 𝑐 · 27 𝑑 · 28 𝑒 · 29 𝑓 · 30 𝑔 вместо семи показателей 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 , 𝑔 поставили в некотором порядке семь чисел 1, 2, 3, 5, 8, 10, 11. Найдите наибольшее количество нулей, на которые может заканчиваться десятичная запись этого произведения. Ответ: 32 Решение. Простой множитель 5 входит в разложение этого произведения с кратностью 2𝑏 + 𝑔, поэтому в данном произведении не более 2𝑏 + 𝑔 нулей. Так как 𝑏 ⩽ 11 (наибольший из данных показателей) и 𝑏 + 𝑔 ⩽ 11 + 10 (сумма двух наибольших из данных показателей), то 2𝑏 + 𝑔 ⩽ 11 + 11 + 10 = 32. С другой стороны, например, произведение 24 8 · 25 11 · 26 1 · 27 2 · 28 3 · 29 5 · 30 10 оканчивается в точности на 32 нуля, поскольку простое число 5 входит в разложение этого произведения с кратностью 2 · 11 + 10 = 32, а простое число 2 входит в разложение этого произведения с кратностью 3 · 8 + 1 + 3 + 10 > 32. 5.1. На рисунке изображен график функции 𝑦 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) 2 (𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑)(𝑥 + 𝑒) Сколько среди чисел 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒 положительных? Ответ: 3 Решение. Из формулы видим, что функция 𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) 2 (𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑)(𝑥 + 𝑒) меняет знак в точках 𝑥 = −𝑎, 𝑥 = −𝑐, 𝑥 = −𝑑, 𝑥 = −𝑒, а 𝑥 = −𝑏 — корень уравнения 𝑓 (𝑥) = 0, в котором знак 𝑓 (𝑥) не меняется. Значит, точки 𝑥 = −𝑎, 𝑥 = −𝑐, 𝑥 = −𝑑, 𝑥 = −𝑒 соответствуют пересечению графика с осью 𝑂𝑥, а точка 𝑥 = −𝑏 — касанию графика оси 𝑂𝑥. Видим, что среди точек пересечения графика с осью 𝑂𝑥 ровно три левее оси 𝑂𝑦. Это значит, что среди чисел −𝑎, −𝑐, −𝑑, −𝑒 ровно три отрицательных. 6.1. Геометрическая прогрессия 𝑏 1 , 𝑏 2 , . . . такова, что 𝑏 25 = 2 tg 𝛼, 𝑏 31 = 2 sin 𝛼 для некоторого острого угла 𝛼. Найдите номер 𝑛, для которого 𝑏 𝑛 = sin 2𝛼. Ответ: 37 Решение. Пусть 𝑞 знаменатель нашей прогрессии. Используем то, что 𝑏 31 = 𝑏 25 𝑞 6 и sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼. Имеем 𝑞 6 = 𝑏 31 𝑏 25 = 2 sin 𝛼 2 tg 𝛼 = cos 𝛼. С другой стороны, sin 2𝛼 2 sin 𝛼 = cos 𝛼, откуда sin 2𝛼 = 𝑏 31 · 𝑞 6 = 𝑏 37 Видим, что 𝑛 = 37 подходит. Никакое другое 𝑛 не подходит, так как 0 < 𝑞 6 < 1, значит 0 < |𝑞| < 1, поэтому никакие два члена прогрессии не совпадают. 7.1. Дан прямоугольный параллелепипед 2 × 3 × 2 √ 3. Какое наименьшее значение может принимать сумма расстояний от произвольной точки пространства до всех восьми его вершин? Ответ: 20 Решение. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷 ′ — данный параллелепипед. Сумма расстояний от точки 𝑋 до двух противоположных вершин 𝐴 и 𝐶 ′ не меньше длины 𝐴𝐶 ′ , т.е. длины 𝑑 большой диагонали. Суммируя анало- гичные неравенства, имеем 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 + 𝑋𝐶 + 𝑋𝐷 + 𝑋𝐴 ′ + 𝑋𝐵 ′ + 𝑋𝐶 ′ + 𝑋𝐷 ′ = (𝑋𝐴 + 𝑋𝐶 ′ ) + (𝑋𝐵 + 𝑋𝐷 ′ )+ +(𝑋𝐶 + 𝑋𝐴 ′ ) + (𝑋𝐷 + 𝑋𝐵 ′ ) ⩾ 𝐴𝐶 ′ + 𝐵𝐷 ′ + 𝐶𝐴 ′ + 𝐷𝐵 ′ = 4𝑑. При этом равенство достигается, когда 𝑋 — это центр параллелепипеда. Остается посчитать 𝑑 = √ 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐷 2 + 𝐴𝐴 ′2 = 5, а тогда ответ 4𝑑 = 20. 8.1. Пусть 𝑛 = 34000. Среди вершин правильного 𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴 2 . . . 𝐴 𝑛 красным цветом покрашены вершины 𝐴 𝑖 , для которых номер 𝑖 является степенью двойки, т.е. 𝑖 = 1, 2, 4, 8, 16, . . . . Сколькими спосо- бами можно выбрать 400 вершин данного 𝑛-угольника так, чтобы они являлись вершинами правильного 400-угольника и ни одна из них не была красной? Ответ: 77 Решение. Всего есть 34000 400 = 85 вариантов выбора правильного 400-угольника. Рассмотрим один из этих вариантов, в котором номера вершин 400-угольника имеют вид 𝑎+85𝑘 для фиксированного 𝑎 ∈ {1, 2, . . . , 85}. Посмотрим, в каких вариантах будут красные вершины. Рассмотрим степени двойки, не превосходящие 34000: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, . . .. Они дают при делении на 85 остатки 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 43, 1, 2, . . . (начиная с 1, остатки повторяются, так как каждый следующий остаток получается из предыдущего умножением на 2 и взятием остатка при делении на 85). Таким образом, красные вершины в рассматриваемом 400-угольнике присутствуют тогда и только тогда, когда 𝑎 = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 43, т.е. в 8 вариантах. Поэтому ответ — 85 − 8 = 77. |