построения. Решение Уточним условие задачи. Даны отрезок и острый угол. Построить abc, такой что С90, A, ab

• Название: Решение Уточним условие задачи. Даны отрезок и острый угол. Построить abc, такой что С90, A, ab
• Дата: 18.01.2023
• Размер: 16.54 Kb.
• Имя файла: построения.docx
• Тип: Решение; #893550

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

46

Решение

Уточним условие задачи. Даны отрезок и острый угол . Построить ABC, такой что С=90, A=, AB=.

Анализ. Предположим, что ABC уже построен. Тогда точка C лежит на окружности, построенной на отрезке AB, как на диаметре, и кроме этого, CAB= (мы здесь обходимся без вспомогательного чертежа «от руки», т.к. будучи набранным на компьютере, он ничем не отличается от основного чертежа).

46

Построение. 1. Отрезок AB=.

• 
  2. O - середина отрезка AB.
  
• 
  3. Окружность =(O, OA).
  
• 
  4. От луча AB откладываем в любую из полуплоскостей BAM=.
  
• 
  5. AM=C.
  
• 
  6. ABC - искомый.
  

Доказательство. Согласно построению, С=90, A=, AB=, т.е. ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование. Данная задача всегда имеет решение. Два равных треугольника, удовлетворяющих условию считаем одним решением. Таким образом, задача имеет единственное решение при любом наборе данных и .

Упражнение. Используя это решение в качестве примера, выполните следующее построение.

Ещё один пример, иллюстрирующий схему решения.

Построение 14. Даны окружность =(O, ) и точка A. Построить касательную к , проходящую через A.

46

Решение

Анализ. Предположим, что касательная уже построена: это есть прямая l, которая касается окружности в точке P. Если мы найдём P, то задача будет решена (l=AP). То есть l является основным элементом построения. Мы знаем, что касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: lOP. Значит, OAP - прямоугольный точка P принадлежит окружности, построенной на отрезке OA, как на диаметре.

Построение. 1. O₁ - середина отрезка OA.

• 
  2. ₁=(O₁, OA).
  
• 
  3. P₁.
  
• 
  4. l=AP - искомая касательная.
  

Доказательство. Согласно построению, OAP - прямоугольный l=AP является касательной к .

Исследование. Данная задача имеет решение, если точка A находится вне окружности . При этом пересечение ₁ состоит из двух точек задача имеет два решения. Если точка A находится внутри окружности , то задача решений не имеет.