62(5кр_7в). Решение верное

• Название: Решение верное
• Дата: 04.03.2019
• Размер: 118.88 Kb.
• Имя файла: 62(5кр_7в).docx
• Тип: Решение; #69579

1. 
   Найти частные производные первого порядка для функции z = f(x, y).
   

2. 
   Найти частные производные второго порядка для функции z = f(x, y) и показать, что она удовлетворяет данному уравнению.
   

Проверяем уравнение:

Решение верное.

3. 
   Даны функция и точки А(4,1) и В(3,98;1,06). Требуется:
   

1. 
   Вычислить точное значение в точке В;
   
2. 
   вычислить приближенно значение функции в точке В, исходя из значения функции в токе А, и заменив приращение функции при переходе от токи А к точке В дифференциалом;
   
3. 
   оценить относительную погрешность вычислений в процентах;
   
4. 
   Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке С(4,1,z₀).
   

1. 
   
   
2. 
   Будем рассматривать z(В) как частное значение функции при x = 3,98 = x₁, у =1,06 = у₁. За x₀ принимаем число 4, за у₀ –число 1.
   

Тогда z(x₀,y₀) = ;

dx = x₁ – x₀ =3,98-4=-0,02,

dy = y₁ –y₀ =1,06-1=0,06



Тогда получим:

 z(x₀,y₀) +(x₀,y₀)dx+(x₀,y₀)dy=8+6*(-0.02)-1*0.06=7,82

3. 
   Оценим погрешность: или 0,04%
   
4. 
   Если поверхность задана уравнением  , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке  можно найти по следующей формуле:
   z - z₀ = f'_x(x₀,y₀,z₀)(x - x₀) + f'_y(x₀,y₀,z₀)(y - y₀)
   

– общее уравнение касательной плоскости.

Составим канонические уравнениянормали по точке  и направляющему вектору :



– уравнение нормали.

4. 
   Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области D. Сделать чертеж.
   

;

Д: ;



Найдём стационарные точки внутри области D.

Получили точку С (,) вне области D.

Найдём наибольшее и наименьшее значение функции на линиях, образующих границу области.

А) на линии у=1



не принадлежит области.

Б) на линии у=1-х



Решения нет.

в) на линии х=1





Найдем значения в угловых точках

Наибольшее значение находится в точке (1,1) и равно 3, наименьшее в точке (0,1) и равное -1.

5. 
   Исследовать функцию на экстремум при условии .
   

Составляем функцию Лагранжа:



Имеем следующие решения: ,



Рассмотрим достаточное условие экстремума, для этого найдём производные второго порядка.



При , значит, в этой точке условный максимум

При , значит, в этой точке условный минимум

6. 
   Дана функция , точка и вектор . Найти grad(z) в точке А и производную функции z в точке А по направлению вектора а.
   

Тогда единичный направляющий вектор:



Градиент равен .

Теперь находим производную по направлению:

7. 
   Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции
   

x	1	2	3	4	5
y	5,2	6,2	4,7	2,7	3,2

Применяя метод наименьших квадратов, найдём неизвестные параметры а и b.

х	у	Х2	ху
1	5,2	1	5,2
2	6,2	4	12,4
3	4,7	9	14,1
4	2,7	16	10,8
5	3,2	25	16
15	22	55	58,5

Составляем систему уравнений:



Т.о. Y=-0,72X+6.65.

Построим график функции:

8. 
   Вычислить двойной интеграл