Математика. Решение Вычислим определитель системы 5 1 9 15 0, значит, система имеет единственное решение. Вычислим x, y, z 1 1 9 5 1 9 x 7 1 2 15, y 3 7 2 60

• Название: Решение Вычислим определитель системы 5 1 9 15 0, значит, система имеет единственное решение. Вычислим x, y, z 1 1 9 5 1 9 x 7 1 2 15, y 3 7 2 60
• Анкор: Математика
• Дата: 26.04.2023
• Размер: 1.08 Mb.
• Имя файла: Математика.docx
• Тип: Решение; #1092540

Вариант 1.30

ЗАДАНИЕ 1

Дана система трех линейных уравнений. Найти решение двумя способами: 1) методом определителей, 2) средствами матричного исчисления.

1. 
   Решение системы методом определителей
   

Решение: Вычислим определитель системы Δ




Δ= = 5 -1 +9 = -15
Δ≠0, значит, система имеет единственное решение. Вычислим Δ_x, Δ_y, Δ_z
-1 1 9 5 1 9

Δ_x = -7 -1 2 = 15, Δ_y = 3 -7 2 = -60

-2 -1 -3 -2 -2 -3




5 1 -1

Δ_z = 3 -1 -7 = 0

-2 -1 -2

Решение системы:

х = = = - 1 y = = = 4 z = = = 0
Ответ: x = -1, y = 4, z = 0

2. 
   Решение систем матричным методом
   

Перепишем систему в виде АХ=В
А = Х = B =

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

А₁₁ = -1¹⁺¹ = 5
А₁₂ = -1¹⁺² = 5
А₁₃ = -1¹⁺³ = -5



А₂₁ = -1²⁺¹ = -6
А₂₂ = -1²⁺² = 3
А₂₃ = -1²⁺³ = 3
А₃₁ = -1³⁺¹ = 11
А₃₂ = -1³⁺² = 17
А₃₃ = -1³⁺³ = -8



Составим присоединенную матрицу :

А^* =
Определитель данной матрицы уже найден: Δ= -15

Найдем обратную матрицу А^-1:

А^-1 = А^*

А^-1 =
А^-1 =

Найдём Х:
X = A^-1 · B = =

Ответ: x = -1, y = 4, z = 0

ЗАДАНИЕ 2

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Надо средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра AB; 2) проекцию на ; 3) угол между ребрами AB и AD; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды ABCD. Сделать чертеж.

A(3; -4; 4), B(4; 3; -4), C(6; -2; -1), D(-4; -2; 3).

Решение:

Сначала выполним чертѐж.

1. 
   Найдем координаты вектора :
   

={4-3; 3-(-4);-4-4}= {1; 7; -8}, тогда длина ребра AB равна = =

2. 
   Найдем координаты векторов и .
   

= {-1; -7; 8}; = {-8; -5; 7}.

Вычислим проекцию на :

= = =
3) Найдем < BAD . Для этого вычислим координаты вектора

{-4-3; -2-(-4); 3-4}= {-7; 2; -1}, = {1; 7; -8},
= = =
< BAD = arccos
4) Для вычисления площади грани ABC возьмем любые два вектора, которые образуют эту грань, например и

Координаты вектора

={6-3; -2-(-4); -1-4} = {3; 2; -5}.
Найдем векторное произведение ∙
∙ =-19 - 19

= ед²
5) Координаты векторов , и найдены выше.

Вычислим их смешанное произведение:
∙ ∙ = = 114

Объем пирамиды равен = =19 ед³.
ЗАДАНИЕ 3

Даны координаты вершин треугольника ABC . Требуется найти: 1) уравнения сторон треугольника; 2) уравнение медианы AE ; 3) длину и уравнение высоты AK ; 4) внутренние углы треугольника ABC . Сделать чертеж.

А(5;1), В(-5; 4), С(5;7)

Решение:

1. 
   Найдем уравнение стороны AB: = . Запишем уравнение в общем виде: 3х + 10y -25 = 0
   

Найдем уравнение AC: = или y = 0
Найдем уравнение BC: = , т. е. 3х – 10y+55= 0
2) Найдем координаты точки E:

= = = 0 = = ; Е ={0;

Запишем уравнение AE:

= , или 4,5х + 5y - 27,5 = 0
3) Найдем длину высоты АК:
d = = = =
Придадим уравнению прямой ВС форму уравнения с угловым коэффициентом y = х + , откуда = . Угловой коэффициентом прямой АК равен = = = -

Уравнение (АК): y - = (х-
y- 0 = - (х- 5); 10х + 3y - 50= 0


4) Запишем уравнения сторон треугольника в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом:

(АС): y = 0, = 0

(АВ): y= - х + , = -
(ВС): y= х + , =
tg = = - , ,
tg = = , ,
tg = = , .
ЗАДАНИЕ 4



a = - 6, b= -18, c= -10.
Решение:

+ - 6x -18y – 10 = 0

- 6x + -18y – 10 = 0

- 2x∙3 + - - 2y∙9 + - – 10 = 0

- 2x∙3 + - 2y∙9 + = + + 10

(x -3)² + (y -9)² = 100

Центр окружности находится в т. C 3; 9 , радиус равен 10. Введем новые переменные x + 3 = X и y +9 = Y , тогда в новой системе координат XOY окружность примет вид X² + Y² = R². Центр ее совпадает с началом координат.