Вариант 8. Руководство торгового предприятия изучает статистические данные об объемах продаж холодильников П

• Название: Руководство торгового предприятия изучает статистические данные об объемах продаж холодильников П
• Дата: 12.02.2022
• Размер: 70.99 Kb.
• Имя файла: Вариант 8.docx
• Тип: Руководство; #359727

Вариант 8

Задача 1.

Руководство торгового предприятия изучает статистические данные об объемах продаж холодильников (П₁, П₂…, шт.) в зависимости от их цены (Ц₁, Ц₂…, тыс.руб.).

Требуется выполнить следующие действия.

1. 
   Представить полученные данные на координатной плоскости в виде поля корреляции.
   
2. 
   Вычислить коэффициент корреляции между рядами данных по ценам и объемам продаж и сделать вывод.
   
3. 
   Вычислить коэффициенты линейной парной регрессии, представляющей зависимость объема продаж от цены.
   
4. 
   Построить график регрессии на поле корреляции.
   
5. 
   Вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации и сделать вывод.
   
6. 
   Вычислить коэффициент детерминации и сделать вывод.
   
7. 
   Дать точечный прогноз объема продаж по цене, сниженной на 10% от минимальной цены.
   
8. 
   Сопоставить доход, который дает продажа по минимальной цене, и прогноз дохода по сниженной цене. Сделать вывод о целесообразности снижения цены.
   
9. 
   С использованием F-критерия Фишера провести анализ статистической значимости уравнения регрессии при уровне значимости 5%.
   
10. 
    Дать интервальный прогноз объема продаж по цене, составляющей 105% от максимальной цены, с доверительной вероятностью 0,90.
    

Таблица 1 Исходные данные

Номер варианта к/р	Цена товара							Объем продаж
	Ц1	Ц2	Ц3	Ц4	Ц5		П1		П2	П3	П4	П5
08.	14,64	20,63	23,06	26,73		30,81	209		89	61	51		28

Теоретическое значение F-статистики (F_теор) для указанных исходных данных равно 10,128.

Теоретическое значение t-статистики (t_теор) для указанных исходных данных равно 2,353.

Решение

Построим поле корреляции (рис.1).

Рисунок 1 Поле корреляции

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии построим расчетную таблицу (Таблица 2).

Таблица 2 Расчетная таблица

	x	y	x*y	x2	y2			Ai
1	14,64	209	3059,76	214,33	43681	179,63	29,37	14,05%
2	20,63	89	1836,07	425,60	7921	115,00	-26,00	29,22%
3	23,06	61	1406,66	531,76	3721	88,78	-27,78	45,55%
4	26,73	51	1363,23	714,49	2601	49,18	1,82	3,56%
5	30,81	28	862,68	949,26	784	5,16	22,84	81,57%
Итого	115,87	438	8528,4	2835,44	58708	438	-	173,95%
Среднее значение	23,17	87,6	1705,68	567,09	11741,6	-	-	34,79
σ	5,48	63,78	-	-	-	-	-	-
σ2	30,05	4067,84	-	-	-	-	-	-

Коэффициенты уравнения регрессии определим по формулам (1.1), (1.2):

(1.1), (1.2).

Используя данные расчетной таблицы (Таблица 2), получим значение коэффициентов a, b уравнения регрессии:



.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид: .

Экономический анализ решения регрессии показывает, что с уменьшением объёма продаж на 1 шт., цена товара увеличивается в среднем на 10,79%-ных пунктов.

Тесноту линейной связи между изучаемыми показателями оценит коэффициент корреляции r_xy и детерминации R₂. Для расчета r_xy и R₂ вычислим дисперсии факторов х, у по формулам (1.3), (1.4), (1.5):

Величина дисперсии факторов x,y для наших данных:

	;

Коэффициент корреляции r_xy устанавливает количественную меру тесноты связи и формирует качественную характеристику силы связи:



Коэффициент корреляции по шкале Чеддока показывает весьма высокую и обратную связь между изучаемыми факторами.

Найдем коэффициент детерминации:



Экономический смысл этого означает, что 86,06% вариации объема продаж (y) объясняется вариацией фактора цены на холодильники (х).

Вычислим значения по полученному уравнению регрессии Полученные данные представим в таблице 3:

Таблица 3 Значения

	14,64	20,63	23,06	26,73	30,81
	179,63	115	88,78	49,18	5,16

Найдем среднюю ошибку аппроксимации, которая определяет качество полученной модели. Для расчета используются формулы (1.7), (1.8):

Например, для первой строки данных таблицы имеем:



Аналогично найдем значения для всех строк . В результате получаем величину ошибки аппроксимации для нашей задачи:

где

Качество построенной модели оценивается как неудовлетворительное, так как фактическое значение превышает 10%.

Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия вычисляется по формуле (1.9).

Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с табличным значением F_табл(a ; k₁; k₂) при уровне значимости α и степенях свободы k₁= m и k₂= n - m -1. При этом, если фактическое значение F – критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Табличное значение критерия при и степенях свободы k₁=1 и k₂=5 - 2 = 3 составляет F_табл= 10,128. Для расчета фактического значения F-критерия Фишера используем формулу (1.9). Имеем:



Сравниваем полученное значение с табличным:

F_факт=18,52> F_табл= 10,128.

Так как, полученное (фактическое) значение больше табличного, то уравнение регрессии признается статистически значимым и может использоваться для прогноза премиального фонда.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t -статистики Стьюдента.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df = n - 2 =

= 5 - 2 = 3 и уровня значимости a = 0,05 составит t_табл= 2,353.

Определим случайные ошибки параметров m_a, m_b и коэффициента корреляции по формулам (1.10), (1.11), (1.12):

Предварительно найдем выборочную остаточную дисперсию

Тогда

	(1.10)
	(1.11)
	(1.12)

Расчеты фактической t-статистики Стьюдента приведены ниже:

Сравниваем полученные значения с табличным значением. В результате имеем:



Из полученных расчетов видно, что фактическое значение t-статистики параметров а, bиr_xy превосходят табличное, а следовательно, онине случайно отличаются от нуля и статистически значимы.

Найдем прогнозное значение объема продаж по цене, сниженной на 10% от минимальной цены при х = 13,18. По уравнению регрессии находим:

шт.

Доход, полученный по минимальной цене (Д_пр), сниженной на 10% (при х=13,18), равен:

Д_пр = 13,18 * 195 = 2570,1 т.р.

Доход, полученный при исходном значении х=14,64 (Д), равен:

Д = 14,64 * 209 = 3053,76 т.р.

Поскольку Д_пр < Д, можно сделать вывод, что снижение цены нецелесообразно.

Найдем прогнозное значение объема продаж по цене, составляющей 105% от максимальной цены, при х = 32,35. По уравнению регрессии находим

y(32,35) = 337,71 - 10,79 * 32,35 = -11 шт.

Определим доверительный интервал для данного индивидуального прогноза по формуле 1.13:
= 33,85

Тогда доверительный интервал рассчитаем по формуле 1.14:



Построим в поле корреляции полученное уравнение линейной регрессии (рис.2).


Рисунок 2 График регрессии на корреляционном поле
Как видно, на графике большинство точек поля корреляции расположены вдоль расчетной теоретической прямой y = 337,71 - 10,79*x, следовательно, полученное нами уравнение регрессии может использоваться для рассмотрения определенных вопросов, относящихся к исследуемому процессу.

Задача 2.

Исследовалось влияние индивидуальных качеств (особенностей, заслуг) продавцов на объем выручки магазина. Определить, влияют ли индивидуальные качества продавцов на объем выручки магазина? Данные, полученные в ходе исследования, представлены в таблице 4.

Таблица 4 Данные исследования

Номера продавцов	Число отработанных дней	Дневная выручка магазина (тыс. долл.)
1	6	4,7; 9,8; 4,1; 6,4; 3,4; 7,4;
2	5	4,6; 4,9; 0,8; 6,1; 2,8;
3	5	15.0; 16.7; 12.4; 7.9; 9.8

По имеющимся данным определим среднее значение дневной выручки (переменной Y) на каждом (из трех) i-ом уровне по формуле (1.15).

Например, для первого продавца:

.

Аналогично находим для второго и третьего продавцов:

.

Найдем общее число опытов по формуле (1.16). Имеем:



Среднее значение переменной Y по всем значениям находим по формуле (1.17)



Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 5 ( n– число наблюдений, m– число параметров при переменной x).

Таблица 5 Схема дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая		n 1
Факторная		m
Остаточная		n m1

Данные, необходимых для решения данной задачи, сведем в таблице 5.

Таблица 5 Данные для расчета

№ п/п	П1	П2	П3
1	4,7	4,6	15
2	9,8	4,9	16,7
3	4,1	0,8	12,4
4	6,4	6,1	7,9
5	3,4	2,8	9,8
6	7,4	-	-
Сумма	35,8	19,2	61,8
хср	5,967	3,84	12,36
Сумма хср	22,167

Количество уровней фактора m=3. Число измерений на каждом уровне равно: 6,5,5.
Вычислим общую среднюю:



Для расчета S_общ составим таблицу 6 квадратов:

Таблица 6 Квадраты отклонений

№ п/п
1	22,09	21,16	225
2	96,04	24,01	278,89
3	16,81	0,64	153,76
4	40,96	37,21	62,41
5	11,56	7,84	96,04
6	54,76	-	-
Сумма	242,22	90,86	816,1

Найдем S_общ сумму квадратов отклонений:


Найдем S_факт:


Найдем S_ост:




Определим факторную дисперсию:



и остаточную дисперсию:


Сведем полученные показатели в общую таблицу 7:

Таблица 7 Сводные показатели дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая	296,54	15
Факторная	198,54	2	99,27
Остаточная	98	13	7,54

Критическое значение находим по таблицам квантилей F – распределение при уровне значимости , что соответствует квантилю порядка 0,95.





Заметим, что согласно количеству продавцов.

Так как , то гипотеза Н₀ о равенстве дневной выручки у каждого продавца отвергается, и принимается конкурирующая гипотеза Н₁ – средние выручки продавцов (на различных уровнях) различны. Это означает, что индивидуальные качества (особенности) продавцов влияют на объем выручки магазина.