теория вероятностей. теор вер. С учётом изложенного выше на поставленные в задаче вопросы можно ответить следующим образом по условию, Р(А)0,5
 Скачать 225.83 Kb.
|
|
Задача 1 Малое предприятие имеет два цеха – А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью 0,5. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна 0,4. Известно также, что с вероятностью 0,1 может сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит. Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счёт в банке на 5 единиц; если оба не выполнят- снимет со счёта 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит – увеличит счёт только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит свой счёт на 1 единицу. Требуется: определить вероятность выполнения плана цехом В; выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В; найти вероятность того, что предприятию придётся снимать деньги со счёта в банке; определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке). Решение: Указанные в задаче события полезно представить графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна: О  чевидно, что события  попарно несовместны и образуют полную группу. Кроме того, видно, что справедливы равенства    Правые части этих равенств представляют собой суммы опять-таки несовместных событий. С учётом изложенного выше на поставленные в задаче вопросы можно ответить следующим образом: по условию, Р(А)=0,5;   =0,1 Тогда из Р(АВ)=0,1 и  ,4 0,25 следует, что  . Это значит, что события А и В являются зависимыми.Предприятию придется снимать деньги в банке при условии, что оба банка не выполнят план , и вероятность этого события равна  либо цех А не выполнит план, а цех В – выполнит, вероятность этого события равна  Тогда вероятность снятия денег со счета равна  Определим, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке). 5-4+2-1=2 ед. – по результатам работы предприятие получит на счет дополнительно 2 единицы. Задача 2 Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,4, причём независимо от других магазинов.  Требуется: определить минимальное количество магазинов (  ), с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее  от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день;при найденном в пункте 1) значении определить:наиболее вероятное число заявок (  ) на обслуживание на очередной день и вероятность поступления такого количества заявок;вероятность поступления не менее  заявок;математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день. Решение: Анализ условия задачи позволяет сделать вывод о том, что в основу её решения можно положить формулу Бернулли  при  Минимальный объём серии испытаний, при котором вероятность наступления события А хотя бы один раз будет не меньше 0,95, определим из условия  с помощью неравенства при  Получим:  Отсюда  Случайная величина Х- число наступлений события А в серии из 6 испытаний, является дискретной с возможными значениями 0; 1; 2;…;  , вероятности которых вычисляются по формуле Записанная формула выражает закон распределения вероятностей случайной величины Х. Как известно, этот закон называют биномиальным. Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А наступит хотя бы один раз, определим по формуле  Получим:  Для определения вероятности того, что событие А наступит не менее 5 раз, воспользуемся формулой  Вычислим вероятности, стоящие в этом равенстве справа:  В итоге  Наиболее вероятное значение случайной величины Х найдем из условия  . В нашем случае при  и  оно принимает вид  .Отсюда  Тогда Для случайной величины Х , распределённой по биномиальному закону с параметрами  и  её математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам При и это даёт  и  Задача 3 В автосалоне ежедневно выставляются на продажу автомобили двух марок – А и В. В течение дня продаётся Х машин марки А и Y машин марки В, причём независимо от того, сколько их было продано в предыдущие дни. Машина марки А стоит 5 ед., машина марки В – 7 ед. Закон распределения вероятностей системы (Х,Y) задан таблицей
Требуется: определить, какая марка машин пользуется в автосалоне наибольшим спросом; выяснить, зависит ли число проданных автомашин марки А от числа проданных автомашин марки В; найти ожидаемую (среднюю) дневную выручку автосалона; оценить (с помощью дисперсии) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения. Пояснение: считать, что если P(X >Y) > P(Y >X), то машины марки А  пользуются большим спросом, чем машины марки В.Определим, какие марки автомобилей пользуются наибольшим спросом: P(X >Y)=0,05+0,04+0,10=0,19 P(Y >X)=0,07+0,22+0,02=0,31 Условие P(X >Y) > P(Y >X) не выполняется, значит, машины марки В пользуются большим спросом, чем машины марки А.Найдём частные распределения вероятностей системы (Х,Y). Возможные значения случайных величин Х и Y прямо указаны в таблице 1, а вероятности этих значений легко вычисляются по формулам   В итоге получаем ряд распределения случайной величины Х:
и ряд распределения случайной величины Y:
Используя полученные данные, определяем числовые характеристики случайных величин Х и Y:   Для выяснения вопроса о том, зависимы или нет случайные величины Х и Y, поступим следующим образом. Последовательно, ориентируясь на клетки таблицы 1, вычислим соответствующие произведения  и сравним их с вероятностями  , стоящими в этих клетках: если встретится клетка, для которой  , то сделаем вывод о том , что случайные величины Х и Y являются зависимыми; если же равенство  выполняется для всех клеток табл.1, то последует вывод о независимости случайных величин Х и Y.Итак, для клетки (1,1):  но  следовательно, случайные величины Х и Y зависимы.Корреляционный момент  системы (Х,Y) вычислим по формуле  . было установлено, что  . Для нахождения  используем формулу и данные таблицы 1. Получим  . В итоге  Коэффициент корреляции  определим по формуле где   В пункте 1) было установлено, что  С учётом того, что  находим  . Это значит, что случайные величины Х и Y коррелированны и, следовательно, зависимы (второе подтверждение зависимости).Задача 4 Торговая фирма располагает разветвлённой сетью филиалов и есть основания считать, что её суммарная дневная выручка Х является нормально распределённой случайной величиной. Наблюдённые значения этой величины по 100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда:
Требуется: построить гистограмму относительных частот; определить несмещённые оценки для неизвестных математического ожидания  и дисперсии  случайной величины Х;найти 95-процентные доверительные интервалы для и  .Решение: 1 Построим гистограмму относительных частот Для этого определим середины интервалов
 2 Определим несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания и дисперсии случайной величины Х;3 Доверительный интервал для неизвестного имеет вид , где  а  .Так как выборка взята из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, то величина  определяется по формуле где  а  есть аргумент функции Лапласа Ф( ), при котором  . По таблице приложения 2 в [2] находим  . Тогда и  В итоге  Записанный интервал найден по одной реализации выборки и его следует понимать так: он либо содержит, либо не содержит неизвестное математическое ожидание  однако если получить большое число реализаций выборки объёма  из и по каждой реализации найти доверительный интервал, то в среднем 95% найденных интервалов накроют неизвестное . Длины же этих интервалов в данных условиях будут одинаковыми, равными  Задача 5 По результатам 18 замеров времени Х изготовления детали определены выборочное среднее  =87,17 и исправленная дисперсия  =18 . Полагая распределение случайной величины Х нормальным, на уровне значимости = 0,01 решить, можно ли принять  =90 в качестве нормативного времени изготовления детали.Пояснение: Основную гипотезу  проверить при альтернативной гипотезе  , указанной в исходных данных для решения задач.  Так как выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с известным  , то в качестве критерия проверки гипотез выберем – стандартное нормальное распределение. Заметим, что это имеет место при условии справедливости нулевой гипотезы  .По виду  и  заключаем, что критическая область в данном случае будет левосторонней.Левую критическую точку  определим так: сначала при уровне значимости  из уравнения по таблице приложения 2 в [2] найдём  после этого положим  . Получим: Вычислим наблюдаемое значение критерия   Так как  , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу  Она принимается. |
