Cамостоятельная Алгоритмы. Самостоятельная работа на тему " Задача коммивояжера"

• Название: Самостоятельная работа на тему " Задача коммивояжера"
• Анкор: Algoritmi
• Дата: 07.06.2021
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: Cамостоятельная Алгоритмы.docx
• Тип: Самостоятельная работа; #214886

Самостоятельная работа

на тему:

“Задача коммивояжера”

Выполнила:

Джураева Гулзода

043-18

Задача коммивояжера, известная также как задача о сверлильном станке или алгоритм коммивояжера была поставлена в 1934 году. Эта задача является одной из знаменитых задач теории комбинаторики и широко применяется при разработке программного обеспечения.

Целью данной курсовой работы является постановка задачи коммивояжера и ее решение методом полного перебора с использованием надстройки MS Excel «Поиск решения».

Объектом исследования в курсовой работе выступает программа, реализующая один из методов решения задачи коммивояжера - надстройка MS Excel «Поиск решения».

Предмет курсовой работы – сущность задачи коммивояжера, порядок и методы ее решения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• 
  изучить понятие и особенности задачи коммивояжера;
  
• 
  ознакомиться с практическим применением задачи коммивояжера;
  
• 
  рассмотреть методы решения задачи коммивояжера;
  
• 
  получить представление о назначении надстройки MS Excel «Поиск решения»;
  
• 
  сформулировать задачу коммивояжера и решить ее при помощи надстройки MS Excel «Поиск решения».
  

1. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА

1.1 Задача коммивояжера: сущность и применение на практике

Задача коммивояжера – задача математического программирования по определению оптимального маршрута движения коммивояжера, цель которого состоит в том, чтобы посетить все объекты, записанные в задании, за кратчайший срок и с наименьшими затратами. В теории графов – это поиск пути, связывающего два или более узла, с использованием критерия оптимальности¹.

Задача коммивояжера является типичной задачей оптимизации, которая широко применяется при разработке программного обеспечения. Задача о коммивояжере является упрощенной моделью для многих других задач дискретной оптимизации, а также часто является подзадачей. В своей области (оптимизации дискретных задач) она служит своеобразным катализатором, стимулирующим разработку наиболее эффективных методов, алгоритмов и способов их машинной реализации.

Задача коммивояжера формулируется очень просто: на плоскости (в пространстве) расположены N городов, заданы расстояния между каждой парой городов. Требуется найти маршрут минимальной длины с посещением каждого города ровно один раз и с возвращением в исходную точку.

В задаче коммивояжера целевой функцией, которую надо минимизировать, является стоимость обхода.


Особенностью задачи о коммивояжере является необходимость дополнительно учитывать расстояния от города до города, которые предполагаются известными. Эти «расстояния» можно заменить на количество затраченного времени, стоимость проезда или предполагать другие произвольные значения. В общем случае мы даже не предполагаем, что стоимость проезда из I в J обязательно совпадает со стоимостью обратного проезда из I в J. Данная задача соединяет в себе простоту условия и сложность решения, обусловленную большими размерами поискового пространства.

На графах задача формулируется следующим образом: требуется найти гамильтонов цикл наименьшей стоимости во взвешенном полном графе. Т.е. выйдя из стартовой вершины, посетить каждую вершину графа ровно один раз и вернуться в начальную по кратчайшему пути.

Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) – путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом.

Гамильтоновы путь, цикл и граф названы в честь ирландского математика У. Гамильтона, который впервые определил эти классы, исследовав задачу «кругосветного путешествия» по додекаэдру, узловые вершины которого символизировали крупнейшие города Земли, а ребра – соединяющие их дороги².

Существует несколько частных случаев общей постановки задачи, в частности³:

• 
  геометрическая задача коммивояжёра (также называемая планарной или евклидовой, когда матрица расстояний отражает расстояния между точками на плоскости);
  
• 
  треугольная задача коммивояжёра (когда на матрице стоимостей выполняется неравенство треугольника);
  
• 
  симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра.
  

Также существует обобщение задачи, так называемая обобщённая задача коммивояжёра.

Общая постановка задачи и большинство её частных случаев, относится к классу NP-сложных задач. Поэтому алгоритмы решения этой задачи делятся на точные и приближенные. Все точные алгоритмы фактически представляют собой оптимизированный полный перебор вариантов. В некоторых случаях эти алгоритмы достаточно быстро находят решения, но в общем случае приходится перебирать все n! циклов.

При постановке задачи коммивояжера для k коммивояжеров на множестве из n+1 городов строится k замкнутых маршрутов по следующим правилам:

• 
  один из городов, называемый базой входит во все маршруты;
  
• 
  каждый из городов, исключая базу входит в ровно один из маршрутов;
  
• 
  суммарная длина всех маршрутов минимальна.
  

Задача коммивояжера может быть решена с применением любой процедуры исчерпывающего поиска (полного перебора), однако на практике для ускорения процесса поиска необходимы и другие соображения, использующие специфику этой задачи. Решение задачи посредством полного перебора возможно лишь при наличии общих сведений о задаче или пространстве поиска. В общем случае задача разрешима в той степени, в которой исследование части пространства поиска дает существенную информацию о характере оставшейся части этого пространства. При попытке охарактеризовать пространство поиска может быть задано множество вопросов:

• 
  Разбивается ли задача достаточно хорошо на совокупность более мелких подзадач?
  
• 
  Существует ли точная, непротиворечивая информация о задаче?
  
• 
  Ожидается ли, что в процессе решения задачи человек будет взаимодействовать с вычислительной машиной?
  

Задача коммивояжера имеет ряд практических применений.

Как правило, речь идет либо о простом перемещением по заданным точкам, либо с развозом груза небольшого формата или веса на транспортном средстве, вмещающем большое количество единиц, что создает предпосылки для применения задачи коммивояжера. Примером реализации задачи на практике является составление оптимального маршрута человека для доставки продуктов в магазины с оптового склада; доставки бутилированной воды; обновления программных продуктов автоматизированного учета на предприятии; пополнения банкоматов наличными деньгами; сбора сотрудников для доставки вахтовым методом; расклейки афиш; сбора наличных денежных средств их терминалов и др. В этом случае вершинами являются места установки терминалов (банкоматов и т.д.) и «базовый пункт». Стоимостью каждого ребра (отрезка маршрута) является время в пути между двумя точками (вершинами) на маршруте.

Еще одно применение задачи коммивояжера – это задача о сверлильном станке. Данное применение задачи является сугубо специализированным приложением, которое заключается в оптимизации движений сверлильного станка ЧПУ для создания большого количества нерегулярно расположенных отверстий или сварочного робота. Сверлильный станок изготавливает металлические листы с некоторым количеством отверстий. Координаты отверстий известны. Необходимо найти кратчайший путь через все отверстия, а значит, и наименьшее время, затрачиваемое на изготовление одной детали. В данном случае, если такой станок делает миллион деталей в год, то даже миллиметровая выгода может сэкономить приличные средства. Этим объясняется стремление развитых стран затрачивать огромные финансовые ресурсы на инвестиции в информационные технологии.

Методы решения задачи коммивояжера

Задачи коммивояжера решаются посредством различных методов, выведенных в результате теоретических исследований. Все эффективные методы (сокращающие полный перебор) — методы эвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Выделяют следующие группы методов решения задач коммивояжера, которые относят к простейшим:

• 
  Полный перебор;
  

Полный перебор (или метод «грубой силы») — метод решения задачи путем перебора всех возможных вариантов. Сложность полного перебора зависит от количества всех возможных решений задачи. Если пространство решений очень велико, то полный перебор может не дать результатов в течение нескольких лет или даже столетий.

• 
  Случайный перебор;
  

Обычно выбор решения можно представить последовательностью выборов. Если делать эти выборы с помощью какого-либо случайного механизма, то решение находится очень быстро, так что можно находить решение многократно и запоминать «рекорд», т. е. наилучшее из встретившихся решений. Этот наивный подход существенно улучшается, когда удается учесть в случайном механизме перспективность тех или иных выборов, т. е. комбинировать случайный поиск с эвристическим методом и методом локального поиска. Такие методы применяются, например, при составлении расписаний для Аэрофлота.

• 
  Жадные алгоритмы (метод ближайшего соседа, метод включения ближайшего города, метод самого дешевого включения);
  

Жадный алгоритм – алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. При решении задачи коммивояжера жадный алгоритм превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть (рис. 1.1), представляющую узкий ромб. Коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм «иди в ближайший город» выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур.

Р исунок 1.1

• 
  Метод минимального остовного дерева (деревянный алгоритм);
  

В основе алгоритма лежит утверждение: «Если справедливо неравенство треугольника, то для каждой цепи верно, что расстояние от начала до конца цепи меньше (или равно) суммарной длины всех ребер цепи». Это обобщение расхожего убеждения, что прямая короче кривой.

Деревянный алгоритм для решения задачи коммивояжера будет следующим: строится на входной сети задачи коммивояжера кратчайшее остовное дерево и удваиваются все его ребра. В результате получаем граф — связный с вершинами, имеющими только четные степени. Затем строится эйлеров цикл, начиная с вершины 1, цикл задается перечнем вершин. Просматривается перечень вершин, начиная с 1, и зачеркивается каждая вершина, которая повторяет уже встреченную в последовательности. Останется тур, который и является результатом алгоритма.

Доказано, что деревянный алгоритм ошибается менее чем в два раза, поэтому такие алгоритмы называют приблизительными, а не просто эвристическими.

• 
  Метод имитации отжига.
  

Экзотическое название данного алгоритма связано с методами имитационного моделирования в статистической физике, основанными на технике Монте-Карло. Исследование кристаллической решетки и поведения атомов при медленном остывании тела привело к появлению на свет вероятностных алгоритмов, которые оказались чрезвычайно эффективными в комбинаторной оптимизации. Впервые это было замечено в 1983 году. Сегодня этот алгоритм является популярным как среди практиков благодаря своей простоте, гибкости и эффективности, так и среди теоретиков, поскольку для данного алгоритма удается аналитически исследовать его свойства и доказать асимптотическую сходимость.

Алгоритм имитации отжига относится к классу пороговых алгоритмов локального поиска. На каждом шаге этого алгоритма для текущего решения i_k в его окрестности N(i_k) выбирается некоторое решение j и, если разность по целевой функции между новым и текущим решением не превосходит заданного порога t_k, то новое решение j заменяет текущее. В противном случае выбирается новое соседнее решение.

На практике применяются различные модификации более эффективных методов:

• 
  Метод ветвей и границ;
  

Метод ветвей и границ предложен в 1963 году группой авторов Дж. Литлом, К. Мурти, Д. Суини, К. Кэролом. Широко используемый вариант поиска с возвращением, фактически является лишь специальным частным случаем метода поиска с ограничениями⁴. Ограничения в данном случае основываются на предположении, что на множестве возможных и частичных решений задана некоторая функция цены и что нужно найти оптимальное решение, т.е. решение с наименьшей ценой. Для применения метода ветвей и границ функция цены должна обладать тем свойством, что цена любого частичного решения не превышает цены любого расширения этого частичного решения (Заметим, что в большинстве случаев функция цены неотрицательна и даже удовлетворяет более сильному требованию).

Столь большой успех применения данного метода объясняется тем, что авторы первыми обратили внимание на широту возможностей метода, отметили важность использования специфики задачи и сами воспользовались спецификой задачи коммивояжера.

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда — наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд — оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.

• 
  Метод генетических алгоритмов;
  

«Отцом-основателем» генетических алгоритмов считается Джон Холланд, книга которого «Адаптация в естественных и искусственных системах» (1975) является основополагающим трудом в этой области исследований.

Генетический алгоритм — это эвристический алгоритм поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования путём случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Является разновидностью эволюционных вычислений. Отличительной особенностью генетического алгоритма является акцент на использование оператора «скрещивания», который производит операцию рекомбинации решений-кандидатов, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе.

Генетические алгоритмы служат, главным образом, для поиска решений в многомерных пространствах поиска.

• 
  алгоритм муравьиной колонии.
  

Алгоритмы муравья, или оптимизация по принципу муравьиной колонии (название было придумано изобретателем алгоритма, Марко Дориго), основаны на применении нескольких агентов и обладают специфическими свойствами, присущими муравьям, и используют их для ориентации в физическом пространстве. Алгоритмы муравья особенно интересны потому, что их можно использовать для решения не только статичных, но и динамических проблем, например, в изменяющихся сетях.

Вывод к главе 1:

Безусловно, изучение особенностей задачи коммивояжера и методов ее решения является актуальным сегодня. Задает творческий импульс для новых эвристических алгоритмов решений задачи коммивояжера и родственных транспортных оптимизационных задач в условиях, когда современная жизнь накладывает различные ограничения на поиск лучшего варианта. Это свидетельствует о том, что потребность в эффективном решении задачи коммивояжера за реальное время будет расти в будущем, потребуется разработка новых практических применений этой задачи.

2. Решение задачи коммивояжера при помощи надстройки MS Excel «Поиск решения»

Мощным средством анализа данных MS Excel является надстройка «Поиск решения». С ее помощью можно определить, при каких значениях указанных влияющих ячеек формула в целевой ячейке принимает нужное значение (минимальное, максимальное или равное какой-либо величине). Для процедуры поиска решения можно задать ограничения, причем не обязательно, чтобы при этом использовались те же влияющие ячейки, данные которых, определяют значение целевой ячейки. Для расчета заданного значения применяются различные математические методы поиска. Вы можете установить режим, в котором полученные значения переменных автоматически заносятся в таблицу. Кроме того, результаты работы программы могут быть оформлены в виде отчета.

Программа Поиск решений – дополнительная надстройка табличного процессора MS Excel, которая предназначена для решения определенных систем уравнений, линейных и нелинейных задач оптимизации, используется с 1991 года.

Размер задачи, которую можно решить с помощью базовой версии этой программы, ограничивается такими предельными показателями: количество неизвестных (decision variable) – 200; количество формульных ограничений (explicit constraint) на неизвестные – 100; количество предельных условий (simple constraint) на неизвестные – 400.

Постановка задачи коммивояжера, которую необходимо решить посредством надстройки «Поиск решения» методом полного перебора следующая:

«Сотруднику компании ООО «Новые технологии» Петрову Н.И. необходимо обновить программный продукт автоматизированного учета в пяти организациях: А, Б, В, Г и Д. Он решил начать свой обход с организации «А», так как она находится на первом этаже дома, в котором проживает Петров. Сотруднику необходимо, спланировать свой маршрут таким образом, чтобы к концу рабочего дня обойти все организации в определенном порядке и выполнив свою работу, вернутся домой (в пункт «А»). В каком порядке Петрову следует обходить организации, чтобы его замкнутый тур был кратчайшим? Если расстояния между каждой парой организаций заданы следующей квадратной матрицей (5x5):



Решение: Разместим исходные данные на рабочем листе (рис 2.1). Заменим знак   числом 10000 (на результат решения исключение пути не оказывает влияния).




Рисунок 2.1 Исходные данные задачи

Вводим формулы:


Таблица 1

Ячейка	Формула	Примечание
B9	= СУММ(B4:B8)	Распространяем на диапазон B9:F9
G4	= СУММ(B4:F4)	Распространяем на диапазон G4:G8
C19	=СУММПРОИЗВ(B4:F8;B13:F17)	Целевая функция
E19	=B4+C5+D6+E7+F8	Исключение пути
B23	=$C$10-C10+4*C5	Распространяем на диапазон B23:E23
B24	=$D$10-C10+4*C6	Распространяем на диапазон B24:E24
B25	=$E$10-C10+4*C7	Распространяем на диапазон B25:E25
B26	=$F$10-C10+4*C8	Распространяем на диапазон B26:E26

Сценарий решения.

1. Запускаем надстройку MS Excel «Поиск решения» командой Сервис/ Поиск решения. И заполняем (рис. 2.2).

2. Для того чтобы выполнялись условия однократного посещения сотрудником организаций и в то же время запланированный Петровым маршрут был пройден полностью, введем ограничения: в строки B9, G4 заводим формулы из таблицы 1 и распространяем их на соответствующие диапазоны B9:F9 и G4:G8. Задаем следующие данные $B$9:$F$9=1 и $G$4:$G$8=1 в Ограничения окна «Поиск решения». Таким образом, мы можем отследить порядок обхода организаций сотрудником, оценить правильность выбора и оптимальность его маршрута.

3. Выбираем ячейку B19 и устанавливаем ее адрес в Целевую ячейку окна «Поиск решения», чтобы определить длину наикратчайшего маршрута. Для этого в ячейку B19 предварительно заносим соответствующую формулу из таблицы 1. Когда программа «Поиск решения» вычислит оптимальный маршрут Петрова и станет известен порядок обхода организаций (из Матрицы переменных) будут известны и расстояния между конкретными парами организаций. Затем при помощи простых математических подсчетов программа рассчитает протяженность оптимального маршрута.

4. Устанавливаем еще одно ограничение в окно «Поиск решения»: $E$19=0. В указанную ячейку вводим формулу из таблицы 1 и исключаем таким образом, заведомо ложный порядок движения Петрова в порядке обхода организаций.

5. В связи с тем, что ячейки диапазона B4:F8 – изменяемые, в Ограничение окна «Поиск решения» необходимо добавить строку B$4$:F$8$=двоичное.

6. Заводим в ячейки B23; B24; B25; B26 соответствующие формулы из таблицы 1 и распространяем их на следующие диапазоны: B23:E23 B24:E24; B25:E25; B26:E26 для учета всех возможных вариантов обхода организаций сотрудником и выбора из них оптимального. Формулы задаем таким образом, чтобы обеспечить исключение ложного пути, соблюдая условие задачи об обходе всех организаций по одному разу.

7. Добавляем в Ограничения окна «Поиск решения» $B$23:$E$26 ≤ 3.




Рисунок 2.2 Окно «Поиск решения»

Так как это линейная модель, то необходимо фиксировать в окне Параметры поиска решений на позицию Линейная модель и Неотрицательные значения (рис. 2.3). После того, как все поля и ячейки заполнены нажимаем кнопку «Выполнить» и появляется окно диалога с описанием результатов процесса оптимизации. Чтобы отобразить найденное решение в ячейках листа, устанавливаем переключатель «Сохранить найденное решение» и нажимаем кнопку ОК. Найденная минимальная величина помещается в целевую ячейку, а переменные ячейки заполняются оптимальными значениями переменных, которые удовлетворяют установленным ограничениям.




Рисунок 2.3 Окно «Параметры поиска решения»

Таким образом, получаем следующий результат. Если Петров переходит из организации в организацию, то на рис. 2.4 в диапазоне B4:F8 мы будем наблюдать порядок его перемещений. Если видим, что в ячейке, которая отнесена к организации «В» стоит единица, значит сотрудник посетил эту организацию следующей за пунктом «А». Если в ячейке ноль – сотрудник организацию не посещал.




Рисунок 2.4 Результаты решения задачи коммивояжера
Вывод к главе 2:

В ходе анализа полученных результатов, приходим к выводу: наиболее оптимальным маршрут Петрова будет в том случае, если он начал свой путь с организации «А», посетит другие организации в следующем порядке «В», затем «Г», далее «Б» и «Д», из которой вернется к началу своего пути (в организацию «А»). представим путь схематически:

АВГБДА

Если оставишь этот, то сотри желтое выделение!!!

В ходе анализа полученных результатов, приходим к выводу: наиболее оптимальным маршрут Петрова будет в том случае, если он начал свой путь с организации «А», посетит другие организации в следующем порядке «В», затем «Д», далее «Б» и «Г», из которой вернется к началу своего пути (в организацию «А»). представим путь схематически:

АВДБГА

Длина кратчайшего маршрута (значение целевой ячейки) в результате составит – 21.

Задача решена. Кратчайший маршрут Петрова найден.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача коммивояжера была поставлена в 1934 году. Ее сущность заключается в поиске оптимального маршрута движения при необходимости посетить все запланированные объекты с наименьшими финансовыми и временными издержками. Как правило, речь идет о простом перемещении по заданным точкам, либо с перевозкой груза небольшого формата на транспортном средстве.

Задача коммивояжера является одной из знаменитых задач теории комбинаторики и пользуется популярностью благодаря тому, что к ней сводится большое количество практических задач.

Среди современных практических приложений задачи можно выделить: доставку продуктов в магазин со склада, работу почтальона по разноске корреспонденции, мониторинг объектов (нефтяные вышки, базовые станции сотовых операторов), изготовление отверстий на специализированном станке.

Для решения задачи коммивояжера используют различные группы простейших методов: полный и случайный перебор, жадный и деревянный алгоритмы, метод имитации отжига. Широкое применение получили различные модификации более эффективных методов, таких как метод ветвей и границ, генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиных колоний.

В работе была поставлена задача, сводимая к задаче коммивояжера, и составлена схема оптимального маршрута, подробно рассмотрен порядок выбора кратчайшего пути при помощи использования надстройки MS Excel «Поиск решения» методом полного перебора. Результаты решения были выведены на отдельный рабочий лист Excel.

Изучение особенностей задачи коммивояжера позволило сделать следующий вывод: актуальным в настоящее время остается поиск точных и приближенных способов решения этой задачи как с теоретической, так и с практической точек зрения. Более того, темпы современной жизни меняют отношение человека ко времени, сегодня пользователь не любит ждать, изыскивает возможности сократить время ожидания, найти оптимальное решение в кратчайшие сроки. Все это свидетельствует о росте в будущем потребности в эффективном решении задач коммивояжера и иных родственных им оптимизационных задач, которые позволили бы существенно сэкономить ограниченные ресурсы организаций.