Задачи. Самостоятельная работа по теме Перпендикулярность прямой и плоскости

• Название: Самостоятельная работа по теме Перпендикулярность прямой и плоскости
• Анкор: Задачи
• Дата: 24.02.2022
• Размер: 226.5 Kb.
• Имя файла: 0011f012-aa452f2c.doc
• Тип: Самостоятельная работа; #372191

Самостоятельная работа по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Геометрия 10 класс
Вариант 1. Дата: ____________ Фамилия, имя _________________________________
1. Дан прямоугольник ABCD, в котором АВ = 3 см, AD = 4 см, МА = 1 см. Отрезок МА перпендикулярен к плоскости АВС.


Пользуясь рисунком, найдите:

1) расстояние между точками М и В ___________________________________________

2) длину отрезка MD ________________________________________________________

3) расстояние между точками А и С ____________________________________________

4) длину отрезка BD _________________________________________________________

5) расстояние между точками М и С ___________________________________________

6) площадь треугольника МАС ____________________________________________

2. Дан параллелепипед



а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁)  ___________________________________
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB₁ ________________________________________

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) )_______________________________________________
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) _______________________________________________

3. Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC). Доказать: AC ⊥ (AMB).




Самостоятельная работа по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Геометрия 10 класс
Вариант 2. Дата: _______________ Фамилия, имя _________________________________
1. Дан ромб CBDF, в котором АВ = 3 см, AD = 4 см, МА = 1 см. Отрезок МА перпендикулярен к плоскости АВС.


Пользуясь рисунком, найдите:

1) расстояние между точками М и В _____________________________________________

2) длину отрезка MD __________________________________________________________

3) расстояние между точками А и С _____________________________________________

4) длину отрезка BD __________________________________________________________

5) расстояние между точками М и С _____________________________________________

6) площадь треугольника МАС __________________________________________________

2. Дан параллелепипед



а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (АВС) ____________________________________
2) плоскости, перпендикулярные ребру B₁С₁ ______________________________________

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой ВВ₁ и плоскости (D₁C₁B₁) _____________________________________________
2) прямой A₁B₁ и плоскости (DCB) _______________________________________________

3. Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB. Доказать: CD ⊥ (ABC)


Задачи

1. Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата



АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

 



2. Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС. Доказать: MO ⊥ (ABC).



3. Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.


4. Дан квадрат ABCD принадлежащий плоскости α , О – точка пересечения диагоналей. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости α. Докажите, что отрезок BD перпендикулярен плоскости (АМО) и МО перпендикулярен BD.

Ответ.

Вариант 1. 1) см; 2) см; 3) 5 см; 4) 5 см; 5) см; 6) 2,5 см2.

Вариант 2. 1) см; 2) см; 3) 4 см; 4) 5 см; 5) см; 6) 2 см2.

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁) (ответ: AD; A₁D₁; B₁C₁; BC) 
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB₁ (ответ: (АВС); (A₁B₁C₁))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

Задачи 1.
Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать.

2. Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС. Доказать: MO ⊥ (ABC) Доказательство:
1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD. 2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO ⊥ AC.
3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение: 1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP; 2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPK: KP =



= 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и



; т.е.



⇒ EK =



= 9 см,

РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.


4.


Урок геометрии по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости". 10-й класс

Цели:

1. 
   закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
   
2. 
   вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
   

План:

1. 
   Теоретический опрос.
   
   1. 
      Доказательство изученных теорем у доски.
      
   2. 
      Фронтальный опрос.
      
   3. 
      Презентации учащихся по данной теме.
      
2. 
   Решение задач.
   
   1. 
      Решение устных задач по готовым чертежам.
      
   2. 
      Решение письменных задач (по группам).
      
   3. 
      Самостоятельная работа с индивидуальным заданием.
      
3. 
   Итог урока. Задание на дом.
   

Ход урока

I. Теоретический опрос (4 ученика у доски)

1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос.


(1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

2. Дан параллелепипед



а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁) (ответ: AD; A₁D₁; B₁C₁; BC) 
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB₁ (ответ: (АВС); (A₁B₁C₁))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по необходимости. Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом учеников в качестве зачётных работ

II. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)

№1



Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)
Доказать: AC ⊥ (AMB)
Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

№2



Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
Доказать: CD ⊥ (ABC)
Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

№3



Дано: АВСD – прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ BC
Доказать: AD ⊥ AM
Доказательство:
1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ AB, BS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

№4



Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС
Доказать: MO ⊥ (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO ⊥ AC.
3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

2. Решение письменных задач

Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с последующей проверкой решения у доски.

№1.2 (№125 учебника)



Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P₁ и Q₁. Найдите P₁Q₁, если PQ = 15 cм; PP₁ = 21,5 cм; QQ₁ = 33,5 cм.
Решение:

1) PP₁ ⊥ α и QQ₁ ⊥ α по условию ⇒ PP₁ ∥ QQ₁ (обосновать);
2) PP₁ и QQ₁ определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P₁Q₁;
3) PP₁Q₁Q - трапеция с основаниями PP₁ и QQ₁, проведём PK ∥ P₁Q₁;
4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)

P₁Q₁ = PK =



= 9 см.

Ответ: P₁Q₁ = 9 см.

№2.2



В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD₁B₁.
Решение:

1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD =



см;

2) ∆ DD₁B: ∠D₁DB = 90°;

DD₁ =



= 12 см;
3) S_BB1D1D = BD ∙ DD₁ =



см².
Ответ:



см².

№3.2



Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPK: KP =



= 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и



; т.е.



⇒ EK =



= 9 см,

РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: РЕ = 12 см.

3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)

Вариант I

Вариант II

Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA₁ ⊥ AB, AA₁⊥ AD. Найдите B₁B, если B₁D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.

Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB₁ ⊥ BC, BB₁ ⊥AB. Найдите A₁A, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB= 10 см.

Решение:



1) AA₁ ⊥ AB, AA₁ ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA₁ ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA₁ ∥ BB₁, то BB₁ ⊥ (ABC) ⇒ BB₁ ⊥ BD;
2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:

BD =



= 20 см;

3) ∆ B₁BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B₁B =



= 15 см.

Ответ: 15 см.

Решение:



1) BB₁ ⊥ AB, BB₁ ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB₁ ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB₁ ∥ AA₁, то AA₁ ⊥ (ABC) ⇒ AA₁⊥ AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO =



= 6 см,

AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см;
3) ∆ A₁AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA₁ =



= 5 см.

Ответ: 5 см.

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)



Дано: ∆ ABC; AB = AC = BC; CD ⊥ (ABC); AM = MB; DM = 15 дм; CD = 12 дм.
Найти: S_∆ ADB
Решение:

1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный,

тогда MC =



= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,

sin ∠B =



, тогда



,

а АВ = ВС (по условию).
5) S_∆ ADB = ½ DM ∙ AB;

S_∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙



Ответ:



III. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, №130, №131.

Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по геометрии» автора В.А. Яровенко.

.