вкр. ИТОГОВЫЙ ВАРИАНТ ВКР — копия. Сборник задач по теме Элементы комбинаторики и теории вероятностей Заключение
 Скачать 31.68 Kb.
|
|
Элементы комбинаторики и теории вероятностей в школьном курсе математики Введение………………………………………………………………………...…2 Глава 1. Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теории вероятностей в школьном курсе математики………………………………..….3 История развития теории вероятностей и комбинаторики……………..5 Анализ школьных учебников для 5-9 классов, включающих в себя материал теории вероятностей и комбинаторики……………………...7 Анализ школьных учебников для 10-11 классов, включающих в себя материал теории вероятностей и комбинаторики……………………...8 Требования ФГОС к преподаванию вероятно-комбинаторной линии в школьном курсе маематики………………………………………………9 Выводы по первой главе………………………………………………….10 Глава 2. Теория вероятностей и комбинаторики в заданиях ОГЭ и ЕГЭ….…8 Теория вероятностей и комбинаторика в заданиях ОГЭ …………..….8 Теория вероятностей и комбинаторика в заданиях ЕГЭ …………..….9 Олимпиадные задания по теории вероятностей и комбинаторике…..10 Выводы по второй главе…………………………………………………11 Глава 3. Реализация практических заданий по теме «Комбинаторика и теория вероятностей»………………………………………………………………….…8 3.1 Сборник задач по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»……………………………………………………………………9 Заключение…………………………………………………………….………..11 Список используемой литературы………………………………….…………12 История развития теории вероятностей начинается с систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появления соответствующего математического аппарата. В начале XVII века знаменитый физик Галилей уже пытался подвергнуть научному исследованию ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности. Необходимо было начать изучение закономерности случайных явлений на более простом материале. Таким материалом исторически оказались «азартные игры». Эти игры с давних времен создавались рядом поколений именно так, чтобы в них исход опыта был независим от поддающихся наблюдению условий опыта, был чисто случайным. Само слово «азарт» произошло от французского «lehasard» и означает «случай». Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705 гг.). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемый «закон больших чисел», а также в трактате Бернулли «Искусство предположений» присутствуют уже обе концепции вероятности – классическая и статистическая, обе они изложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрение и использование. Яков Бернулли дал простейшую формулировку «закона больших чисел», которая устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления. Однако уже в первой половине XVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому возникла необходимость его расширения. Введение элементов теории вероятностей в школьный курс математики было совершено еще начале XIX века в России, но эти попытки не оказались успешными. Элементы теории вероятностей были введены на определенное время в школьной программе, были выпущены некоторые учебники по данной тематике. Самый первый учебник по теории вероятностей был выпущен в 1846 году в Санкт-Петербурге, русским математиком Виктором Яковлевичем Буняковским - автор первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии. Учеником В.Я. Буняковского был великий русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894 гг.). Среди обширных и разнообразных математических трудов ученику Буняковского принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П.Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов. Уже в начале 90-х годов, была опробована программа по теории вероятностей в средних учебных школах, основателем которой является преподавателем Урюпинского училища П.С. Флоровым. Чуть позже, на собрании директоров учебных заведений, было предпринято усложнить программу обучения теории вероятностей. После Октябрьской революции в 1917 году снова были выполнены попытки изучения стохастических элементов. После революции, произошло единое создание трудовой школы, которая включала в себя три ступени обучения. Именно на третьей ступени изучалась программа обучения элементам теории вероятностей, но также важный акцент, был выполнен на изучение статистических данных. В 1925 году в школах второй ступени, с целью эксперимента, были включены элементы теории вероятностей в учебник «Арифметика». Методика подачи материала была не разобрана в полной мере. Материал для изучения оказался сложным, для восприятия обучающимися, на практике стало ясно, что попытка изучения также оказалась неуспешной. На протяжении длительно времени обучающиеся изучали только комбинаторную линию. Ее история освещает развитие большого раздела конечной математики, который исследует в основном различные способы выборки заданного числа m элементов из заданного конечного множества: размещения, сочетания, перестановки, перечисления и смежные проблемы. Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н.э.). По мнению ее авторов, все в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в «Го» и другие игры. Особенный интерес математиков многих стран с древних времен неизменно вызывали магические квадраты. Формирование данной науки. Термин «сочетание» («combination») впервые встречается у Паскаля (1653 г., опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» («permutation») употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» («arrangement»). После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала. Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы: - задача о ходе коня; - задача о семи мостах, с которой началась теория графов; - построение греко-латинских квадратов; - обобщенные перестановки. Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и размещения с условиями. В начале 60-х годов известные математики А.Н. Колмогоров, И.И. Кикоин, А.И. Маркушевич, Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. Б.В. Гнеденко писали о необходимости введения в школьный курс математики элементов вероятностно-статистических знаний. Они говорили о том, что именно понимание обучающимися случайного характера событий, сможет полностью раскрыть сущность окружающего мира. Обучающиеся должны иметь представление о статистических законах, которые помогут им раскрыть многогранные связи между предметами и явлениями. В 80-х годах, благодаря реформам школьного образования элементы теории вероятностей и статистики вошли в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного, а также в качестве факультативного курса изучения математики. К тому же, в этот период появились авторские разработки факультативных курсов по теории вероятностей. Первый учебник по элементам теории вероятностей для средней школы был выпущен в 1990 годы, его основателями стали Е.А. Бунимович и В.А.Булычев [2]. Но все же учителя не воспринимали данную тему как одну из важным, в учебном плане она вообще не отражалась. Только в 2003 году, Министерством образования было принято решение о включении элементов теории вероятностей и статистики в школьный курс математики общеобразовательной школы. Был подписан документ, который предполагал включение определенных разделов в школьную программу обучения постепенно, тем самым подготавливая учителей к соответствующим изменениям, он предусматривал постепенное, поэтапное включение этих [3, С. 8]. В 2004-2008 гг. стали издаваться множество математических пособий, которые являлись дополнением к учебкам алгебры. Авторы учебных и методических пособий. Именно с 2007 года в соответствии государственными стандартами образования стохастическая линия становится обязательным элементом в школах. Чуть позже, в 2010 году, элементы теории вероятностей и статистики вошли в состав ОГЭ и ЕГЭ по математике. На протяжении многих лет, данные учебные пособия проходили апробацию в школах. Примером могут служить Московские школы опробовавшие учебные пособия Тюрина Ю.Н, Бунимовича Е.А [6], [7], [9]. Когда переходный период введения в школьный курс математики элементов теории вероятностей завершился, и разделы заняли место в учебных программах средней школы, они нуждались в анализе и осмыслении согласованности основных определений и обозначений, используемых в этих учебных пособиях. Стоит заметить то, что все учебные пособия формировались без участия опыта преподавания данных разделов, соответственно их авторы сравнивали с имеющимися учебниками для высших учебных заведений. Можно заметить, что авторы довольно часто допускали ошибки в обозначении понятий, выводе формул. Сравнив теорию вероятностей в школьных учебниках, можно заметить, что на сегодняшний день она заимствовала свои особенности из учебников высшей школы. В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, связи, организацию производства, а также лингвистику, социологию, психологию. На сегодняшний день продуктивная деятельность людей невозможна ни в одной сфере жизни общества без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без верного представления о том, что явления и процессы, с которыми мы часто имеем дело, подчиняются сложным законам теории вероятностей. Анализ школьных учебников для 5-9 классов, включающих в себя материал теории вероятностей и комбинаторики В данном параграфе рассмотрим и проанализируем содержания раздела школьного курса математики: «Комбинаторика и элементы теории вероятностей». Нами были выбраны учебники за 5 – 9 классы общеобразовательной школы, которые входят федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством просвещения Российской Федерации. Был выполнен анализ следующих учебников: учебник «Математика» для 5 класса, авторами которого являются Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др.; учебник «Математика» для 6 класса, авторами которого являются Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др.; учебник «Алгебра» для 7 класса, автором которого является Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др.; учебник «Алгебра» для 8 класса, автором которого является Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др.; учебник «Алгебра» для 9 класса, автором которого является Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др.; учебник «Математика» для 5 класса, авторами которого являются А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир; учебник «Математика» для 6 класса, авторами которого являются А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир; учебник «Алгебра» для 7 класса, авторами которого являются А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. учебник «Алгебра» для 8 класса, авторами которого являются А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. учебник «Алгебра» для 9 класса, авторами которого являются А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Рассмотрим введение вероятно-комбинаторной линии в учебнике «Математика» за 5- 6 класс, авторами которого являются Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгин и другие. В 5 классе в главе «Натуральные числа» обучающиеся знакомятся с последовательностью чисел, учатся сравнивать натуральные числа, ищут закономерности в последовательности четных, нечетных чисел и др. Отдельным пунктом, в данной главе, выделено решение комбинаторных задач. Вводится определение комбинаторики, где рассматриваются способы выбора, расположения и сочетания различных объектов. Рассматривается решение задач с помощью перебора всех возможных вариантов, тем самым развивая логику у обучающихся. Также присутствуют задачи, которые решаются с помощью координатной прямой, дерева возможных вариантов. В главе учебника «Дроби», рассматриваются случайные, достоверные, невозможные события. В 6-ом классе, на изучение темы выделена глава «Множества. Комбинаторика». Вводится понятие множества, и операции над ним. Обучающиеся выполняют решение задач с помощью кругов Эйлера. Рассматривается эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события, школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий. Приводятся жизненные примеры, делающие данный материал более доступным. Комбинаторные задачи решаются методом перебора, для их решения строится дерево возможных вариантов. В седьмом классе в параграфе «Решение комбинаторных задач» приводятся жизненные примеры, с помощью которых, обучающиеся изучают правило умножения комбинаторики. Затем вводится понятие упорядоченности, благодаря чему ученики, понимают суть определения «перестановки». Далее рассматривается понятие факториала, и соответственно выводится формула перестановок. Для закрепления изученной формулы, ученики выполняют решение приведенных задач. Дополнение к параграфу служит пункт «Круговые перестановки», где приведены примеры решения комбинаторных задач с помощью круга. В завершении курса 7 класса продолжается рассмотрение вероятности. Вводится определение вероятности, случайных событий, на простом примере лотерейного билета. Ученики учатся оценивать вероятность случайного события, исходя из статистических данных. Затем обучающиеся изучают достоверные и невозможные события. На примере игрального кубика обучающиеся узнают, что случайные события бывают равновозможными, равновероятными, противоположными. Представлены задачи, которые решаются с помощью кругов Эйлера. В конце главы приведено определение частоты случайного события, иллюстрированного на примерах. Для более углубленного изучения темы, присутствует пункт «Сложение вероятностей», где рассматривается правило сложения вероятностей, а также понятие несовместимости. В 8 классе теория вероятностей выделена в последней главе учебника. На примере проводимых экспериментов при выигрыше в лотерее, ученики повторяют понятие равновозможных событий. После чего, обучающиеся рассматривают еще несколько задач на данную тематику. Затем ребята изучают формулу классической теории вероятностей и соответственно само определение такой вероятности. Обучающиеся приобретают навык решения задач применяя формулу. Проводится рассуждение и анализ задач как для самостоятельного изучения, так и уже решенных задач. В отдельном параграфе выделено решение сложных задач на тему экспериментов. Изучается задача Даламбера, задачи на тему игральных костей, бросание монет и др. Некоторые задачи представлены в виде теста. Для углубленного изучения материала, авторы учебника, уделили особое внимание изучению геометрических вероятностей, благодаря которым обучающиеся понимают, как подойти к решению задачи с помощью геометрических соображений, применяя определение вероятности случайного события. В девятом классе тематика «Вероятность и комбинаторика» изучается также в конце учебника и выделена в последней 5 главе. При изучении темы «Статистическое оценивание», ученики приходят к пониманию, что с ростом числа экспериментов частота наблюдаемых событий стремится к вероятности, то есть обучающиеся учатся применять теорию вероятностей при решении статистических задач. В параграфе присутствуют решенные задания, и задания для самостоятельного изучения. Некоторые задачи представлены в виде таблицы. Ученики учатся решать задачи на вычисление вероятности, находя число возможных событий с помощью формул комбинаторики. Вводится понятие противоположных событий и их обозначение, а также происходит знакомство с формулой противоположного события. Происходит знакомство с разделом «Размещения и сочетания». Вводится понятие перестановки, затем изучается определение числа размещений элементов и числа сочетаний. Присутствует пять решенных задач на данные темы, благодаря которым ученики учатся пользоваться формулами размещений и сочетаний при нахождении различных способов решения задач. Рассмотрим вероятно-комбинаторную лини в УМК по математике, авторами которого являются А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Первое знакомство учеников 5 класса с тематикой теории вероятностей и комбинаторики, происходит в первом разделе учебника, главы «Умножение и деление натуральных чисел». На промере номера телефона, обучающих подводят к понятию комбинаторики, то есть с помощью перебора возможный вариантов, комбинаций. Очень подробно рассмотрена задача про трех школьниц, решение представлено в таблицах. Также присутствует решение этой же задачи, только представленной в виде дерева возможных вариантов. В конце параграфа присутствуют задачи для устного решения, а также упражнения для самостоятельного решения. В 6 классе продолжается изучении теории вероятностей в третей главе «Отношения и пропорции». На примере снега, когда он может выпасть, а когда нет, вводится понятие события, и следовательно понятие случайного события. Вводится определение вероятности случайного события, затем ученики знакомятся с такой наукой как «Теория вероятностей». На простых примерах из жизни, обучающихся формируется представление о таких понятиях как достоверное и невозможное событие, равновероятностное событие, эксперимент со случайным исходом, благоприятные события. После чего, ученики знакомятся с формулой нахождения вероятности. Представлен достаточный объем заданий на данную тему. Многие решенные задачи имеют иллюстрации, благодаря чему у школьников на подсознательном уровне лучше формируется само представление о нахождении чего-либо. Выполнив анализ учебников алгебры 7-8 классов, авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, материал для изучения теории вероятностей и комбинаторики не присутствует. Обучающиеся продолжают рассматривать данную тему только в учебниках алгебры за 9 класс. Изучение темы начинается с 3 главы «Элементы прикладной математики», начиная с параграфа «Основные правила комбинаторики». Обучающиеся повторяют понятие комбинаторики. Затем переходят к двум основным её правилам, это правило суммы и правило произведения. На примерах решенных задач школьники учатся применять эти правила. В параграфе «Частота и вероятность случайных событий» вводится определение события, случайного события, вероятности, вероятности случайных событий, частоты, частоты случайных событий, статистики. Школьники учатся записывать вероятность случайного события с помощью формулы. Приводится решение задач в табличном формате. Также приведены иллюстрации к условию некоторых задач. В параграфе «Классическое определение вероятности» говорится о том, что для решения задач по нахождению вероятности событий, не стоит спешить проводить эксперименты, нужно руководствоваться жизненным опытом. Школьники рассматривают и учатся применять на практике понятие достоверного события, невозможного события, равновозможного события и равновероятного события. Обучающиеся учатся вычислять классическую вероятность по формуле. Вводится само определение классической вероятности. Присутствует три решенных задания, показанных на картинках. В конце параграфа, в пункте «Сначала была игра» находится интересная информация для самых любознательных учеников. В статье говорится о известных ученых, об их опытах и экспериментах, которые занимались изучением теории вероятности и комбинаторики. В данном УМК многие элементы вводятся так же образом, как и в учебном комплекте Г.В. Дорофеева. Но практически весь материал сокращен, за исключением комбинаторики, которая содержит больше и теории, и задач. На мой взгляд, комбинаторику и начальные сведения из теории вероятностей предлагается изучать слишком поздно, что является минусом этого пособия. Плюсом данного УМК является практическая часть, содержащая большое количество хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности. Таким образом, проанализировав данные УМК можно сделать вывод, что из изученных учебников нет идеального. Вероятно-комбинаторная линия вводится в обоих УМК начиная с 5 класса. В УМК Г.В. Дорофеева более углубленно происходит изучением материала, определение случайного события присутствует уже в 5 классе, чего мы не наблюдаем в УМК А.Г. Мерзляка. В 6 классе в УМК Г.В. Дорофеева, большой акцент сделан на изучение теории вероятностей и комбинаторных задач. В пособии А.Г. Мерзляка изучается только понятие вероятности, материал по решению задач на тему комбинаторики отсутствует. В 7-8 классе, как мы уже заметили, в УМК А.Г. Мерзляка полностью отсутствует материал по данной теме, чего нельзя сказать о комплекте Г.В. Дорофеева. Рассмотрев УМК А.Г. Мерзляка за 9 класс, мы пришли к выводу, что в данном пособии изложен весь материал в сокращенной форме, в то время как в УМК Г.Д. Дорофеева изучение темы изложено постепенно. Таким образом, наиболее удачно в школьный курс математики стохастическая линия вводится именно в учебном комплекте под редакцией Г.В. Дорофеева, так как в данном комплекте присутствует наиболее обширный материал, который вводится постепенно. Можно сказать, что недостатком данного УМК является лишь не совсем хорошо разработанная практическая часть. Для успешной работы учителю можно использовать оба этих комплекта, что не очень удобно в работе со школьниками. Следовательно, необходимо разработать методический материал, преимущественно практического содержания, дополняющий учебный комплект под редакцией Г.В. Дорофеева. |