Собранные задания по математике в колледж. шар. "шар. Сфера"

• Название: "шар. Сфера"
• Анкор: Собранные задания по математике в колледж
• Дата: 25.11.2021
• Размер: 60.72 Kb.
• Имя файла: шар.docx
• Тип: Практическая работа; #282443

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ "ШАР.СФЕРА"

1. 
   Условие: шар радиуса 25 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 24 дм от центра. Найти площадь сечения
   

Дано:







2. Условие: расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 2 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 16  см². Найти радиус этого шара.
Дано:



см²



3.Условие. Стороны треугольника   касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости  , если  ,  ,   

4. Условие. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

5. Условие. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы

6. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

7. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

8. Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

9. Объем шара равен 36π. Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на 6π?

10. ш а р а Vшара=43πR3=36π ⇒ R=3π. Радиус нового шара равен: н о в Rнов.=R+6π=9π. Тогда найдем площадь поверхности: п о в н о в Sпов.=4πRнов.2=4π(9π)2=4π81π=324. Ответ: 324

Ответ

1. Решение:

 (рис. 1.   – центр шара,   – центр круга, который является сечением). Пусть   – произвольная точка на окружности сечения.   – радиус шара.

Рассмотрим треугольник  . По теореме Пифагора:

, тогда  ;



Площадь сечения равна:



Ответ: площадь сечения равна  .
2.Решение:

 (рис. 1.   – центр шара,   – центр круга, который является сечением).

Пусть   – произвольная точка на окружности сечения.

 – радиус шара,   – радиус сечения.

Площадь сечения равна:

, тогда  .

Рассмотрим треугольник  . По теореме Пифагора:

, тогда

.

Ответ: радиус шара равен   см.
3. Решение

Зная радиус сферы, нужно найти расстояние от центра до плоскости. Для этого достаточно найти радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью. Тогда из прямоугольного треугольника   (  – центр сферы,   – центр окружности сечения,   – точка на этой окружности) мы сможем найти искомое расстояние.

Найдем радиус окружности сечения. Она является вписанной для треугольника  . Воспользуемся формулой:  . Тогда  ;

 – полупериметр.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

.

Соответственно: 

Найдем расстояние от центра сферы до плоскости.

Искомое расстояние – это катет треугольника   с гипотенузой 5 и другим катетом 4. Тогда легко показать, что  .

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости   равно 3 см.
4.Решение. Рассмотрим сечение сферы плоскостью ромба. Это окружность, которая вписана в ромб. Найдем ее радиус (рис. 3).

Очевидно, это будет половина высоты ромба. То есть это высота прямоугольного треугольника с катетами 10 и 7,5. По теореме Пифагора гипотенуза, то есть сторона ромба, равна   

Тогда высота треугольника   (рис. 4) равна  .

По теореме Пифагора найдем искомое расстояние от центра до плоскости   (рис. 5). Имеем треугольник, подобный «египетскому» треугольнику, то есть недостающий катет его равен 8.

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 8 см.
5.Решение. Пусть центр сферы – точка  , точка касания – точка  , а данная точка –  . Тогда  ,   (рис. 6).

Пусть   пересекает сферу в точке  . Тогда точка   – искомая точка (рис. 7). Докажем, что оно наименьшее.

Пусть точка   (отличная от  ) (рис. 8) на сфере такова, что  . Тогда  . Но   по неравенству треугольника. Значит,   – искомое.

Рассмотрим треугольник  . По теореме Пифагора:

 Тогда  .

Ответ: расстояние равно 1 см.
6.

Решение.

Площадь большого круга равна πR2, а площадь поверхности шара равна 4πR2, где R — радиус шара. Следовательно, искомая площадь равна 12.

 Ответ: 12.
7. Решение.Объём шара вычисляется по формуле   Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна

Следовательно, искомый радиус равен 12.

 Ответ: 12.
8. Решение.

Площадь большого круга равна πR2, где R — радиус шара, а площадь поверхности шара равна 4πR2 — в 4 раза больше. Следовательно, искомая площадь равна 6.

 Ответ: 6.
9. Vшара=43πR3=36π ⇒ R=3π. Радиус нового шара равен: н о в Rнов.=R+6π=9π. Тогда найдем площадь поверхности: п о в н о в Sпов.=4πRнов.2=4π(9π)2=4π81π=324. Ответ: 324

10. Пусть V1 – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус S1 в два раза больше, чем радиус S2, то V1:V2=8. V=V1−V2=8V2−V2=7V2, следовательно, V:V2=7. Ответ: 7