Конспект лекций (ч.3). Система уравнений Максвелла

• Название: Система уравнений Максвелла
• Дата: 20.10.2022
• Размер: 0.98 Mb.
• Имя файла: Конспект лекций (ч.3).pdf
• Тип: Документы; #745462

166
30 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Ток смещения. Физический смысл уравнений Максвелла. Система
уравнений Максвелла является обобщением уравнений электро- и магни- тостатики, она основана на анализе экспериментальных фактов и имеет следующий вид:
t
D
j
H
rot







,
(30.1)
t
B
E
rot






,
(30.2)
0

B
div

,
(30.3)


D
div

,
(30.4) где все уравнения записаны в дифференциальной форме;
j

- плотность свободных токов;

- объёмная плотность свободных зарядов.
Уравнение (30.1) показывает, что магнитное поле порождается как электрическими токами, так и изменяющимся во времени электрическим полем (токами смещения). Уравнение (30.1) называется законом пол-
ного тока в обобщённом виде.
Слагаемое в правой части уравнения (30.1)
t
D
j
см





(30.5) называется объёмной плотностью тока смещения.
Производная вектора смещения (30.5), как и объёмная плотность тока проводимости, имеет размерность
2
м
/
А
. Опыт показывает, что ток смеще- ния, как и ток проводимости, является причиной возникновения магнитно- го поля. Это обстоятельство даёт основание называть производную векто- ра индукции (30.5) «плотностью тока».
Уравнение (30.2) выражает закон электромагнитной индукции Фара-
дея и утверждает, что электрическое поле создаётся изменяющимся во времени магнитным полем. Это электрическое поле называется индукци- онным и является вихревым. Знак минус в уравнении (30.2) позволяет определить направление индукционного поля в соответствии с правилом
Ленца.
Уравнение (30.3) свидетельствует об отсутствии в природе магнитных зарядов и отражает вихревой характер магнитного поля.

167
Уравнение (30.4) показывает, что электрическое поле порождается также электрическими зарядами (а не только изменяющимся во времени магнитным полем) и выражает закон Кулона в дифференциальной форме.
Это электрическое поле, в отличие от вихревого индукционного поля, яв- ляется потенциальным.
Из уравнений Максвелла следует, что изменяющееся с течением вре- мени электрическое поле создает магнитное поле. Аналогично изменение во времени магнитного поля приводит к возникновению электрического поля. Таким образом, электрическое и магнитное поля взаимно превраща- ются и являются неразрывно связанными друг с другом. Таким образом, возникает электромагнитное поле, содержащее в общем случае и элек- трическое, и магнитное поля.
Материальные уравнения. Уравнения Максвелла называются полевыми и характеризуют прежде всего свойства электромагнитного поля. Для опи- сания свойств поля в некоторой среде необходимо уравнения Максвелла дополнить материальными уравнениями (или уравнениями связи), кото- рые в простейшем случае имеют вид
E
j
H
B
E
D












,
,
,
(30.6) где
r



0

и
r



0

- диэлектрическая и магнитная проницаемость;

- проводимость среды.
Третье соотношение в (30.6) является законом Ома в дифференциаль- ной форме.
Чтобы найти электромагнитное поле в конкретном случае, например, в кристалле, волноводе, внутри либо снаружи любого искусственного устройства или естественного объекта, необходимо решить уравнения
Максвелла совместно с материальными уравнениями и учесть граничные условия для векторов электрического и магнитного поля (см. разделы 6 и
23). Полученное таким способом решение уравнений Максвелла является единственным и описывает поле в рассматриваемом случае.
Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла следует возмож- ность существования электромагнитных волн, то есть переменного элек- тромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. Распространение электромагнитных волн в вакууме является прямым экспериментальным подтверждением существования тока смеще- ния (30.5). В вакууме отсутствует вещество и отдельные заряжённые ча- стицы, поэтому магнитное поле не может создаваться токами проводимо- сти. Однако в электромагнитной волне присутствуют как электрическое, так и магнитное поле, эти поля взаимно преобразуются, что обеспечивает распространение волны в пространстве. Отсюда можно сделать вывод, что

168 причиной возникновения магнитного поля в вакууме является переменное электрическое поле, то есть ток смещения.
Чтобы описать распространение электромагнитного поля в вакууме в отсутствие зарядов и токов, необходимо использовать уравнения Максвел- ла и материальные уравнения при следующих условиях:
,
1


r
r


,
0


0

j

Тогда можно получить уравнение для вектора напряжённости элек- трического поля
E

2 2
0 0
2 2
2 2
2 2
t
E
z
E
y
E
x
E

















. (30.7)
Такому же уравнению удовлетворяет и вектор напряжённости магнит- ного поля
H

. Из этих уравнений следует, что если векторы
E

и
H

изме- няются с течением времени, то они обязательно изменяются и в простран- стве. Уравнение (30.7) является типичным примером волнового уравнения, и любая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает неко- торую волну. Чтобы найти скорость этой волны, необходимо извлечь квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при второй про- изводной по времени. Значит, уравнение (30.7) и аналогичное уравнение для вектора
H

указывают на то, что электромагнитные поля могут суще- ствовать в виде электромагнитных волн, скорость которых определяется формулой (18.11).
На основании сформулированной им системы уравнений Максвелл со- здал электромагнитную теорию света, согласно которой свет представ- ляет собой электромагнитные волны. Данная теория получила в дальней- шем полное подтверждение.
Свойства электромагнитных волн. Волновое уравнение, аналогичное уравнению (30.7), можно получить также для электромагнитного поля в однородной изотропной среде в отсутствие свободных зарядов и токов. Из этого уравнения следует, что скорость электромагнитных волн в такой среде равна
r
r
c
v



, (30.8) где
r

и
r

- относительная диэлектрическая и относительная магнит- ная проницаемости среды.
Основные свойства электромагнитных волн можно наглядно изучить на примере плоской монохроматической волны, для которой векторы
E

и
H

зависят только от одной координаты и от времени. Выбрав ось
z
вдоль направления распространения плоской волны, можно записать:

169
)
cos(
0
kz
t
E
E





,
)
cos(
0
kz
t
H
H





, (30.9) где
0
E

и
0
H

- постоянные, называемые амплитудами волн; величина
k
называется волновым числом;

- циклическая частота волны;
kz
t




- фаза волны.
Если выбрать постоянную координату
z
, то из формул (30.9) следуют синусоидальные функции времени, описывающие гармонические колеба- ния с циклической частотой

. С другой стороны, для фиксированного момента времени
t
получаем синусоидальное изменение электромагнитно- го поля в пространстве.
Рассматривая перемещение в пространстве произвольно выбранной точки волны, которой соответствует некоторое постоянное значение фазы

, например, максимума волны, можно определить скорость распростра- нения волны. Из формул (30.9) следует, что скорость волны равна
k
v


. (30.10)
Используя соотношения (30.8) и (30.10), получаем выражение для вол- нового числа
r
r
c
k




. (30.11)
Расстояние между двумя точками, в которых колебания отличаются по фазе на

2
, например, между соседними максимумами, называется длиной
волны

. Она равна расстоянию, на которое распространяется волна за время одного периода колебаний
T
, следовательно, справедливы соотно- шения
k
vT


2


. (30.12)
Длина волны равна периоду изменения электромагнитного поля (30.9) в пространстве.
Поверхность, во всех точках которой фаза колебаний одинакова, назы- вается фронтом волны. Для электромагнитной волны (30.9) фронт пред- ставляет собой плоскость, перпендикулярную оси
z
. Введя в рассмотрение единичный вектор
n

, ортогональный волновому фронту и направленный в сторону распространения волны, можно определить волновой вектор,

170
n
k
k



, (30.13) модуль которого равен волновому числу.
С целью упрощения математических преобразований, например, при вычислении ротора и дивергенции поля, векторы напряжённости электри- ческого и магнитного полей (30.9) можно записать в комплексной форме
)
exp(
0
r
k
i
t
i
E
E







,
)
exp(
0
r
k
i
t
i
H
H







, (30.14) где
r

- радиус-вектор, проведённый в произвольную точку простран- ства, в которой рассматриваются электромагнитные колебания.
Значения напряжённости электрического и магнитного полей (30.9) можно получить, выделяя только действительные части в выражениях
(30.14). Подобным образом мы уже поступали в разделе 28 при изучении переменного тока.
Аналогично (30.14), можно представить в комплексном виде также векторы индукции
D

и
B

. Дифференцируя поля по пространственным ко- ординатам и по времени, получаем:
 
 
E
k
i
E
E
rot









,
B
k
i
B
B
div









,
D
i
t
D






. (30.15)
Используя соотношения (30.15), уравнения Максвелла (30.1) – (30.4) для плоских монохроматических волн в отсутствие свободных токов и за- рядов можно записать в виде
 
B
E
k





,
 
D
H
k






, (30.16)
0

B
k


,
0

D
k


. (30.17)
Из формул (30.16) следует, что векторы
E

,
B

и
k

(а также векторы
D

,
H

и
k

) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему.
На основании соотношений (30.16) можно также сделать вывод, что в электромагнитной волне векторы
E

и
B

(а также
D

и
H

) всегда имеют
одинаковые фазы колебаний.
Формулы (30.16) можно записать в скалярном виде с учётом соотноше- ния (30.10):
vB
E

,
vD
H

. (30.18)

171
Используя материальные уравнения (30.6) и перемножая выражения
(30.18), получаем следующее соотношение для электромагнитного поля в однородной изотропной среде в отсутствие свободных зарядов и токов:
2 0
2 0
H
E
r
r





. (30.19)
Для такой среды векторы
E

,
H

и
k

являются взаимно перпендикуляр- ными и образуют правовинтовую систему (см. рис.58).
Рисунок 58 – Распределение электрического и магнитного полей в плоской монохроматической волне
Формула (30.19) справедлива для полей, рассматриваемых в произ- вольный момент времени, она верна и для амплитуд полей.
Для волны, распространяющейся в вакууме, на основании соотношения
(30.19) можем записать:
Ом)
(
377 120 0
0






H
E
, (30.20) где величина
0 0
0




, измеряемая в омах, называется волновым
импедансом свободного пространства.

172
31 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Как следует из уравнений Максвелла, электромагнитное поле состоит из электрического и магнитного полей, которые неразрывно связаны и способны превращаться друг в друга. Поскольку электромагнитное поле является материальным объектом, оно обладает энергией. Можно доказать, что формулы (9.9) и (27.8), полученные в электро- и магнитостатике, оста- ются справедливыми и для переменных полей. Поэтому формулу для объ-
ёмной плотности энергии электромагнитного поля можно получить путём сложения плотности энергии электрического и магнитного полей (9.9) и
(27.8):
м
эл
w
w
w


(31.1)
Объёмная плотность энергии электромагнитного поля равна


H
B
E
D
w






2 1
(31.2)
Используя уравнения связи (30.6), получаем:
)
(
2 1
2 0
2 0
H
E
w
r
r






. (31.3)
Для плоской электромагнитной волны выполняется соотношение
(30.19). Следовательно, объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей волны в любой момент времени одинаковы:
м
эл
w
w

При распространении электромагнитной волны имеет место перенос энергии в пространстве, характеризуемый вектором Умова – Пойнтинга
 
H
E
S




,
(31.4) ориентация которого совпадает с направлением переноса энергии. Модуль вектора Умова - Пойнтинга численно равен энергии электромагнитного поля, переносимой в единицу времени через единичную площадку, пер- пендикулярную направлению движения энергии. Поэтому вектор Умова -
Пойнтинга называется вектором плотности потока энергии. Для одно- родной изотропной среды в отсутствие свободных зарядов и токов векторы
E

,
H

и
k

являются взаимно перпендикулярными и образуют правовинто- вую систему. Поэтому для такой среды вектор Умова – Пойнтинга совпа- дает по направлению с волновым вектором
k


173
Используя выражения (30.18) и (30.19), можно показать, что модуль вектора Умова – Пойнтинга связан с объёмной плотностью энергии элек- тромагнитного поля соотношением
wv
EH
S


, (31.5) где
v
- скорость распространения волны.
Электромагнитное поле может совершать работу по перемещению за- ряжённых частиц в пространстве. Объемная плотность мощности, то есть работа, совершаемая полем в единицу времени в единичном объеме про- странства, равна
j
E
Q



,
(31.6) где
j

- плотность тока.
Используя выражения (31.2), (31.4), (31.6), можно получить закон со-
хранения энергии электромагнитного поля
P
d
S
t
W





)
(





,
(31.7) где
 


V
wdV
W
(31.8)
- полная энергия электромагнитного поля в пределах области
)
(V
;
 


V
QdV
P
(31.9)
- полная мощность, развиваемая полем при перемещении заряжённых частиц в области
)
(V
Первое слагаемое в правой части соотношения (31.7) описывает пол- ный поток энергии через поверхность
)
(

, ограничивающую область
)
(V
Закон сохранения энергии (31.7) показывает, что энергия электромагнит- ного поля в любой области
)
(V
может измениться либо в результате пере- носа энергии через границу области, либо в результате совершения полем работы при перемещении заряжённых частиц в этой области. Знаки минус в правой части соотношения (31.7) показывают, что при переносе энергии наружу через границу области, а также при ускорении зарядов полем энер- гия электромагнитного поля в области
)
(V
уменьшается.

174
Закон сохранения энергии электромагнитного поля можно записать также в дифференциальной форме
Q
t
w
S
div






(31.10)
Формула (31.10) справедлива для любого физически малого объема пространства, то есть она представлена в локальном виде.

175 32 ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И
МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ
Изучение электромагнитных явлений сыграло важную роль при воз- никновении и обосновании специальной или частной теорий относитель- ности, созданной в 1904-1907 гг. Г.Лоренцем, А.Пуанкаре, А.Эйнштейном и Г.Минковским. В 1905 г. А.Эйнштейн сформулировал основные посту-
латы (то есть исходные положения) специальной теории относи-
тельности, согласно которым «... не только в механике, но и в электроди- намике никакие свойства явлений не соответствуют понятию абсолютного покоя... Для всех систем координат, в которых выполняются уравнения механики, должны быть справедливы те же самые законы электродинами- ки и оптики. В пустоте свет всегда распространяется с определенной ско- ростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела». Таким образом:
1) физические законы не зависят от выбора инерциальных систем от- счёта, поэтому все явления природы происходят одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета;
2) скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета, то естьнезависит от скорости движения источника и приемника света.
Первому постулату предшествовал механический принцип относитель- ности Галилея, согласно которому законы механики одинаковы для всех инерциальных систем отсчета. Поэтому все механические процессы и яв- ления происходят одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета. В конце XIX - начале XX столетий было установлено, что прин- цип относительности справедлив не только для механических, но и для всех других явлений природы: тепловых, электромагнитных, химических, биологических. Такое обобщенное понимание принципа относительности и позволило сформулировать первый постулат теорий относительности.
При этом важную роль сыграло рассмотрение электромагнитных явлений.
Второй постулат теории относительности также непосредственно каса- ется электромагнетизма, поскольку свет представляет собой электромаг- нитные волны, то есть колебания электромагнитного поля. Скорость света в вакууме равна с = 2,998

10 8
м/с и является фундаментальной физической постоянной.В международной системе единиц СИ скорость света удовле- творяет соотношению (18.11). Величины, входящие в формулу (18.11), от- носятся к фундаментальным физическим константам и характеризуют свойства вакуума. Отметим, что электрическая постоянная и магнитная постоянная входят в соотношение (18.11) симметричным образом. Ско- рость света рассматривается в физике как максимально возможная ско- рость передачи материального воздействия тел на другие тела.

176
Из теории относительности следует, что при переходе от одной инер- циальной системы отсчета к другой векторы электромагнитного поля пре- образуются по следующему закону:
x
x
E
E


,
2 1






z
y
y
B
v
E
E
,
2 1






y
z
z
B
v
E
E
,
(32.1)
x
x
B
B


,
2 2
1






z
y
y
E
c
v
B
B
,
2 2
1






y
z
z
E
c
v
B
B
Здесь
c
v


, штрихованные величины относятся к системе
K

, движу- щейся относительно системы
K
со скоростью
v

, причем вектор
v

направ- лен вдоль оси
OX
(рисунок 47).
y
'
y
v

z
'
z
0
'
0
x
'
x
K
'
K
Рисунок 59 - Относительное движение систем отсчёта
K
и
K

Формулы (32.1) можно представить также в векторном виде:
пар
пар
E
E




,
пар
пар
B
B




,
(32.2)
 
2 1








B
v
E
E




,
 
2 2
1








c
E
v
B
B




, где индексами
пар
и

обозначены компоненты полей, параллельные и перпендикулярные к вектору
v

Уравнения (32.1) или (32.2) показывают, что каждый из векторов
E


и
B


зависит как от
E

, так и от
B

. Эта взаимосвязь доказывает единую при- роду электрического и магнитного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно

177 говорить только с обязательным указанием системы отсчёта, в которой эти поля рассматриваются.
Ранее вывод о неразрывности электрического и магнитного полей был сделан на основании уравнений Максвелла (30.1) – (30.4). Эти поля вместе образуют физический объект, который мы называем электромагнитным полем. Теперь мы видим, что такой же вывод можно сделать в рамках спе- циальной теории относительности, в частности, на основании законов пре- образования полей (32.1).
Из формул преобразования полей (32.1) следует, что магнетизм имеет релятивистскую природу. Пусть в системе
K

заряжённые частицы покоят- ся, тогда
0


B

,
0


E

, то есть эти частицы создают только электрическое поле в системе
K

. В соответствии с формулами преобразования полей
(32.1) получаем
0

B

,
0

E

, то есть наблюдатель, находящийся в системе
K
, зарегистрирует магнитное поле движущихся заряжённых частиц. Таким образом, магнетизм имеет релятивистскую природу, то есть причина суще- ствования магнитного поля - относительное движение заряжённых частиц и наблюдателя. Релятивистская природа магнетизма является следствием отсутствия в природе магнитных зарядов.
Согласно (32.1), векторы
E

и
B

, характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчёта. В то же время существуют инварианты
электромагнитного поля, то есть количественные характеристики поля, которые не изменяются при переходе от одной инерциальной системы от- счёта к другой:
B
E
Inv



1
,
2 2
2 2
B
c
E
Inv


. (32.3)
Независимость этих величин от системы отсчёта следует из формул преобразования полей (32.1).

178
33 СКИН–ЭФФЕКТ
Постоянный ток, проходящий внутри цилиндрического проводника с постоянным сечением, распределён равномерно в пределах поперечного сечения проводника, то есть плотность тока является постоянной величи- ной. У переменного тока происходит перераспределение плотности тока по поперечному сечению проводника. В результате ток сосредоточивается преимущественно в поверхностном слое проводника. Можно показать, что причиной скин-эффекта является возникновение вихревого электрического поля электромагнитной индукции. Скин–эффект можно качественно ха- рактеризовать как концентрацию переменного тока вблизи поверхности проводника.
Можно ввести в рассмотрение толщину скин-слоя как расстояние от поверхности проводника до точки внутри проводника, в которой плот- ность тока уменьшилась в
e
раз по сравнению с током на поверхности проводника. Если толщина скин-слоя значительно уступает размерам се- чения проводника, то она удовлетворяет приближённому соотношению



r
0 2


, (35.1) где

- толщина скин–слоя;
0

- магнитная постоянная;
r

- относительная магнитная проницаемость вещества;

- удельная проводимость вещества;

- циклическая частота переменного тока.
Например, для тока с циклической частотой с
/
рад
10 6


, проходящего в медном проводнике, толщина скин–слоя равна мм
4
,
0
. Для тока с часто- той
Гц
50


скин–эффект проявляется очень слабо.
По мере увеличения частоты тока площадь эффективного сечения про- водника уменьшается. Используя формулу (10.11), можно показать, что из- за скин-эффекта электрическое сопротивление проводника возрастает с увеличением частоты тока.
При возрастании частоты тока энергия магнитного поля, создаваемого током, уменьшается. Так происходит потому, что внутри проводника маг- нитное поле ослабло, ведь ток сосредоточился, в основном, вблизи по- верхности проводника. При этом снаружи проводника магнитное поле не изменилось, поскольку во внешнем пространстве магнитное поле опреде- ляется полным током в проводнике и не зависит от распределения тока внутри проводника. С помощью формулы (27.4) можно показать, что по причине скин-эффекта индуктивность проводника уменьшается при уве- личении частоты тока.

179
34 ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И
МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Напряжённость электрического поля точечного заряда можно опре- делить с помощью закона Кулона (1.6). В общем случае, при непрерывном распределении заряда в пространстве, на основе (1.6) можно получить формулу


)
(
3 0
4 1
V
dV
r
r
E




, (34.1) где

- объёмная плотность электрического заряда в произвольной об- ласти пространства
)
(dV
,
r

- радиус-вектор, проведённый от элементарного заряда
dV
dq


в точку наблюдения, в которой вычисляется электрическое поле,
)
(V
- область, в которой распределён электрический заряд.
Формула (34.1) применима в произвольном случае, и при вычислении напряжённости могут быть использованы как аналитические, так и чис- ленные методы интегрирования.
Особый интерес представляют случаи симметричного распределения
заряда в пространстве. Расположение зарядов может иметь, например, сферическую, аксиальную или планарную симметрию. В этих случаях напряжённость электрического поля можно вычислить с помощью элек- тростатической теоремы Гаусса (2.2).
В качестве примера рассмотрим шар радиуса
R
, заряжённый однород- но с объёмной плотностью заряда

(рисунок 60).
0


E

R
r
0
Рисунок 60 - Электрическое поле внутри однородно заряжённого шара радиуса
R
(заряд шара положительный)
Поместим начало координат в центр шара и введём в рассмотрение вспомогательную сферическую поверхность
)
(S
, имеющую радиус
r
. Этот радиус
r
равен расстоянию от центра шара до точки наблюдения, которая

180 может находиться как внутри шара, так и снаружи его. Картина электриче- ского поля также имеет сферическую симметрию, и силовые линии направлены радиальным образом относительно центра шара. Поток напряжённости электростатического поля через вспомогательную поверх- ность
)
(S
равен
E
r
N
2 4



. (34.2)
Здесь знак плюс соответствует случаю, когда шар заряжен положи- тельно, и силовые линии направлены от центра шара, совпадая по направ- лению с вектором нормали к вспомогательной сфере, направленной нару- жу. Если шар имеет отрицательный заряд, то силовые линии направлены к его центру, образуя угол

с вектором нормали к вспомогательной сфере.
В этом случае поток (34.2) является отрицательным.
При вычислении потока (34.2) учтено, что модуль вектора напряжённо- сти электростатического поля
E
является одинаковым на всей вспомога- тельной сферической поверхности в силу симметричности распределения зарядов.
Если точка наблюдения находится внутри шара, то
R
r

, и внутри вспомогательной сферы сосредоточен заряд
3 3
4
r
Q


. (34.3)
Подставляя выражения (34.2) и (34.3) в электростатическую теорему
Гаусса (2.2), получаем выражение для модуля напряжённости поля
0 3
)
(


r
r
E


. (34.4)
Здесь знак «плюс» выбирается при условии
0


, знак «минус» - в про- тивоположном случае.
Формула (34.4) показывает, что напряжённость электростатического поля возрастает прямо пропорционально расстоянию от центра шара, пока точка наблюдения находится внутри шара.
Во внешнем пространстве, при
R
r

, симметрия электростатического поля остаётся сферической, поэтому формула (34.2) является по-прежнему применимой. В этом случае внутри вспомогательной сферы находится весь электрический заряд шара
3 3
4
R
Q


. (34.5)

181
Используя электростатическую теорему Гаусса (2.2) и выражения
(34.2) и (34.5), получаем:
2 0
4 1
)
(
r
Q
r
E



, (34.6) где
E
- модуль напряжённости электростатического поля, правило вы- бора знаков остаётся таким же, как и в соотношении (34.4).
Из соотношения (34.6) следует, что снаружи шара напряжённость элек- тростатического поля убывает обратно пропорционально квадрату рассто- яния от центра шара. Значит, во внешнем пространстве напряжённость по- ля шара имеет такую же зависимость от расстояния, как и в случае точеч- ного заряда.
Применяя аналогичную методику, с помощью электростатической тео- ремы Гаусса можно вычислить поля плоскости, плоского слоя, нити, ци- линдра и полой сферы, если эти тела заряжены однородно, то есть если плотность заряда не изменяется в пространстве.
Что касается магнитных полей, то их силовая характеристика – ин- дукция – может быть вычислена с помощью закона Био – Савара (18.8).
Для произвольных токов из формулы (18.7) можно получить соотношение
 


)
(
3 0
4
V
dV
r
r
j
B





, (34.7) где
j

- плотность электрического тока в произвольной области про- странства
)
(dV
;
r

- радиус-вектор, проведённый от области
)
(dV
в точку наблюдения, в которой вычисляется индукция магнитного поля;
)
(V
- область, в которой проходит электрический ток.
Если ток является линейным, то есть существует в тонком проводнике, то индукция магнитного поля равна
 


)
(
3 0
4
L
r
r
l
Id
B





, (34.8) где
I
- сила электрического тока;
r

- радиус-вектор, проведённый от элемента контура
)
( l
d

в точку наблюдения, в которой вычисляется индукция магнитного поля;
)
(L
- контур, в котором существует электрический ток.
Большое значение для практики имеют случаи симметричного рас-
пределения электрического тока в пространстве. Симметрия прохож-

182 дения токов может быть, например, сферической, аксиальной или планар- ной. В этих случаях индукция магнитного поля может быть вычислена с помощью закона полного тока (19.1).
Для примера определим магнитное поле бесконечно длинного цилин- дра с круговым сечением радиуса
R
, внутри которого проходит однород- ный ток с плотностью
j

(рисунок 61).
R
r
0
B

j

Рисунок 61 - Магнитное поле снаружи бесконечно длинного цилиндра радиуса
R
(постоянный ток внутри цилиндра направлен к наблюдателю)
Точка наблюдения, в которой необходимо вычислить поле, может находиться либо внутри цилиндра с током, либо снаружи его. Проведём через точку наблюдения вспомогательный контур
)
(L
, симметрия которого соответствует симметрии распределения тока. В данном случае таким кон- туром является окружность радиуса
r
, центр которой лежит на оси цилин- дра. Радиус окружности
r
равен расстоянию от оси цилиндра до точки наблюдения. Поскольку распределение тока имеет аксиальную симмет- рию, линии индукции магнитного поля имеют вид концентрических окружностей, центр которых лежит на оси проводника. Циркуляция векто- ра индукции магнитного поля по вспомогательной окружности равна
rB
C

2

, (34.9) где направление обхода вспомогательного контура образует с направ- лением тока в проводнике правовинтовую систему.
При вычислении циркуляции (34.9) принято во внимание, что модуль вектора индукции магнитного поля
B
является одинаковым на всей вспо- могательной окружности по причине симметричности распределения тока в цилиндрическом проводнике.
Для точки наблюдения, лежащей внутри цилиндра, выполняется нера- венство
R
r

, и вспомогательная окружность охватывает ток

183
j
r
I
2


. (34.10)
Используя закон полного тока (19.1) и выражения (34.9) и (34.10), по- лучаем
2 0
rj
B


. (34.11)
Формула (34.11) показывает, что индукция магнитного поля связана линейной зависимостью с расстоянием от центра проводника, пока точка наблюдения находится внутри проводника.
Во внешней области относительно цилиндра, при
R
r

, магнитное поле сохраняет осевую симметрию, поэтому формула (34.9) остаётся по- прежнему верной. В этом случае внутри вспомогательной окружности проходит весь электрический ток
j
R
I
2


. (34.12)
Подставляя выражения (34.9) и (34.12) в закон полного тока (19.1), по- лучаем
r
I
B


2 0

. (34.13)
Из выражения (34.13) следует, что снаружи цилиндрического провод- ника индукция магнитного поля имеет обратную зависимость от расстоя- ния до оси цилиндра. Значит, во внешней области индукция поля цилиндра имеет такую же зависимость от расстояния, как и в случае линейного тока, то есть очень тонкого проводника (формула 18.5).
Действуя аналогичным образом, с помощью закона полного тока мож- но определить также магнитные поля в других симметричных случаях, например, для однородного тока, проходящего по плоской поверхности, внутри плоского слоя, по нити и внутри стенок полого цилиндра. Можно вычислить также магнитное поле внутри тороида. Во всех случаях необхо- димым условием является постоянство плотности тока в пространстве.

184
35 КИРАЛЬНЫЕ СРЕДЫ. МЕТАМАТЕРИАЛЫ
1
Уравнения Максвелла являются универсальными, они применимы для электромагнитных полей в любых средах. В то же время материальные уравнения могут изменяться в зависимости от рассматриваемого вещества.
Например, существуют так называемые киральные среды, молекулы кото- рых не являются зеркально симметричными. Простейшей моделью ки- ральной молекулы является спиралевидная цепочка атомов. Для кираль- ных веществ материальные уравнения отличаются от обычных уравнений
(30.6) и имеют вид
t
H
E
D
r












0 0
0
,
(35.1)
t
E
H
B
r












0 0
0
,
(35.2) где

- параметр киральности вещества, не имеющий размерности в системе СИ.
Уравнения (35.1) и (35.2) показывают, что в киральных средах возмож- ны магнитоэлектрические явления, то есть переменное магнитное поле может индуцировать в молекулах вещества электрические дипольные мо- менты. В свою очередь переменное электрическое поле способно создавать в молекулах вещества магнитные моменты. Чтобы понять возможность возникновения магнитоэлектрических эффектов, достаточно рассмотреть движение электронов в молекулах по спиральным траекториям. Любое ко- лебание электрона вблизи положения равновесия приводит не только к смещению электрического заряда, но и к возникновению кругового тока, поскольку электрон движется по спирали. Следовательно, в киральных мо- лекулах электрические дипольные моменты неразрывно связаны с магнит- ными моментами.
Основным свойством киральных сред является способность поворачи- вать плоскость поляризации электромагнитной волны, это явление рас- сматривается при изучении оптики.
С помощью современных технологий можно создать искусственные материалы с особыми электромагнитными свойствами, или метаматери-
алы. Этот термин возник в начале 21 столетия и происходит от греческого слова

, что означает «вне, выше, за пределами». Такое название объ- ясняется тем обстоятельством, что свойства метаматериалов нельзя полу- чить при использовании обыкновенных материалов.
1
Данный раздел содержит материал повышенной сложности и предназначен для факультативного изу- чения.

185
В обычных материалах мы не можем изменять свойства отдельных атомов и расстояния между ними. Новые возможности открываются в ме- таматериалах, где элементами структуры являются микрорезонаторы. Мы можем изменять форму и размеры элементов, а также расстояние между ними, и тем самым управлять свойствами метаматериала. При этом долж- но выполняться соотношение


d
, где
d
- характерный период располо- жения элементов,

- длина волны электромагнитного поля.
Элементами метаматериалов могут быть, например, проводники спи- ральной или

- образной формы. Особый интерес вызывают к себе спи- рали, имеющие, в рамках электродинамики, оптимальную форму. В этом случае для искусственного материала выполняются соотношения:
r
r



,
(35.3)




1
r
,
(35.4) где «плюс» соответствует правовинтовым спиралям, «минус» - лево- винтовым спиралям.
Формула (35.3) означает, что метаматериал обладает одинаково значи- мыми диэлектрическими и магнитными свойствами.
При создании метаматериалов могут быть использованы также резо-
наторы на основе расщеплённых колец (split ring resonators). Принципи- альная схема такого резонатора показана на рисунке 62 (патент США «Left handed composite media: United States Patent, US 6,791,432 B2 / D. Smith, S.
Schultz, N. Kroll, R.A. Shelby.- Sep. 14, 2004»).
Рисунок 62 - Резонатор на основе расщеплённых колец
Допустим, что индукция внешнего магнитного поля направлена пер- пендикулярно плоскости резонатора, от наблюдателя, и возрастает в дан- ный момент времени. В соответствии с законом Фарадея, в каждом кольце

186 возникает э.д.с. индукции, которая приводит к образованию индукционно- го тока. В результате в каждом кольце создаётся неоднородное распреде- ление электрического заряда, пример которого показан на рисунке 62. В узком зазоре между кольцами образуется сильное электрическое поле.
Благодаря близкому расположению колец резонатор может обладать зна- чительной электроёмкостью. Ток смещения (30.5), возникающий в зазоре между кольцами, обеспечивает взаимодействие колец резонатора. Наибо- лее сильный ток в кольцах активируется при условии, что длина волны воздействующего электромагнитного поля
0

удовлетворяет приближён- ному соотношению
2
)
(
2 0
2 1




R
R
, (35.5) где
1
R
и
2
R
- расстояния от оси резонатора до середины каждого коль- ца;
0

- резонансная длина волны электромагнитного поля, связанная с ре- зонансной частотой
0

(28.26) формулой (28.9).
Соотношение (35.5) показывает, что сила тока в кольцах максимальна, если суммарная длина двух колец приблизительна равна половине длины волны электромагнитного поля. Можно сказать, что токи проводимости в кольцах замыкаются током смещения, существующем в зазоре, и фактиче- ски образуют единый ток. Поэтому изменение электрического тока в резо- наторе в целом аналогично механическим колебаниям струны, закреплён- ной на концах. Если на струне укладывается половина длины волны, то возбуждается главная мода колебаний, и звучит основной тон струны.
Из формулы (35.5) следует, что длина волны электромагнитного поля вблизи резонанса значительно превышает диаметр резонатора. Следова- тельно, по отношению к этому полю резонатор можно рассматривать как точечный излучатель. При этом на более высоких частотах, превышающих резонансную частоту, резонатор проявляет диамагнитные свойства.
Переменное внешнее магнитное поле приводит также к возникновению электрического дипольного момента между кольцами. Следовательно, в резонаторе возможны магнитоэлектрические эффекты, и свойства метама- териала, созданного на основе таких резонаторов, можно описать с помо- щью материальных уравнений (35.1) и (35.2).
Условие (35.3) означает, что относительная диэлектрическая проница- емость и относительная магнитная проницаемость метаматериала равны друг другу для некоторых частот электромагнитного поля. Можно пока- зать, что в этом случае электромагнитные волны в рассматриваемом диа- пазоне частот не будут испытывать отражения от границы раздела воздух –

187 метаматериал. Поэтому метаматериал может быть использован при созда- нии безотражательных покрытий.
Если метаматериал обладает сильными диамагнитными свойствами, то величины
r

и
r

могут одновременно принимать отрицательные значения для некоторых частот электромагнитного поля:
0

r

,
0

r

. (35.6)
Впервые возможность существования таких сред была теоретически рассмотрена советским физиком В.Г.Веселаго в 1968 г.
В обычном материале векторы
E

,
H

и
k

образуют правовинтовую си- стему, и вектор Умова – Пойнтинга
S

(31.4) совпадает по направлению с волновым вектором
k

(см. раздел 31). Из соотношений (30.16) и матери- альных уравнений (30.6) следует, что в метаматериалах при выполнении условий (35.6) векторы
E

,
H

и
k

образуют левовинтовую систему. Поэто- му в метаматериалах вектор Умова – Пойнтинга
S

(31.4) и волновой век- тор
k

направлены противоположно.
Можно показать, что при этом в формуле (30.8) необходимо поставить знак минус, то есть скорость электромагнитной волны является отрица- тельной. В этом случае метаматериал может демонстрировать аномальное преломление электромагнитных волн, и угол преломления волны на гра- нице раздела воздух – метаматериал является отрицательным. Другими словами, падающий и преломлённый лучи лежат по одну сторону от пер- пендикуляра к границе раздела двух сред, восстановленного в точку паде- ния.
Изложенное выше поясняет, почему метаматериалы, для которых вы- полняется условие (35.6), называют дважды отрицательными средами, сре- дами Веселаго, средами с отрицательным коэффициентом преломления, левосторонними или средами обратной волны.
Возможными приложениями метаматериалов являются также новые типы электромагнитных сенсоров, малогабаритные антенны и линзы со сверхвысоким разрешением.