ТВиМС КР Хегай АС ДЭ-900 (2). Системы случайных величин. Элементы математической статистики

• Название: Системы случайных величин. Элементы математической статистики
• Дата: 03.02.2023
• Размер: 43.63 Kb.
• Имя файла: ТВиМС КР Хегай АС ДЭ-900 (2).docx
• Тип: Задача; #918258

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 (Вариант 1)

(спец. “Финансы и кредит” (080105), ускоренная форма обучения)

ТЕМА: Системы случайных величин. Элементы математической статистики.
Задача 1. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, У) задан таблицей:

Х / У	-4	-3	-2	1
0	0,05	0	0,1	0
1	0,2	0,05	0	0,1
2	0,1	0,05	0,05	0,05
3	0	0,1	0,05	0,1

Найти:

1. 
   законы распределения случайных величин Х и У;
   
2. 
   условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что
   

У =1;

3) математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;

4) дисперсии D(X), D(Y);

5) корреляционный момент С_ху и коэффициент корреляции r_xy.

1. 
   P(X=0)=0,05+0+0,1+0=0,15
   

P(X=1)=0,2+0,05+0+0,1=0,35

P(X=2)=0,1+0,05+0,05+0,05=0,25

P(X=3)=0+0,1+0,05+0,1=0,25

P(Y=-4)=0,35

P(Y=-3)=0,2

P(Y=-2)=0,2

P(Y=1)= 0,25
Законы распределения сл величин Х и У

X	0	1	2	3
pi	0,15	0,35	0,25	0,25

Y	-4	-3	-2	1
pj	0,35	0,2	0,2	0,25

2. 
   Найдем условный закон распределения Х при условии, что У=1.
   

Используем формулу Р(х_i/y_j) = , p(Yj)=0,25

Р(Х = х1 / Y = y4 )=

Р(Х = х2 / Y = y4 )=0,4

Р(Х = х3 / Y = y4 )=0,2

Р(Х = х4 / Y = y4 )=0,4
Условное распределение (X/Y = 1) имеет вид:

X/Y = 1	0	1	2	3
Р(Х=хi / Y=1)	0	0,4	0,2	0,4

3. 
   M(X)=0*0,15+1*0,35+2*0,25+3*0,25=0+0,35+0,5+0,75=1,6
   

D(X)= (0 – 1,6)²0,15 + (1 – 1,6)²0,35 + (2 – 1,6)²0,25+ (3 – 1,6)²0,25=0,384+0,126+0,04+0,49=1,04

σ(X)=1,02
M(Y)=-4*0,35-3*0,2-2*0,2+1*0,25=-1,4-0,6-0,4+0,25=-2,15

D(Y)= (-4 +2,15)²0,35 + (-3+2,15)²0,2 + (-2 +2,15)²0,2+ (1 +2,15)²0,25=1,197+0,144+0,0045+2,48=3,8

σ(Y)= 1,95
Таким образом, центром рассеивания является точка (1,02; 1,95).

4. 
   Cоставим таблицу системы центрированных случайных величин , где = Х – М(Х) = Х – 1,6; = Y – M(Y) = Y + 2,15
   

/	-1,85	-0,85	0,15	3,15
-1,6	0,05	0	0,1	0
-0,6	0,2	0,05	0	0,1
0,4	0,1	0,05	0,05	0,05
1,4	0	0,1	0,05	0,1

Cov (X,Y)=-1,60,05(-1,85) + (-1,6) 0,10,15 + (-0,6) 0,2(-1,85) +(-0,6) 0,05(-0,85) +(-0,6) 0,13,15 +0,40,1(-1,85) +0,40,05(-0,85) +0,40,050,15 +0,40,053,15 +1,40,1(-0,85) +1,40,050,15 +1,40,13,15=0,48-0,024+0,222+0,102-0,189-0,074-0,017+0,003-0,119+0,0105+0,441=0,8355
(Х, Y)= =0,8355/1,02*1,95=0,42
Задача 2. Система двух непрерывных случайных величин (Х,У) имеет равномерное распределение в области D = (х,у) х² + у² 1; 0 у ; у -х .

Найти:

1. 
   плотность распределения;
   
2. 
   вероятность Р[(Х,У) G] попадания в область G=(х,у) х²+у²  1; у  ;
   
3. 
   плотности распределения f₁(x) иf₂(x) случайных величин Х и У и условные плотности (х у) и  (у х);
   
4. 
   математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания;
   
5. 
   дисперсии D(X), D(Y);
   
6. 
   корреляционный момент С_ху и коэффициент корреляции r_xy.
   

Задача 3. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие 16 значений:

Х1 = 1	Х2 = 5	Х3 = 4	Х4 = 3
Х5 = 9	Х6 = 7	Х7 = 8	Х8 = 7
Х9 = 2	Х10= 9	Х11= 8	Х12= 5
Х13= 2	Х14= 6	Х15= 5	Х16= 9

Требуется:

1. 
   построить статистическое распределение;
   
2. 
   изобразить полигон распределения;
   
3. 
   построить эмпирическую функцию распределения;
   
4. 
   считая величину Х непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0; 10) на 5 участков, имеющих одинаковые длины и построить гистограмму относительных частот.
   

Задача 4. Даны 15 выборочных значений Х₁, Х₂, …Х₁₅:

1,578	2,298	1,874	2,103	2,385
1,860	1,792	2,232	2,355	2,177
2,078	1,950	1,868	1,976	2,449

случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и ².
Требуется:

1. 
   вычислить точечные оценки а^* и (²)^* параметров а и ², принимая а^*= , (²)^*= (а^*(Х))²; записать функцию плотности и найти Р(Х2);
   
2. 
   построить доверительные интервалы для параметров а и  с надежностью 0,99;
   
3. 
   используя ² – критерий и критерий согласия Колмагорова-Смирнова с уровнем значимости ε = 0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал ( -1; +1) на 5 равных частей.
   

Задача 5. По данным корреляционной таблицы:

Х/У	10	20	30	40	50	nx
4	2	-	-	-	-	2
9	3	7	-	-	-	10
14	-	3	2	1	-	6
19	-	-	50	10	4	64
24	-	-	2	6	7	15
29	-	-	-	-	3	3
ny	5	10	54	17	14	N =100

1. 
   найти условные средние и ;
   
2. 
   оценить тесноту линейной связи между случайными величинами Х и У, а так же обоснованность связи между этими величинами;
   
3. 
   составить уравнение линейной регрессии У по Х и Х по У;
   
4. 
   сделать чертеж, нанеся на него условные средние и прямые регрессии.