Преобразования Лоренца. Специальная теория относительности

• Название: Специальная теория относительности
• Дата: 26.09.2022
• Размер: 320.64 Kb.
• Имя файла: Преобразования Лоренца.pdf
• Тип: Документы; #698067

Специальная теория относительности
Введение
Для описания процессов, происходящих в природе, необходимо иметь систему отсчета. Подсистемой отсчета понимают систему координат, служащую для указания положения частиц в пространстве, вместе со связанными с этой системой часами, служащими для указания времени.
Существуют системы отсчета, в которых свободное движение тел, не находящихся под действием внешних сил, происходит с постоянной скоростью. Такие системы отсчета носят название инерциальных.
Если две системы отсчета движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно и если одна из них инерциальная, то очевидно, что и другая тоже является инерциальной
(всякое свободное движение ив этой системе будет прямолинейными равномерным. Таким образом, имеется сколько угодно инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно-поступательно.
Сформулируем постулаты Эйнштейна Все процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и равна c = 2, 998 · 10 10
см/c
Другими словами, уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы к другой. Это значит, что уравнение, описывающее некоторый закон природы, будучи выражено через координаты и время в различных инерциальных системах отсчета, имеет один и тот же вид.
Механика, основанная на двух постулатах Эйнштейна, называется релятивистской. В предельном случае, когда скорости движущихся тел малы по сравнению со скоростью света, можно пренебречь влиянием конечности скорости распространения взаимодействий на движение.
Тогда релятивистская механика переходит в обычную механику, основанную на предположении о мгновенности распространения взаимодействий эту механику называют ньютоновской или классической. Предельный переход от релятивистской механики к классической может быть формально произведен как переход к пределу c ? ? в формулах релятивистской ме- ханики.
Преобразования Лоренца
Пусть в начальный момент времени производится вспышка. Из первого постулата получим r = ct и r
?
= ct
?
. С учјтом r
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
x
2
+ y
2
+ z
2
? c
2
t
2
= 0,
(1)
x
?2
+ y
?2
+ z
?2
? c
2
t
?2
= Также вследствии однородности пространства и времени преобразования должны быть линейными где f, g, h и e функции от x, y, z и t. Если бы производные этих функций пои небыли постоянными, а зависели от x, y, z и t то и разности x
?
2
?x
?
1
, y
?
2
?y
?
1
, z
?
2
?z
?
1
, выражающие проекции расстояний между точками 1 ив движущейся системе, зависели бы не только от соответствующих проекций x
2
? x
1
, y
2
? y
1
, z
2
? z
1
, t
2
? в неподвижной системе, но и от значений самих координат x, y, z и t, что противоречило бы требованию независимости свойств пространства от выбора начальных точек отсчета.
Рис. Положим, что проекции расстояний вида x
?
= x
?
2
?
x
?
1
= f (x
2
, . . .) ? f (x
1
, . . зависят только от проекций расстояний в неподвижной системе, те. от x = x
2
? x
1
, ноне зависит от x
1
, тогда 0
? ? const
?f (x
1
+ ?, . . .)
?x
1
?
?f (x
1
, . . .)
?x
1
= Аналогично можно доказать, что производные по всем другим координатам также равны константам, а следовательно, и вообще все производные.
Перепишем уравнения (3) в виде x
?
= ?x + ?t,
t
?
= ?x + Очевидно, что y = y
?
,
z = также Подставим (6) в (4)
 x
?
= ?(x ? vt),
t
?
= ?x + Теперь подставим (5) вис учјтом (4)
x
2
? c
2
t
2
= ?
2
(x
2
? 2xvt + v
2
t
2
) ? c
2
(x
2
?
2
+ 2??xt + или x
2
· (?
2
? c
2
?
2

) + x · (?2v?
2
? 2c
2
??) + t
2
· (?
2
v
2
? c
2
?
2
) = x
2
· 1 + x · 0 ? t
2
· Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях хи получим c
2
?
2
= 1,
?2v?
2
? 2c
2
?? = 0,
?
2
v
2
? c
2
?
2

= Из двух последних уравнений системы находим = ?
v?
2
c
2
?
,
?
2
=
1 1 ?
v
2
c
2
,
(12)
2

подставим в первое c
2
?
2
= ?
2
? 1 =
1 1 ?
v
2
c
2
? 1 ? ? = ±
v c
2
q
1 и =
v c
2
·
q
1 ?
v
2
c
2
(1 ?
v
2
c
2
) · (±
v c
2
)
= +
1 1 ?
v
2
c
2
(14)
Берјм "+"т.к. время больше нуля.
Подставим все найденные коэффициенты в (4) и получим прямоепреобразования Лоренца x
?
=
x ? vt q
1 ?
v
2
c
2
,
y = y
?
,
z = z
?
,
t
?
=
t ?
v c
2
· x q
1 Обратное преобразование x =
x
?
+ vt
?
q
1 ?
v
2
c
2
,
y = y
?
,
z = z
?
,
t =
t
?
+
v c
2
· x
?
q
1 Если v ? c или c ? ? то получим преобразование Галилея.
Запишем в компонентном виде x
?
=
4
X
?=1
= где x
?
- компоненты (? = 1, 2, 3, 4, те) четырехмерного радиуса-вектора (x
?
) = (r, ict)
, характеризующего событие, произошедшее в точке r =
ix + jy + kz с координатами (x, y, z) в момент времени t покоящейся системы отсчета тоже, что и x
?
, но относительно движущейся системы отсчета c  скорость света в вакууме  мнимая единица, которая ставится в четвертые компоненты векторов и тензоров, чтобы можно было пользоваться таким же определением скалярного (сумма попарных произведений одинаковых компонент) и тензорного произведений, как ив аналитической геометрии трехмерного ортогонального евклидового пространства a
??
- компоненты четырехмерной матрицы преобразований Лоренца a
??
=
?
?
?
?
?
0 0 ?i v
c
?
0 1 0 0
0 0 1 0
i v
c
? 0 где ? =
1
q
1?
v2
c
 релятивистский множитель.
Результатом преобразований Лоренца являются известные релятивистские кинематические эффекты замедления темпа времени в движущейся системе отсчета и лоренцева сокращения длины в направлении движения.
Из (15)
x
?
1
=
x
1
? vt
1
q
1 ?
v
2
c
2
,
x
?
2
=
x
2
? vt
2
q
1 ?
v
2
c
2
(19)
3

Вычтем одно из другого и получим l
?
= x
?
2
? x
?
1
= l
0
=
(x
2
? x
1
) ? v(t
2
? t
1
)
q
1 Для изменения длины маштаба
1
, его концы должны быть измерены одновременно те. t
2
=
t
1
? x
2
? x
1
= l l
0
= l
?
=
l q
1 Аналогичный вывод для времени. Пусть в системе покоятся часы. В качестве двух событий возьмем два события, происшедших водном и том же месте x
?
, y
?
, пространства в системе K
?
. Время в системе между этими событиями есть ?t
?
= t
?
2
? t
?
1
. Найдем теперь время ?t, которое прошло между этими же событиями в системе отсчета K.
t
1
=
t
?
1
+
v c
2
· x
?
1
q
1 ?
v
2
c
2
,
t
2
=
t
?
2
+
v c
2
· x
?
2
q
1 вычитая одно из другого при условии x
?
1
= x
?
2
t
2
? t
1
= ?t =
?t
?
q
1 Закон сложения скоростей
Найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной частицы водной системе отсчета со скоростью той же частицы в другой системе. Пусть снова система движется относительно системы K со скоростью v вдоль оси . Пусть v x
=
dx dt есть компонента скорости в системе K, a v
?
x
=
dx
?
dt
?
- компонента скорости той же частицы в системе K
?
dx =
dx
?
+ vdt
?
q
1 ?
v
2
c
2
,
dy = dy
?
,
dz = dz
?
,
dt =
dt
?
+
v c
2
· dx
?
q
1 Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости v =
dr получим v
x
=
v
?
x
+ v q
1 ?
v
?
x v
c
2
,
v y
=
v
?
y q
1 ?
v
2
c
2
q
1 ?
v
?
x v
c
2
,
v z
=
v
?
z q
1 ?
v
2
c
2
q
1 ?
v
?
x Предмет, длина которого известна в той системе, в которой тело покоится

Интервал между событиями
Часто полезно из соображений наглядности пользоваться воображаемым четырехмерным пространством, на осях которого откладываются три пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изображается точкой. Эти точки называются мировыми точками. Всякой частице соответствует некоторая линия (мировая линия) в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы вовсе моменты времени
2
Рассмотрим две системы отсчета и, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью. Координатные оси выберем при этом таким образом, чтобы оси и
?
совпадали, а оси и z были параллельны осями z
?
; время в системах и
?
обозначим через t и Пусть первое событие состоит в том, что отправляется сигнал, распространяющийся со скоростью света, из точки, имеющей координаты x
1
, y
1
, в системе в момент времени в этой же системе. Будем наблюдать из системы распространение этого сигнала. Пусть второе событие состоит в том, что сигнал приходит в точку x
2
, y
2
, в момент времени t
2
. Сигнал распространяется со скоростью ; пройденное им расстояние равен (t
2
? t
1
)
. С другой стороны,
это же расстояние равно [(x
2
? x
1
)
2
+ (y
2
? y
1
)
2
+ (z
2
? z
1
)
2
]
1/2
. Таким образом, мы можем написать следующую зависимость между координатами обоих событий в системе x
1
)
2
+ (y
2
? y
1
)
2
+ (z
2
? z
1
)
2
? c
2
(t
2
? t
1
)
2
= Те же два события, те. распространение сигнала, можно наблюдать из системы Пусть координаты первого события в системе K
?
:
?
, y
?
, z
?
, а второго , y, z. Поскольку скорость света в системах л
?
одинакова, то, аналогично (26), имеем x
?
1
)
2
+ (y
?
2
? y
?
1
)
2
+ (z
?
2
? z
?
1
)
2
? c
2
(t
?
2
? t
?
1
)
2
= Если x
1
, y
1
, и, y
2
, z
2
- координаты каких-либо двух событий, то величина s
12
= [(c
2
(t
2
? t
1
)
2
? (x
2
? x
1
)
2
+ (y
2
? y
1
)
2
+ (z
2
? называется интервалом между этими двумя событиями.
Если два события бесконечно близки друг к другу, то для интервала ds между ними имеем ds
2
= c
2
dt
2
? dx
2
? dy
2
? Форма выражения (29) или (30) позволяет рассматривать интервал, с формальной математической точки зрения, как расстояние между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве (на осях которого откладываем x, y, z и произведение Если ds = 0 в некоторой инерциальной системе отсчета, то ds
?
= ив другой системе. С
другой стороны, ds и ds
?
- бесконечно малые одинакового порядка. Из этих двух обстоятельств следует, что ds и должны быть пропорциональны друг другу ds
2
= k · Например, равномерно и прямолинейно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая линия.
3
Событие определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Событие, происходящее с некоторой материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда происходит событие

причем коэффициент k может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости обеих инерциальных систем
4
Рассмотрим три системы отсчета K, K
1
, и пусть и v
2
- скорости движения систем
K
1
и относительно . Тогда имеем ds
2
= k(v
1
) · ds
2 1
,
ds
2
= k(v
2
) · ds
2 Стем же основанием можно написать ds
2 1
= k(v
12
) · ds
2 где v
12
- абсолютная величина скорости движения относительно K
1
. Сравнивая друг с другом эти соотношения, найдем k(v
2
)
k(v
1
)
= Где зависит не только от абсолютных величин векторов и v
2
, но и от угла между ними.
Напротив, левая часть независимости от угла, следовательно коэффициент k сводится просто к постоянной величине очевидно постоянная k , может быть равна только еденице
5
Таким образом ds = а из равенства бесконечно малых интервалов следует равенство также и конечных интервалов s = Также в инвариантности можно убедиться подставив преобразований Лоренца в (Мы прихшли к важному результату интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, те. является инвариантом по отношению к преобразованию от одной инерциальной системы отсчета к любой другой. Эта инвариантность и является математическим выражением постоянства скорости света.
4
Коэффициент k не может зависеть от координат x, y, z и времени t, потому что это означало бы, что различные точки пространства и различные моменты времепи неравноправны. Так как мы считаем пространство и время однородными, то k должно быть постоянной величиной, зависящей только от абсолютной величины относительной скорости двух рассматриваемых ИСО. Действительно, коэффициент k не может зависеть и от направления относительной скорости двух ИСО, так как это означало бы неравноправие различных направлений в пространстве. В силу изотропности пространства мы должны считать, что а может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости рассматриваемых инерциальных систем отсчета.
5
Если рассмотрим изменение интервала при переходе от системы 1 к системе 2, а потом обратно, учитывая, что v одинаково для прямого и обратного преобразования из изотропности пространства и принципа относительности, имеем ds
2 1
= k(v
12
) · ds
2 2
,
ds
2 2
= k(v
12
) · ds
2 следовательно k(v
12
) = 1 6

Список литературы Ландау Л. Д, Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика Учеб. пособ.: Для вузов. Вт. Т. Теория поля- е изд, стереот.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-536 с Угаров В.А. Издательство М Наука Год 1977 - изд. е, перераб. и дополн. 384 c.
[3] ЮГ. Пейсахович. Классическая электродинамика учеб. пособие - е изд, испр. и доп. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2017.  649 с. (Серия Учебники НГТУї).
7